Pochodne funkcji, czyli matematyczny czujnik zmian

Wyjaśnię to w prosty sposób (bez żadnych wzorów): wyobraź sobie, że jedziesz samochodem. Co jest dla Ciebie ważniejsze:

• wiedzieć, że jesteś 50 metrów od samochodu przed Tobą,
• czy wiedzieć, że ta odległość zmniejsza się z prędkością 20 m/s?
   

Oczywiście to drugie! Bo ta informacja mówi Ci, jak szybko się zbliżasz i czy powinieneś hamować.
I właśnie tym jest pochodna – to matematyczne narzędzie do mierzenia zmian. Pochodna mówi nam nie tylko JAK DUŻO coś się zmienia, ale przede wszystkim JAK SZYBKO się zmienia.
Można o niej myśleć jak o „czujniku zmian”. Tak jak termometr mierzy temperaturę, tak pochodna mierzy tempo zmian. 

Przykłady z życia

Zacznijmy od czegoś, co na pewno znasz – od gier komputerowych. Kiedy grasz w FIFA lub Need for Speed, komputer musi błyskawicznie przewidywać ruch piłki czy tor samochodu. Musi wiedzieć nie tylko gdzie znajduje się obiekt, ale też jak szybko się porusza. To właśnie pochodna pozwala komputerowi na takie obliczenia.

Ciekawostka
Czy wiesz, że najnowsze gry komputerowe używają dokładnie tych samych zasad liczenia pochodnych, których uczysz się w szkole? Różnica polega tylko na tym, że komputer wykonuje te obliczenia tysiące razy na sekundę!

Przejdźmy teraz do prawdziwego świata. Wyobraź sobie, że jedziesz nowoczesnym samochodem z automatycznym tempomatem. Przed Tobą jedzie inny pojazd. Twój samochód musi nieustannie analizować sytuację na drodze. Nie wystarczy mu wiedzieć, że samochód przed Tobą jest 50 metrów dalej. Musi też wiedzieć, czy ta odległość się zwiększa, czy zmniejsza i jak szybko się zmienia. To właśnie pochodna dostarcza tych informacji.
Załóżmy, że samochód przed Tobą zaczyna hamować. W ciągu kilku sekund odległość zmniejsza się: najpierw do 45 metrów, potem do 38 metrów. Komputer w Twoim samochodzie natychmiast zauważa, że odległość nie tylko się zmniejsza, ale zmniejsza się
coraz szybciej. To oznacza, że pojazd przed Tobą ostro hamuje. Twój samochód, dzięki błyskawicznej analizie tych zmian (czyli właśnie dzięki pochodnej!), może odpowiednio wcześnie rozpocząć hamowanie.

Zastosowanie w praktyce
Nowoczesne samochody wykonują takie obliczenia setki razy na sekundę. System automatycznego hamowania w Tesli potrafi zareagować szybciej niż najlepszy kierowca wyścigowy – właśnie dzięki błyskawicznej analizie pochodnych!

Pochodna w medycynie

Kiedy lekarz podaje Ci lek, musi dokładnie kontrolować jego stężenie w Twoim organizmie. Nie wystarczy wiedzieć, ile leku jest obecnie we krwi. Trzeba też wiedzieć, jak szybko się wchłania i jak szybko organizm go wydala. To znowu pochodna przychodzi z pomocą! Pozwala lekarzom przewidzieć, kiedy stężenie leku spadnie do poziomu, przy którym trzeba podać kolejną dawkę.
Wyobraź sobie, że Twój organizm to skomplikowany system, w którym wszystko się nieustannie zmienia. Temperatura, ciśnienie krwi, poziom cukru – wszystkie te parametry są stale monitorowane przez lekarzy. 
I za każdym razem, gdy...