Dołącz do czytelników
Brak wyników

Testy i sprawdziany

14 listopada 2019

NR 41 (Listopad 2019)

Zadania dla starszych klas liceów

0 5

Zadania sprawdzają następujące umiejętności: analizy i interpretacji problemu, rozumowania i argumentacji, syntezy faktów i myślenia pamięciowego oraz umiejętności heurystyczne.

Zadanie 1
Trójmian kwadratowy posiada własność W, jeżeli ma dwa różne pierwiastki oraz mniejszym z tych pierwiastków jest liczba 0, natomiast większy z pierwiastków jest równy największej wartości tego trójmianu oraz równy objętości bryły ograniczonej powierzchnią powstałą z obrotu łuku ABC dookoła osi OX. Łuk ABC to łuk, którego końce A i C są punktami przecięcia wykresu tego trójmianu z osią OX,B jest wierzchołkiem wykresu tego trójmianu. Wyznaczyć wszystkie trójmiany kwadratowe mające własność W.

Zadanie 2
Podać przykład równania różniczkowego liniowego niejednorodnego o stałych współczynnikach (w odpowiadającym mu równaniu jednorodnym) tak, aby równanie jednorodne odpowiadające temu równaniu niejednorodnemu miało przy funkcji y oraz przy którejś z pochodnych tej funkcji (rzędu wyższego niż 1) niezerowy współczynnik i żeby jednym z rozwiązań równania jednorodnego była funkcja sin (4x + 7) i jednym z rozwiązań równania niejednorodnego była funkcja cos (10x + 1). Rozwiązać wyznaczone równanie.

Zadanie 3  
Podać przykład niestałych wielomianów F(x) i G(x) takich, że dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi równość F (sin (x)) = G (sin (4x)).

Zadanie 4  
Podać przykład niestałych funkcji wymiernych f(x) i g(x) takich, że dla każdego x rzeczywistego różnego od całkowitej wielokrotności  zachodzi równość log (f(x)) + log (g(x)) + f(sin (x)) + f(cos (x)) + g(tg (x))g(ctg (x)) = 10000008.

Zadanie 5  
Czworokąt wypukły C nie ma prostopadłych przekątnych i nie jest równoległobokiem ani trapezem równoramiennym. Jeden bok tego czworokąta i dwie jego przekątne utworzyły trójkąt T. Czworokąt C i trójkąt T mają równe pola. Podać przykład takiego trójkąta i czworokąta.

Zadanie 6  
Podać przykład ostrosłupa czworokątnego, w którym objętość jest liczbowo równa: polu podstawy, tangensowi kąta nachylenia pewnej krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy oraz tangensowi kąta nachylenia pewnej ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

Zadanie 7  
Wyznaczyć wszystkie liczby dodatnie a takie, że funkcje f(x) = sin (ax) oraz g(x) = cos (x + a) mają ten sam zbiór wartości.

Zadanie 8  
Wyznaczyć wszystkie liczby dodatnie a takie, że nierówności sin (ax) > 0 oraz cos (x) > 0 mają ten sam zbiór rozwiązań.

Zadanie 9  
Wyznaczyć wszystkie liczby dodatnie a takie, że nierówności sin (ax) > 0 oraz tg (x) > 0 mają ten sam zbiór rozwiązań.

Zadanie 10  
Wyznaczyć wszystkie liczby dodatnie a takie, że nierówności cos (ax) > 0 oraz tg (x) > 0 mają ten sam zbiór rozwiązań.

Zadanie 11  
Podać warunek wystarczający na to, aby suma wartości bezwzględnych wszystkich elementów macierzy odwracalnej o wymiarach 2 na 2 (i rzeczywistych elementach) była równa sumie wartości bezwzględnych wszystkich elementów macierzy odwrotnej do tej macierzy.

Zadanie 12  
Jeden z elementów macierzy odwracalnej o wymiarach 2 na 2 (i rzeczywistych elementach) jest równy 0. Czy stąd wynika, że wśród elementów macierzy odwrotnej do tej macierzy również jest element zerowy?

Zadanie 13
Jakie będzie rozwiązanie poprzedniego zadania, jeżeli wymiary 2 na 2 zastąpimy wymiarami 3 na 3?

Zadanie 14  
Dokładnie jeden z elementów macierzy odwracalnej o wymiarach 2 na 2 (i rzeczywistych elementach różnych od 0) jest liczbą niewymierną. Ile niewymiernych elementów ma macierz odwrotna do tej macierzy? Od czego ta ilość zależy?

Zadanie 15  
Zbiorem rozwiązań nierówności wymiernej ostrej jest przedział <1, 3>. Podać...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy