Twierdzenia, dowody i matematyczne rozumowania w szkole – dlaczego są tak ważne?

Bardzo ciekawą informację á propos matematycznych rozumowań w szkole podaje Sergiusz Neapolitański w Zarysie dydaktyki matematyki (PZWS, Warszawa, 1958): „w 1834 roku w okólniku wydanym dla szkół pruskich czytamy: 

Główny cel nauczania matematyki tkwi nie w nauczaniu twierdzeń, które mogą być zastosowane do konkretnych obiektów, polega on raczej na ćwiczeniu władz umysłowych ucznia, na przyzwyczajaniu go do jasnych i ścisłych idei, do logiczności myślenia”.

Swoje zajęcia z przyszłymi nauczycielami matematyki często rozpoczynałem od zadania na dowodzenie. Oto przykład takiego zadania (z próbnej matury w jednej z trójmiejskich szkół). 

Dany jest ciąg (an) mający tę własność, że dla każdej liczby naturalnej n suma n początkowych wyrazów tego ciągu jest równa (7n2 − n)/2.  Wykaż, że (an) jest ciągiem arytmetycznym. 

Przykład „rozwiązania”:

Rozwiązanie to jest przykładem największego „przestępstwa”, jakie można popełnić, dowodząc jakiegoś matematycznego faktu. W powyższym „dowodzie” uczeń skorzystał z tezy (dwukrotnie), czego nigdy nie można robić. A jak powinno wyglądać poprawne rozwiązanie?
 

Rozumowania matematyczne w podstawie programowej matematyki (PPM)

W PPM dla szkoły podstawowej znajdujemy następujące „wytyczne”: „Uczniowie na I etapie edukacyjnym (klasy I–III), ucząc się matematyki, powinni się koncentrować na odniesieniach do znanej sobie rzeczywistości, a stosowane pojęcia i metody powinny być powiązane z obiektami występującymi w znanym środowisku. Uczniowie muszą mieć szansę na stosowanie kształconych umiejętności w sytuacjach konkretnych. Ostatnie lata szkoły podstawowej to w przypadku matematyki czas na wprowadzenie takich pojęć i własności, które pozwolą na doskonalenie myślenia abstrakcyjnego, a w konsekwencji na naukę przeprowadzania rozumowań i poprawnego wnioskowania w sytuacjach nowych, a także dotyczących zagadnień złożonych i nietypowych”.

Jak widać, kwestię dowodzenia potraktowano w PPM dla I i II etapu edukacyjnego bardzo ogólnikowo. Większą wagę do dowodzenia przywiązuje się w szkole ponadpodstawowej. W PPM w dziale „Rozumowanie i argumentacja” czytamy:

• Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
• Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności. 
• Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów, gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia. 
• Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.

W „Komentarzach” znalazły się następujące sformułowania: „Samodzielne przeprowadzanie dowodów przez uczniów rozwija takie umiejętności, jak: logiczne myślenie, precyzyjne wyrażanie myśli i zdolność rozwiązywania złożonych problemów. Dowodzenie pozwala doskonalić umiejętność dobierania trafnych argumentów i konstruowania poprawnych rozumowań. Jedną z metod rozwijania umiejętności dowodzenia jest analizowanie dowodów poznawanych twierdzeń. Można uczyć w ten sposób, jak powinien wyglądać właściwie przeprowadzony dowód. Umiejętność formu...