Dołącz do czytelników
Brak wyników

Testy i sprawdziany

14 listopada 2019

NR 41 (Listopad 2019)

Zadania dla młodszych klas liceów

0 8

Zadania sprawdzają następujące umiejętności: analizy i interpretacji problemu, rozumowania i argumentacji, syntezy faktów i myślenia pamięciowego oraz umiejętności heurystyczne.

Zadanie 1   
Wyznaczyć wszystkie pary (a, b) liczb naturalnych większych od 1, które spełniają układ równań:

\({1 {} \over a}\) = 0,b

\({1 {} \over b}\) = 0,a

Zadanie 2   
Trójkąt T ma własność W, jeżeli wszystkie wierzchołki tego trójkąta są punktami kratowymi, pole jest kwadratem liczby naturalnej dodatniej oraz współczynnik kierunkowy każdej prostej zawierającej bok trójkąta T jest równy iloczynowi współrzędnych któregoś z wierzchołków tego trójkąta. Wyznaczyć nieskończenie wiele parami niepodobnych trójkątów różnobocznych o własności W.

Zadanie 3   
Punkt O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym ABC, w którym miary wszystkich kątów wyrażają się całkowitymi liczbami stopni. Wyznaczyć najmniejszą i największą możliwą wartość sumy miar kątów ABC i AOC.

Zadanie 4   
Kiedy figura złożona z dwóch przystających i rozłącznych prostokątów (niebędących kwadratami) ma środek symetrii i oś symetrii?

Zadanie 5   
Wyznaczyć najmniejszą wartość trójmianu kwadratowego, mając daną różnicę pierwiastków tego trójmianu oraz dodatni współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej w tym trójmianie.

Zadanie 6   
Podać przykład liczby dodatniej k oraz nieskończonego zbioru A zawartego w zbiorze liczb niewymiernych dodatnich tak, aby istniały dokładnie dwie czwórki (a, b, c, d) liczb należących do zbioru A, które spełniają układ warunków:
a < b < c < d
b + d = a + c + k.

Zadanie 7   
Podać przykład wielomianów F(x) i G(x) różnych stopni i liczb a, b, c większych od 1 tak, aby nierówności F(ax + b) < c  oraz G(ax + b) < c miały ten sam zbiór rozwiązań równy przedziałowi (−5, −4).

Zadanie 8
Liczba k jest ustaloną liczbą całkowitą dodatnią. Podać przykład czworokąta o całkowitych bokach, który nie ma osi symetrii ani środka symetrii i jeden z boków tego czworokąta ma długość równą k, pole jest równe 20k + 1200 oraz obwód wynosi 2k + 250.

Zadanie 9   
Napisać równanie prostej m tak, aby prawdziwe było zdanie: Jeżeli prosta m i prosta o równaniu y = x są styczne do pewnego okręgu, to długość promienia tego okręgu wynosi 5. Podać wszystkie możliwe rozwiązania.

Zadanie 10   
Funkcje f i g odwzorowują R w R. 
Funkcje g(x) i g(f(x)) są niestałymi funkcjami nieparzystymi. Czy stąd wynika, że funkcja f(x) jest funkcją nieparzystą?

Zadanie 11   
Funkcje f i g odwzorowują R w R. Funkcje g(x) i g(f(x)) są niestałymi funkcjami parzystymi. Czy stąd wynika, że funkcja f(x) jest funkcją parzystą lub nieparzystą?

Zadanie 12   
Dana jest funkcja f(x) odwzorowująca R w R i przyjmująca nieskończenie wiele wartości. Podać przykład takiej niezerowej funkcji g(x) (odwzorowującej R w R), że funkcja f(x)g(x) jest funkcją 
nieparzystą.

Zadanie 13   
Dana jest funkcja f(x) odwzorowująca R w R i przyjmująca nieskończenie wiele wartości. Podać przykład takiej niezerowej funkcji g(x) (odwzorowującej R w R),  że funkcja f(x)g(x) jest funkcją parzystą.

Zadanie 14   
Funkcja F(x) jest wielomianem. 
Zbiorem rozwiązań nierówności F(x) > 0 jest przedział (2, 5). Wyznaczyć zbiór wartości wielomianu G(x) = xF(x).

Zadanie 15   
Wyznaczyć wszystkie funkcje f(x) odwzorowujące R w R i takie, że f(xy) = f(\({{x} \over y}\)) dla każdego x rzeczywistego i każdego y rzeczywistego i różnego od 0.

Zadanie 16   
Wyznaczyć wszystkie funkc...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy