Dołącz do czytelników
Brak wyników

Pomysł na lekcję

23 listopada 2022

NR 58 (Listopad 2022)

Jaki ma kształt suma kwadratu i trójkąta? – czyli słów kilka o sumie minkowskiego

0 53

Próbując odpowiedzieć na tytułowe pytanie można posłużyć się dość znaną sumą zbiorów, jaką jest suma mnogościowa. Ideą tego pojęcia jest to, że dany element należy do sumy, jeżeli należy do przynajmniej jednego jej składnika. 
Geometrycznie kwadrat i trójkąt rozpatrujemy jako zbiory punktów na płaszczyźnie z kartezjańskim (prostopadłym) układem współrzędnych. Zatem każdy punkt wyraża się za pomocą dwóch liczb, bardzo podobnie jak współrzędne geograficzne na mapie. Jeżeli chcemy znaleźć jakieś miejsce na Ziemi, to wystarczy, że podamy jego długość i szerokość geograficzną. Wartości te mówią nam o przesunięciu w osi poziomej i pionowej od punktu (0,0). Jedyną różnicą jest fakt, że na płaszczyźnie zamiast podziału na szerokość północną i południową przyjmujemy wartości dodatnie i ujemne (analogicznie dla długości) oraz oczywiście na płaszczyźnie nie ma ograniczenia na wartość współrzędnych. 
Zatem kwadrat o boku długości 1 może być przedstawiony jako kwadrat K, który posiada wierzchołki o współrzędnych (0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1). Jeżeli obok niego ustawimy trójkąt T o wierzchołkach (1, 0), (1, 1) i (2, 0), to możemy teraz spojrzeć na ich sumę mnogościową K ∪ T. Będzie się ona składać ze wszystkich punktów, które należą do kwadratu lub trójkąta, zatem będzie to trapez prostokątny o wierzchołkach (0, 0), (2, 0), (1, 1), (0, 1) (patrz: rycina 1). 
 

POLECAMY

Ryc. 1. Kwadrat K i trójkąt T oraz suma mnogościowa K ∪ T


W tym miejscu można byłoby uznać, że odpowiedzieliśmy sobie na tytułowe pytanie i możemy zakończyć sprawę. Jednak jest to jedynie wstęp mający na celu wprowadzić nas w pewne pojęcia, których użyjemy do opisania sumy Minkowskiego kwadratu K i trójkąta T.
Sumą Minkowskiego nazywamy zbiór, który powstaje z elementów będących sumą elementów z obu zbiorów. Zatem, aby zdefiniować taką sumę zbiorów potrzebujemy wcześniej zdefiniować sumę na elementach. Formalny zapis będzie następujący A + B = {a + b}, gdzie a jest elementem z A oraz b jest elementem z B. Spójrzmy na przykład. Niech zbiór A = {1, 2}, natomiast zbiór B = {2, 3}. Oczywiście działaniem na elementach będzie dodawanie liczb rzeczywistych. Zatem do zbioru A + B należą 1 + 2, 1 + 3, 2 + 2, 2 + 3. Dlaczego nie zapisaliśmy tego już jako zbioru? Zauważmy, że 1 + 3 = 2 + 2 = 4, co oznacza, że zapiszemy tę wartość tylko raz, stąd A + B = {3, 4, 5}. Dla płaszczyzny, gdzie punkty mają dwie współrzędne będziemy definiować sumę punktów jako sumę po współrzędnych. Zatem dla a = (xa, ya), b = (xb, yb) sumę punktów definiujemy jako a + b = (xa + xb, ya + yb), gdzie xa + xb i ya + yb to zwykłe sumy liczb rzeczywistych. Przykładowo A = {(1, 1), (2, 1)}, B = {(−1, 2), (0, 3)} da nam A + B = {(0, 3), (1, 4), (1, 3), (2, 4)}. Jeżeli jednak spróbujemy tę metodę zastosować bezpośrednio do kwadratu K i trójkąta T, to zauważymy pewien problem. Otóż oba te obiekty mają nieskończenie wiele elementów, czyli punktów. Musimy zatem poznać jakąś własność sumy Minkowskiego, która pozwoli nam policzyć również przypadek, gdy oba zbiory są nieskończone.
Aby móc to zrobić wprowadźmy pojęcie wypukłości zbioru na płaszczyźnie. Zbiór na płaszczyźnie jest wypukły, jeżeli po wybraniu dwóch punktów z tego zbioru odcinek je łączący jest w całości również w tym zbiorze. Zatem wypukły jest każdy trójkąt, czworokąt może być wypukły, natomiast gwiazdka nie jest wypukła (patrz: rycina 2). Wprowadźmy pojęcie powłoki wypukłej zbioru, czyli najmniejszego zbioru wypukłego, który zawiera dany zbiór. Dla zbiorów wypukłych one same są swoimi powłokami wypukłymi. Natomiast dla zbiorów, które nie są wypukłe procedura stworzenia powłoki wypukłej jest prosta – należy uwzględnić wszystkie odcinki, które mają końce w tym zbiorze, a później wszystkie odcinki o końcach w tym nowym zbiorze i kontynuować proces, aż w kolejnym kroku zbiór się nie zmieni. Stąd też możemy w prosty sposób uwypuklić zbiory, które nie są wypukłe stosując właśnie powłokę wypukłą tych zbiorów (patrz: rycina 2).
 

Ryc. 2. Czerwone – wielokąty niewypukłe, zielone – wielokąty wypukłe lub powłoki wypukłe


Okazuje się, że jeżeli powłokę wypukłą zbioru A na płaszczyźnie oznaczymy jako conv(A), natomiast zbiór punktów ekstremalnych (dla wielokątów wypukłych jest to zbiór wierzchołków) jako ext(A), to suma Minkowskiego A + B spełnia następującą własność: A + B = conv(ext(A) + ext(B)). Jeżeli rozpatrujemy wielokąty wypukłe na płaszczyźnie, to zbiory ext(A) i ext(B) są skończone, możemy na nich zastosować poznaną definicję sumy Minkowskiego, a potem uwypuklić uzyskany zbiór uzyskując sumę Minkowskiego. Spójrzmy jak będzie to wyglądać dla kwadratu K oraz trójkąta T.
Wierzchołki kwadratu ext(K) = {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)} oraz wierzchołki trójkąta ext(T) = {(1, 0), (1, 1), (2, 0)} dadzą nam w sumie ext(K) + ext(T) = {(1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1), (3, 0), (1, 2), (2, 2), (3, 1)}....

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy