Rozwijanie uczniowskich predyspozycji matematycznych

Chcesz lepiej poznać ten temat? Sprawdź nasz artykuł: Akcja aktywacja, czyli za pomocą jakich metod aktywizować uczniów na lekcji matematyki?

Wielkie matematyczne odkrycia bazują najczęściej na ogromnej wiedzy ich twórców i długiej, wytężonej pracy prowadzącej dodanego osiągnięcia. Znane są jednak w historii nauki „przypadkowe odkrycia”, które pojawiały się nagle, intensywnie, a ich twórcy nie byli nawet świadomi wagi swoich odkryć, ponieważ bardzo często pracowali wówczas nad czymś zupełnie innym. Niemniej jednak każde odkrycie wymaga od twórcy dużej dozy energii, poświęcenia i skupienia. Rozwiązywanie zadań tekstowych wymaga dokładnie tego samego: energii, poświęcenia i skupienia, dlatego nauczyciele mogą tym sposobem rozbudzić kreatywne, ciekawe umysły młodych odkrywców. Nie jest to jednak łatwe zadanie, gdyż istnieje duże ryzyko zgaszenia uczniowskiego zapału poprzez sceptycyzm nauczyciela, stłumienia uczniowskiej energii poprzez rutynowe operacje i zatracenie uczniowskiego poświęcenia poprzez wybieranie niewłaściwych zadań.

Metodyka rozwiązywania zadań tekstowych

George Polya twierdził, że celem nauczania matematyki w szkole średniej powinno być nauczanie myślenia1, a owe myślenie utożsamiał z rozwiązywaniem zadań tekstowych. Kwestia rozwiązywania zadań tekstowych i nauczania matematyki w tym zakresie dzieli się na dwa okresy – przed i po Polyi2. System edukacji w Polsce stoi w obliczu wielkich zmian – w kontekście zarówno struktury systemu edukacji, jak i treści programowych i to właśnie sposoby rozumowania, argumentowania i myślenia matematycznego będą kluczową umiejętnością, w którą każdy nauczyciel będzie musiał wyposażyć swoich uczniów. Dlatego też sposoby i techniki rozwiązywania zadań tekstowych, a w zasadzie sposoby i techniki, w jaki sposób uczyć rozwiązywania zadań tekstowych, powinny stać się niezbędnym narzędziem pracy w warsztacie nauczyciela.

Pierwsza zasada polyowskiej metodyki – „Zrozumienie zadania” – jest tak oczywista, że bardzo często nauczyciele pomijają ten etap analizy zadania. Tymczasem niezrozumienie treści rozważanego problemu, częściowe lub ogólne, jest, niestety, źródłem niepowodzeń uczniowskich podczas pracy nad zadaniem. W książce Jak to rozwiązać? Polya przedstawia listę przykładowych pytań i podpowiedzi, które mogą pomóc nauczycielowi przejść przez pierwszą fazę rozwiązywania zadań tekstowych: Czy rozumiesz wszystkie sformułowania w rozważanym zadaniu? Co masz zrobić/pokazać/udowodnić? Czy potrafisz wypowiedzieć treść zadania i postawiony problem własnymi słowami? Co jest niewiadome, co jest dane? Jaki jest warunek? Zrób rysunek, wprowadź oznaczenia3.

Dialog nauczyciela z uczniami powinien bezpośrednio wprowadzać w drugą zasadę metodyki rozwiązywania zadań tekstowych – „Układanie planu rozwiązania”. Niemalże każde zadanie można rozwiązać na kilka spo-sobów i wybranie odpowiedniej drogi postępowania ma zasadnicze znaczenie. Umiejętność dobierania strategii można zdobyć jedynie poprzez rozwiązywanie dostatecznie dużej liczby zadań, potrafimy wówczas dostrzec pewne analogie, użyć podobnych metod dedukcyjnych, gdy rozwiązywaliśmy podobne zadanie wcześniej, łatwiej nam wykorzystać własne doświadczenie, jeśli doszliśmy do podobnych wniosków wcześniej.

„Wykonanie planu”, czyli trzecia zasada rozwiązywania zadań tekstowych, jest zazwyczaj łatwiejsza niż poprzednia. Jeśli uczniowie zrozumieli wcześniej zadanie i ułożyli dokładną strategię postępowania przy jego rozwiązaniu, nauczyciel może polegać na ich dociekliwości i gorliwości, zakładając, że posiadają niezbędne umiejętności. Uczniowie powinni być wytrwali w realizacji planu rozwiązania, a jeśli ten zawodzi, powinni próbować ułożyć następny plan przed przystąpieniem do bezcelowych obliczeń.

Ostatnią zasadą polyowskiej metodyki jest „Rzut oka wstecz”. Ten krok jest bardzo często pomijany, nie tylko przez uczniów, ale także przez nauczycieli. Opuszczana jest wówczas bardzo pouczająca faza szerokiego spojrzenia na postawiony problem. Czas na zebranie rozwiązania jednym chwytem myśli, przeanalizowanie, co było dobre, a co nie działało, pomoże w pewnym stopniu przewidywać strategie podczas rozwiązywania zadań w przyszłości.

Panuje powszechna opinia, że matematyka jest bardzo trudnym przedmiotem szkolnym, a przyczyn tego stwierdzenia można doszukiwać w abstrakcyjności matematycznych rozumowań i dedukcyjnej strukturze. Problem rozwiązywania zadań tekstowych był przedmiotem zainteresowań wielu dydaktyków matematyki, przy czym skupiali się oni głównie na uczniach szkoły podstawowej4–7. Metody i strategie rozwiązywania zadań tekstowych dla starszych uczniów pozostają takie same, uczniowie powinni mieć już wyrobione właściwe nawyki, jednak rzeczywistość w przypadku szkoły średniej pokazuje, że jest to błędne założenie. Istnieje wiele przyczyn pojawiających się trudności podczas rozwiązywania zadań tekstowych, takie jak słaba umiejętność czytania, rozumienia i analizy problemu. Uczniowie nie potrafią wykorzystywać wcześniej zdobytej wiedzy i nie są w stanie dostrzegać pojawiających się analogii, a powodem takiego stanu rzeczy może być czasami niewystarczająca wiedza merytoryczna w zakresie przedmiotu, ale bardzo często uczniowie po prostu nie potrafią wybrać odpowiedniej strategii i obrać właściwego toku rozumowania.

Każde zadanie tekstowe składa się z dwóch warstw i wymaga różnych aktywności matematycznych. Pierwszą warstwą jest tekst werbalny, który przedstawia pewną sytuację empiryczną, prawdziwą bądź wyobrażoną, którą Czytelnik musi zrozumieć i dokonać poprawnej analizy problemu. Prowadzi to bezpośrednio do drugiego etapu – warstwy matematycznej, która wymaga abstrakcyjnych aktywności związanych z właściwym przekształceniem informacji zawartych w warstwie werbalnej w matematyczny problem do rozwiązania. Rozwiązywanie zadań wymaga formułowania matematycznych wypowiedzi uwzględniających precyzyjny język matematyczny i jednoznaczność używanych pojęć. Stosowanie odpowiedniej terminologii wymusza zauważenie każdego niezbędnego szczegółu, stąd transfer warstwy werbalnej w matematyczną jest trudnym i złożonym procesem i nie zawsze uczniowie są tego uczeni i do tego przygotowani. Metodyka rozwiązywania zadań tekstowych powinna być stosowana bardzo dokładnie i systematycznie, ponieważ taka forma nauczania – uczenia się matematyki prowadzi do dogłębnego rozumienia rozważanych treści i pozyskiwania nowych umiejętności. Co więcej, pomaga zrozumieć pewne metody matematycznych rozumowań, między innymi sens uogólniania czy stosowania analogii.

Charakterystyka eksperymentu – case study

W niniejszym artykule przedstawiona zostanie pewna koncepcja sprawdzenia poprawności stosowania metodyki rozwiązywania zadań tekstowych. Przedstawione wyniki nie są generalizowane, są przypadkami pewnego case study, jednak wyznaczają zarys szerszego spojrzenia na analizę skuteczności nauczania rozwiązywania zadań tekstowych. W artykule będę posługiwać się określeniem „badania”, należy jednak pamiętać, że chodzi tu jedynie o przeprowadzoną kontrolę i obserwację procesu dydaktycznego.

Do badań zostali wybrani studenci matematyki II roku studiów I stopnia o specjalności nauczycielskiej. Studenci na zajęciach z podstaw dydaktyki zostali szczegółowo zapoznani z polyowską metodyką rozwiązywania zadań tekstowych, omówione zostały liczne przykłady jej zastosowania, a badani zostali uwrażliwieni na wagę i znaczenie zadawanych pytań oraz rolę dogłębnej analizy problemu przed przystąpieniem do rozwiązywania problemu, czyli wykonania wcześniej sprecyzowanego i przemyślanego planu. Ponadto badani studenci mieli pewne doświadczenia związane z pracą z uczniami, prowadzeniem lekcji matematyki, gdyż jednocześnie odbywali praktykę śródroczną w szkole podstawowej. Studenci prowadzili lekcje w szkole ćwiczeń, a następnie przeprowadzone przez nich zajęcia poddawane były dokładnej analizie pod względem poprawności merytorycznej, stylistycznej i wychowawczej. Badana grupa studentów liczyła 8 osób.

Eksperyment polegał na rozwiązaniu przez studentów otrzymanych zadań tekstowych na tablicy, pracując z resztą grupy tak jak z uczniami w szkole, uwzględniając polyowską metodykę rozwiązywania zadań tekstowych. Studenci otrzymali zadania wcześniej, mieli czas na samodzielne ich rozwiązanie, ułożenie konspektu pracy „pod tablicą”, pracy „z klasą”. Każdy student znał tylko swoje zadania, nikt nie wiedział, jakie zadania mają koledzy i koleżanki. Opisywana koncepcja miała być pewnego rodzaju kontrolą przyswojenia treści programowych, jednak wyniki tej kontroli oraz obserwacje prowadzone podczas tego eksperymentu stały się na tyle ciekawe i zaskakujące, że wyłoniły pewien kierunek badań, które mogą zostać przeprowadzone na szerszą skalę, a wnioski, które powstaną po ich analizie, mogą nabrać znaczenia w kontekście nauczania rozwiązywania zadań tekstowych.

Prezentacja zadania

W niniejszej pracy zostanie omówione szczegółowo jedno zadanie, na podstawie którego przedstawione zostaną pewne hipotezy i wskazania do kierunku dalszych badań. Omawiane zadanie pojawiło się na maturze z matematyki w zakresie rozszerzonym w 2018 roku. Dotyczy ono rachunku prawdopodobieństwa i wymaga znajomości podstawowych wzorów kombinatorycznych i klasycznej definicji prawdopodobieństwa.

Zadanie jest następującej treści:

Z liczb ośmioelementowego zbioru Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}tworzymy ośmiowyrazowy ciąg, którego wyrazy się nie powtarzają. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że żadne dwie liczby parzyste nie są sąsiednimi wyrazami utworzonego ciągu. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Przykładowe rozwiązania problemu:

Zdarzeniami elementarnymi są permutacje zbioru ośmioelementowego, liczba wszystkich zdarzeń elementarnych wynosi Ω = 8!. Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że żadne dwie liczby parzyste nie są sąsiednimi wyrazami utworzonego ciągu. Przedstawione zostaną dwa sposoby obliczania wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zajściu zdarzenia A.

I sposób – ustalenie pozycji dla liczb parzystych (E – liczba parzysta).

Istnieje 20 przypadków rozmieszczenia liczb parzystych (ryc. 1), ponadto liczby parzyste możemy ustawić na 3! sposobów, a nieparzyste permutują na 5! sposobów. Stąd:

|A| = 20 ∙ 3! ∙ 5!.

II sposób – W rozważanym zbiorze jest 5 liczb nieparzystych, więc możemy je ustawić na 5! sposobów. Otrzymamy wówczas (O – nieparzysta liczba):

Miejsca (1) – (6) to pozycje, na których możemy postawić liczbę parzystą (z jednej lub drugiej strony liczby nieparzystej). Wybieramy trzy miejsca, na których postawimy liczby parzyste, możemy to zrobić na \(\binom{6}{3}\) sposobów.

Liczby parzyste permutują na 3! sposoby, więc:

|A| = 20 ∙ 3! ∙ 5!.

Wystarczy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A, korzystając z klasycznej definicji prawdopodobieństwa:

\(P(A) = {20x3!x5!\ \over8!}={5\over14}\)

Wyniki rozważanego case study

Student, którego zadaniem było rozwiązanie powyższego zadania z grupą, miał ułożony pełen scenariusz pracy, zaplanował przykładową listę pytań do każdego z IV etapów polyowskiej metody rozwiązywania zadań tekstowych.

Pierwszym niepokojącym sygnałem było pytanie studenta, czy może od razu „przejść” do omawiania sposobu rozwiązania II metodą, gdyż wypisywanie tych wszystkich przypadków wg I metody jest żmudne i czasochłonne. Na pytanie: Czy tak właśnie rozpoczął Pan pracę nad tym zadaniem? Czy to była pierwsza myśl, pierwszy pomysł na rozwiązanie? student odpowiedział: Oczywiście, że nie, zacząłem od wypisywania możliwości (…). Student nie zdawał sobie sprawy z błędu dydaktycznego, który zamierzał popełnić – widział pozorną trudność (zawiłe i czasochłonne wypisywanie przypadków), więc nie chciał „zagłębiać” się w to z uczniami. Taka postawa nauczyciela w klasie jest nie do przyjęcia. Gdyby student zaczął sprowadzać rozważane zadanie do rozwiązania tylko II metodą, cała analiza problemu i cała droga do otrzymania pożądanego wyniku byłaby sztuczna i pobudziła w uczniach poczucie bezradności w obliczu problemu, nieumiejętność radzenia sobie z sytuacją przedstawioną w zadaniu. Uczniowie, oczywiście, zrozumieliby metodę i sposób rozwiązania, ale brak obycia w danym zakresie, zbyt małe doświadczenie w stosowaniu matematycznych „sztuczek” i nietypowych sposobach rozumowania podważyłaby ich pewność siebie i wiarę we własne możliwości, a może nawet zniechęciłaby ich do dalszej pracy. Uczeń musi mieć świadomość, że do rozwiązania dochodzi sam, że nawet bez pomocy nauczyciela potrafiłby w jakiś sposób rozwiązać zadanie, przynajmniej częściowo. Obowiązkiem nauczyciela jest tak sterować uczniem, właśnie poprzez zadawanie odpowiednich pytań, że zostawia go z poczuciem spełnienia w zakresie danego problemu, że uczeń pozostaje w przeświadczeniu, że doszedł do rozwiązania sam.

Po głębokiej analizie dydaktycznej wartości i struktury rozważanego zadania student zrozumiał wagę i rolę dojścia do rozwiązania I metodą. W trakcie zajęć rozpoczął omawianie zadania z grupą studentów, poprawnie uwzględniając polyowską metodykę podejścia do problemu, stosując odpowiednią gradację pytań w zależności od reakcji grupy. Wszystkie etapy pracy z grupą zostały uprzednio dokładnie omówione z prowadzącym eksperyment.

W I etapie pracy („zrozumienie zadania”) student, stosując krótką listę pytań, uzyskał pożądane rezultaty:

– Czego dotyczy zadanie?

– Od czego zazwyczaj rozpoczynamy rozwiązywanie zadań z rachunku prawdopodobieństwa?

– Czy rozumiemy, na czym polega zdarzenie elementarne przedstawione w zadaniu?

Analiza zadania wyłoniła istotę problemu. Ustalona została kolejność pracy i najważniejsze jej etapy – znalezienie przestrzeni wszystkich zdarzeń elementarnych i opisanie zdarzenia wskazanego w zadaniu. Na tym etapie pracy uczeń nie musi wiedzieć, jakie konkretne zdarzenia elementarne sprzyjają zajściu rozpatrywanego w zadaniu zdarzenia, jednak powinien umieć opowiedzieć własnymi słowami, na czym dane zdarzenie polega.

II etap pracy służył ułożeniu planu rozwiązania i w danym zadaniu skupiono się na wskazanym zdarzeniu – polegającym na tym, że żadne dwie liczby parzyste nie stoją koło siebie. Istotnie, zostało powiedziane, że najpierw należy policzyć przestrzeń wszystkich zdarzeń elementarnych, ale tutaj nikt nie miał wątpliwości, że to nie będzie stanowiło trudności, to zwykłe permutacje zbioru 8–elementowego. Ułożenie koncepcji podejścia do problemu i znalezienie sposobu obliczenia mocy zdarzenia, czyli przejście do III etapu pracy – czyli wykonania planu – owocowało burzliwą dyskusją, a student, który był odpowiedzialny za poprowadzenie pracy, narzucał swoją interpretację zbyt szybko i zbyt natarczywie. Taka sytua-cja nie powinna mieć miejsca w szkole. Dyskusja rozpoczęła się pytaniem:

– W jaki sposób znajdziemy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zajściu naszego zdarzenia?

– Zaczniemy wypisywać.

– W jaki sposób będziemy to robić?

– Mamy trzy liczby parzyste i pięć liczb nieparzystych. Niech na przykład na pierwszym miejscu stoi liczba 2, na trzecim 4 (…).

– Rozgraniczanie na poszczególne liczby parzyste jest przecież bez sensu, skupmy się tylko na liczbach parzystych i nieparzystych, oznaczmy je P i N (…).

Powyższy komentarz pozbawił uczniów bardzo pouczającej analizy rozważanego problemu, mianowicie samodzielnego zauważenia analogii w przypadkach, gdy liczby P i N permutują. Nauczyciel powinien pozwolić wypisać kilka konkretnych zdarzeń uczniowi i zacząć pomagać pytaniami dopiero wówczas, gdy uczeń sam nie potrafiłby dostrzec wspomnianej analogii. Powinny wtedy pojawić się pytania typu:

– Czy nie możemy tych konkretnych przypadków jakoś uogólnić?

– Czy nie możemy tego rozumowania zawęzić?

– Spójrz na elementy naszego ciągu, czy nie możemy ich jakoś kategoryzować na analogiczne przypadki?

Uczeń powinien mieć poczucie, że doszedł sam do tego, że wystarczy wypisać przypadki na liczby parzyste i nieparzyste, bo te między sobą tylko permutują. Gotowa metoda zliczania tych zdarzeń, podana z zewnątrz, bez własnej analizy rozpatrywanych przypadków, nie zostanie przez ucznia przyswojona w sposób prawidłowy, a zrozumienie zadania będzie tylko powierzchowne.

Na omawianych zajęciach, gdy student „narzucił” metodę wypisywania przypadków, uczniowie zaczęli na tablicy rozpisywać przypadki, jednak dość chaotycznie. Prowadzący powinien zadbać o to, by wprowadzić pewien porządek wypisywania tych przypadków, ustalić określoną strategię, po to, by żadne zdarzenie elementarne nie zostało pominięte i żeby całe zdarzenie można było objąć jednym chwytem myśli.

Po wypisaniu kilku (kilkunastu) przypadków na tablicy i po chaotycznych próbach znalezienia tych kombinacji, których brakuje, prowadzący zorientował się, że będzie trudno wyszukać i wypisać wszystkie przypadki, więc zakończył próby uczniów komentarzem:

– Widzicie już, w jaki sposób musimy tworzyć kolejne przypadki, w domu każdy samodzielnie wypisze je wszystkie i obliczy prawdopodobieństwo naszego zdarzenia (…).

Student, a przyszły nauczyciel, nie zdawał sobie w tamtym momencie sprawy z tego, że uczniowie właśnie nie widzą, w jaki sposób dane przypadki są tworzone i jak wypisać je wszystkie. Nauczyciel, który nie rozumie pozytywnych aspektów powstałych na skutek błędów popełnianych przez niedoświadczonych uczniów, nauczyciel, który nie dostrzega efektów kształcenia wynikających z analizy błędów, kończy rozważania danego problemu w momencie, w którym tak naprawdę dopiero otwierają się możliwości dogłębnego poznania i zrozumienia istoty problemu. W nauczaniu matematyki bardzo ważna jest pewnego rodzaju profilaktyka błędu, która – wcielona do praktyki szkolnej – pomogłaby uchronić zarówno uczniów, jak i nauczycieli przed pogłębianiem i rozprzestrzenianiem się błędnych rozumowań. Krygowska mówi nawet o tak zwanym „błogosławionym błędzie”, który, jeśli uzewnętrzni się dostatecznie wcześnie, to można, a nawet trzeba wykorzystać dla postępu8. W omawianym zadaniu to chaotyczne wypisywanie przypadków przez uczniów, które nie wyodrębniło żadnej drogi rozwiązania, nie dało nawet obrazu na temat liczby tych wszystkich przypadków, było doskonałym wprowadzeniem do ustalenia pewnej strategii:

– Spójrzcie, takie wypisywanie do niczego nas nie doprowadziło. Dalej nie wiemy, ile jeszcze tych przypadków zostało. Wiemy, czego szukać, ale jeszcze nie wiemy, jak. Spróbujmy ustalić pewną strategię, pewien schemat odnajdywania tych przypadków. Czy coś proponujecie?

Bezpośrednio po opisywanych zajęciach prowadzący stu-dent, zapytany o powody swoich decyzji – zaniechania dalszych prób rozwiązania, porzucenia drogi prowadzącej do rozwiązania, tłumaczył, że nie chciał „przyznawać się” przed grupą, że takie rozumowanie jest chaotyczne. Wiedział, że dalsze wypisywanie wszystkich dwudziestu przypadków byłoby bardzo żmudne i czasochłonne, a on chciał przecież pokazać drugą metodę rozwiązania. Wypowiedź studenta jest istotna z kilku względów.

Po pierwsze, niedoświadczony nauczyciel w ogóle nie bierze pod uwagę możliwości pokazania własnej pomyłki przed klasą, uznając, że to świadczy o jego słabości. Młody nauczyciel musi umieć przyznać się do błędów, zauważać je i czerpać z nich, w końcu errando discimus – błądząc, uczymy się.

Po drugie, student, uświadamiając sobie potencjalne zagrożenie wynikające z kontynuowania rozwiązywania problemu, po prostu go zaniechał. Zachowanie tego typu, celowe pomijanie pewnych sytuacji, w których uczeń mógłby popełnić błąd, czyli pewnego rodzaju droga na skróty, nazywana jest przez Krygowską „blokadą błędu”9. Nauczyciel nie musi wówczas stawać w obliczu nieporozumień i wyjaśniać istoty popełnionego błędu.

Po trzecie, student zakończył rozwiązywanie zadania I metodą bez uzyskania wyniku, aby pokazać uczniom „lepszą” metodę – lepszą, bo szybszą, w jego odczuciu. Z dydaktycznego punktu widzenia jest to w takim momencie sytuacja bez żadnej wartości kształcącej. Uczniowie próbowali rozwiązać zadanie metodą, którą rozumieli, ale która zawiodła, na rzecz metody, która została im podana w gotowej postaci. Pokazana metoda jest skuteczna, uczniowie ją zrozumieli, jednak działa demobilizująco na poczucie własnej wartości i świadomości matematycznej.

Po analizie błędów powstałych podczas omawiania rozważanego zadania z grupą student nie potrafił wytłumaczyć powodów swojego postępowania, które – mimo dobrze przygotowanego konspektu – potoczyło się własnym torem. Student zrozumiał jednak niedociągnięcia i pomyłki, które popełnił. Stwierdził również, że nie zdawał sobie sprawy, że tak to może wyglądać i że tak trudno poprowadzić grupę słuchaczy właściwą ścieżką rozwiązania, nie narzucając własnej drogi, a prowadzić za rękę podczas matematycznej przygody.

Podsumowanie

Wszystkie opisane w niniejszym artykule działania skupiają się na nauczycielu, to on powinien starać się przewidywać uczniowskie błędy, powinien umieć dostrzec pojawiający się „błogosławiony błąd” i to na nim skupia się obowiązek wybierania odpowiednich zadań na lekcję. Nauczyciel również jednak popełnia wiele błędów, a ich przyczyny są różnorodne i mogą być zakorzenione już w podstawach edukacji nauczyciela, mogą jednak wywodzić się po prostu z nieprawidłowej postawy nauczyciela i jego braku aktywnego udziału w procesie nauczania.

Na temat kształcenia nauczycieli matematyki, w szczególności na temat błędów w tym kształceniu, w wywiadzie przeprowadzonym i opublikowanym przez L. Jastrzębską, wypowiada się M. Sitek, wicedyrektor Instytutu Badań Edukacyjnych, kierownik badań TEDS (Teacher Education and Development Study in Mathematics): Kształcimy bardzo dużo nauczycieli, a jednocześnie nie dbamy o jakość tego kształcenia. I dodaje: Nauczanie matematyki często jest przeteoretyzowane, istnieje ambicja, że absolwent studiów matematycznych jest przede wszystkim dobrym matematykiem. (…) Wiedza z zakresu dydaktyki matematyki nie tylko odstawała od wiedzy teoretycznej, ale też brakowało warsztatu nauczycielskiego w indywidualnym podejściu do ucznia, choćby umiejętności, jak wytłumaczyć uczniowi, na czym polega jego błąd, jakie są inne sposoby rozwiązania zadania10.

Jest to bardzo poważny zarzut, jednak zdarzają się, niestety, takie sytuacje, że młody nauczyciel, przyzwyczajony na studiach do formy wykładu, powiela ten schemat w szkole, nie zdając sobie sprawy, jak bardzo krzywdzi swoich uczniów.

Nauczyciel, który nie potrafi w sposób poprawny analizować zadania matematycznego w klasie, nie będzie potrafił wykształcić twórczej postawy u swoich uczniów, niezbędnej na drodze matematycznego poznania. Prezentując własny tok rozumowania, choćby najbardziej zrozumiały i naukowo wartościowy, nie osiągniemy satysfakcjonujących efektów kształcenia, gdyż przekazana wiedza nie będzie trwała. Nie nauczymy się jeździć na rowerze, gdy jedyne, co robimy, to patrzymy na kogoś, kto jeździ. Ktoś musi nas odpowiednio poinstruować, kazać nam wsiąść na rower, powiedzieć, jak się pedałuje, i pozwolić nam na samodzielne próby. Ktoś może podpowiedzieć, w jaki sposób trzymać równowagę, ale nikt nie zrobi tego za nas. Ktoś powinien pomóc nam się podnieść, gdy nie umiemy sami wstać, wskazać i omówić błąd, który popełniliśmy, byśmy mogli spróbować jeszcze raz, ucząc się i wykorzystując każdą małą porażkę.

Bibliografia:

1. Polya G., Mathematical Discovery: On understanding, learning and teaching problem solving, 2 volumes combined, 1981 ed., John Wiley and Sons 1965.
2. Schoenfeld A.H., A Brief and Biased History of Problem Solving [w:] Curcio F.R. (red.), Teaching and Learning: A Problem-solving Focus, Reston VA: National Council of Teachers of Mathematics 1987, s. 27–46.
3. Polya G., How To Solve It: A New Aspect of Mathematical Method, Princeton Science Library, 2004 ed., Princeton University Press 1945.
4. Ciosek M., Dydaktyczne problemy związane ze strategiami rozwiązywania zadań matematycznych, „Rocznik Nauk.-Dydakt.”, nr 67, „Prace z Dydaktyki Matematyki” 2/1984.
5. Legutko M., Uczenie rozwiązywania zadań na lekcjach matematyki, „Dydaktyka Matematyki” 11/1989.
6. Siwek H., Przedłużanie zadań, „Oświata i Wychowanie” Wersja B, 7/1984.
7. Treliński G., Jak rozwiązać zadanie, „Oświata i Wychowanie” Wersja B,7/1984.
8. Krygowska Z., Zrozumieć błąd w matematyce, „Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego” Seria V, „Dydaktyka Matematyki” 10/1989.
9. Krygowska Z., O poprawne rozumienie przez uczniów symbolu literowego w nauce algebry, Przedruk z: „Matematyka” 4/1955 [w:] Żabowski J. (red.), Materiały do studiowania dydaktyki matematyki, t. I, Wydawnictwo Naukowe NOVUM, Płock 2003.
10. Jastrzębska L., Kształcimy wielu, nie patrzymy na jakość, Wywiad z M. Sitkiem, „EduFakty” 24.10.2010.
11. Klakla M., Gotowa wiedza i aktywność w matematycznym kształceniu na przykładzie kątów Langleya, Annales Academiae Paedagogicae Cracoviensis, Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia I, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2006.