Dołącz do czytelników
Brak wyników

Pomysł na lekcję

26 września 2022

NR 57 (Wrzesień 2022)

Twierdzenia, dowody i matematyczne rozumowania w szkole – dlaczego są tak ważne?

0 252

Istotą matematyki są twierdzenia i dowody. Na poziomie szkolnym dowody występują sporadycznie, a studenci bardzo się ich boją – pamiętam, że często przed różnego typu egzaminami pytano mnie, czy będą dowody i „negocjowano” ich liczbę. Nie jest to dziwne, bowiem ten crème de la crème matematyki to rzeczywiście śmietanka, ale dla uczniów i studentów ciężkostrawna.

Bardzo ciekawą informację á propos matematycznych rozumowań w szkole podaje Sergiusz Neapolitański w Zarysie dydaktyki matematyki (PZWS, Warszawa, 1958): „w 1834 roku w okólniku wydanym dla szkół pruskich czytamy: 

POLECAMY

Główny cel nauczania matematyki tkwi nie w nauczaniu twierdzeń, które mogą być zastosowane do konkretnych obiektów, polega on raczej na ćwiczeniu władz umysłowych ucznia, na przyzwyczajaniu go do jasnych i ścisłych idei, do logiczności myślenia”.

Swoje zajęcia z przyszłymi nauczycielami matematyki często rozpoczynałem od zadania na dowodzenie. Oto przykład takiego zadania (z próbnej matury w jednej z trójmiejskich szkół). 

Dany jest ciąg (an) mający tę własność, że dla każdej liczby naturalnej n suma n początkowych wyrazów tego ciągu jest równa (7n2 − n)/2.  Wykaż, że (an) jest ciągiem arytmetycznym. 

Przykład „rozwiązania”:


Rozwiązanie to jest przykładem największego „przestępstwa”, jakie można popełnić, dowodząc jakiegoś matematycznego faktu. W powyższym „dowodzie” uczeń skorzystał z tezy (dwukrotnie), czego nigdy nie można robić. A jak powinno wyglądać poprawne rozwiązanie?
 

Wystarczy pokazać jeden z dwóch warunków określających ciąg arytmetyczny:
  1. Różnica sąsiednich wyrazów jest stała.
  2. Każdy, począwszy od drugiego, wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiednich wyrazów.
Popatrzmy na warunek nr 1:
an + 1 − an = (Sn + 1 − Sn) − (Sn − Sn − 1) = … = 7.


Rozumowania matematyczne w podstawie programowej matematyki (PPM)

W PPM dla szkoły podstawowej znajdujemy następujące „wytyczne”: „Uczniowie na I etapie edukacyjnym (klasy I–III), ucząc się matematyki, powinni się koncentrować na odniesieniach do znanej sobie rzeczywistości, a stosowane pojęcia i metody powinny być powiązane z obiektami występującymi w znanym środowisku. Uczniowie muszą mieć szansę na stosowanie kształconych umiejętności w sytuacjach konkretnych. Ostatnie lata szkoły podstawowej to w przypadku matematyki czas na wprowadzenie takich pojęć i własności, które pozwolą na doskonalenie myślenia abstrakcyjnego, a w konsekwencji na naukę przeprowadzania rozumowań i poprawnego wnioskowania w sytuacjach nowych, a także dotyczących zagadnień złożonych i nietypowych”.

Jak widać, kwestię dowodzenia potraktowano w PPM dla I i II etapu edukacyjnego bardzo ogólnikowo. Większą wagę do dowodzenia przywiązuje się w szkole ponadpodstawowej. W PPM w dziale „Rozumowanie i argumentacja” czytamy:

  • Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
  • Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności. 
  • Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów, gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia. 
  • Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.

W „Komentarzach” znalazły się następujące sformułowania: „Samodzielne przeprowadzanie dowodów przez uczniów rozwija takie umiejętności, jak: logiczne myślenie, precyzyjne wyrażanie myśli i zdolność rozwiązywania złożonych problemów. Dowodzenie pozwala doskonalić umiejętność dobierania trafnych argumentów i konstruowania poprawnych rozumowań. Jedną z metod rozwijania umiejętności dowodzenia jest analizowanie dowodów poznawanych twierdzeń. Można uczyć w ten sposób, jak powinien wyglądać właściwie przeprowadzony dowód. Umiejętność formułowania poprawnych rozumowań i uzasadnień jest ważna również poza matematyką”.

W „Komentarzach” zamieszczono także listę twierdzeń, których dowody uczeń powinien uczeń poznać (dobry pomysł), chociaż nie bardzo wiadomo, co z tą wiedzą, poza satysfakcją, uczeń miałby zrobić.

Twierdzenia – kilka ogólnych uwag

Z sześciotomowej Encyklopedii PWN:
 

Twierdzenie, log. wszelkie zdania złożone z dwóch członów, z których pierwszy jest założeniem, drugi zaś tezą, występujące najczęściej w postaci implikacji; w znaczeniu ścisłym – teza teorii, wyprowadzona za pomocą określonych przekształceń z przyjętych w danej teorii → aksjomatów, zw. tw. pierwotnymi, w odróżnieniu od wywiedzionych z nich t. pochodnych; tak zbudowane t. logiki, odgrywające rolę przesłanek, wniosków i zasad → wnioskowania, mają doniosłe znaczenie metodol., pozwalające na ocenę poprawności strukturalnej systemów dedukcyjnych; potocznie zdanie oznajmujące wygłaszane z dużym przekonaniem o jego prawdziwości.


Zauważmy, że:

  1. Twierdzenia występują w postaci implikacji lub równoważności.
  2. Twierdzenia dość często, szczególnie w szkole podstawowej, występują w postaci „ukrytej” implikacji lub „ukrytej” równoważności.
  • √2 ∉ Q
  • Suma miar kątów w trójkącie wynosi 180°.
  • (a − b)(a + b) = a2 − b2 dla dowolnych liczb rzeczywistych .

Warto zapisać powyższe twierdzenia w postaci implikacji.

  1. W szkole podstawowej rzadko używa się formy „jeśli..., to...”. Nie ma takiej potrzeby, gdyż rzadko przeprowadzone są dokładne, formalne dowody twierdzeń. Jednak zachęcam do tej formy zapisu; uczniowie powinni przyzwyczajać się do formy Z ⇒ T i wiedzieć, co jest założeniem, a co tezą. 
  2. Jedno z pierwszych twierdzeń w szkole podstawowej dotyczy trójkąta: „Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180o, inne twierdzenia to np. wzory na pola figur płaskich.
  3. W starszych klasach szkoły podstawowej pojawia się twierdzenie Pitagorasa; w związku z tym uczniowie dowiadują się o twierdzeniu odwrotnym do twierdzenia Pitagorasa. 

 

 

Implikacje stworzone na podstawie bazowego twierdzenia Z ⇒ T to źródło ciekawych zadań lub kontrprzykładów. Ponadto warto, aby uczniowie w szkole ponadpodstawowej znali widoczne na diagramie równoważności.

Poniższy przykład pokazuje, że czasami korzystamy z twierdzenia odwrotnego, nie uświadamiając sobie tego.
 

Przykład:
„Jeśli czworokąt jest rombem, to jego przekątne dzielą się na pół i przecinają się pod kątem prostym”.

Tę własność uczniowie poznają w IV–V klasie szkoły podstawowej. Nauczyciele przy omawianiu rombów pokazują praktyczny sposób ich rysowania – rysujemy dwa prostopadłe odcinki przecinające się w połowie, końce tych odcinków tworzą romb. Zauważmy, że korzystamy tutaj z twierdzenia odwrotnego do własności rombów podanej w przykładzie. W jaki sposób Czytelnik przekonałby uczniów szkoły podstawowej, że własność przekątnych rombu (o dzieleniu się na pół i prostopadłości) jest prawdziwa? A w jaki sposób, że twierdzenie odwrotne też jest prawdziwe?

 

Warunek konieczny, warunek dostateczny

W szkole to nazewnictwo pojawia się rzadko. Nie namawiam do jego wprowadzenia, ale w klasach z rozszerzoną matematyką warto o tym wspomnieć. Poniżej podajemy przykład własności matematycznej, dla której będziemy szukać warunku koniecznego i warunku dostatecznego. 

 

Przykład:
Podaj warunek konieczny, warunek dostateczny, warunek konieczny i dostateczny dla zdania: Liczba całkowita jest podzielna przez 4.

Zaczniemy od oczywistego stwierdzenia: Liczba całkowita podzielna przez 4 koniecznie musi być podzielna przez 2. Mamy już warunek konieczny: Jeśli liczba całkowita jest podzielna przez 4, to jest ona podzielna przez 2. W implikacji p ⇒ q warunek q jest konieczny dla warunku p.

Zdanie: Jeśli liczba całkowita jest podzielna przez 8, to jest podzielna przez 4, jest prawdziwe; w implikacji q ⇒ p warunek q jest warunkiem dostatecznym (często mówimy też wystarczającym) dla warunku p. Zauważmy, że warunek podzielności przez 8 nie jest konieczny dla warunku podzielności przez 4. Warunek konieczny i dostateczny to znana cecha podzielności przez 4: Liczba całkowita jest podzielna przez 4 wtedy i tylko wtedy, gdy jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4. 

 

Dowody w matematyce

Oto definicja z Encyklopedii Szkolnej. Matematyka (WSiP, 1989):
 

Dowód – skończony ciąg zdań lub funkcji zdaniowych, który rozpoczyna się od twierdzeń przyjętych jako założenia (tj. od aksjomatów lub twierdzeń teorii, które już w niej udowodniono) i zawiera zdania lub wyrażenia uzyskane z tych założeń zgodnie z prawami logiki; dowód kończy zdanie dowodzone, które staje się twierdzeniem teorii.


Rozróżnia się kilka typów dowodów matematycznych, na przykład:

  • dedukcyjne,
  • redukcyjne,
  • indukcyjne,
  • nie wprost,
  • przez interpretację,

Indukcja, czyli o pewnym nieporozumieniu

Indukcja kojarzy się matematykom z indukcją matematyczną, jednak rozumowania indukcyjne mają szerszy, nie tylko matematyczny zasięg. W logice rozumowanie indukcyjne oznacza wyprowadzanie praw ogólnych na podstawie wiedzy o pewnej liczbie przypadków szczególnych.

Oto jakie informacje na temat indukcji podaje Encyklopedia PWN (6-tomowa):
 

Indukcja [łac.], wnioskowanie indukcyjne, log. rozumowanie polegające na wyprowadzaniu wniosków ogólnych z przesłanek będących ich poszczególnymi przypadkami; w szerszym znaczeniu – metoda i. polegająca na dokonywaniu obserwacji i → eksperymentów i wyprowadzaniu na tej podstawie uogólnień oraz formułowaniu → hipotez i ich weryfikacji; tzw. zasada i. jest regułą pozwalającą na przejście od przypadków zaobserwowanych do twierdzeń ogólnych obejmujących także przypadki nie zaobserwowane; prawomocność zasady i. jest kwestionowana przez niektórych logików i metodologów; i. eliminacyjna → kanony Milla; i. enumeracyjna → indukcjonizm, i. statyst. → statystyczne wnioskowanie.


Powyższe informacje można przedstawić w postaci schematu:

 


Popatrzmy na przykład wykorzystania tego schematu:

 


Napisaliśmy, że w szkole niektórzy uczniowie stykają się z zasadą indukcji matematycznej, o której w Encyklopedii Szkolnej. Matematyka pisze się, że jest to „…zasada rozumowania wynikająca z aksjomatu indukcji. .... Zjawisko indukcji matematycznej wykorzystuje się w dowodach twierdzeń dotyczących liczb naturalnych”.

Dowody indukcyjne to powszechne narzędzie w naukach przyrodniczych. Do dzisiaj pamiętam lekcje fizyki w szkole średniej, w czasie których mój znakomity nauczyciel, profesor Mieczysław Prajsnar, wyprowadził z nami doświadczalnie wzór na drogę w polu grawitacyjnym Ziemi (s = ). Pamiętam też wykład z dydaktyki poświęcony dowodom w matematyce szkolnej i przykład z krukami (po tym wykładzie jedna ze studentek przyniosła wycięte z gazety zdjęcie białego kruka). 

Dowody indukcyjne, które moglibyśmy nazwać empirycznymi, dość często występują w szkolnej matematyce. Popatrzmy na przykład na fragment podręcznika do V klasy (GWO):

 


Możliwość rozpatrzenia wielu przypadków dają programy komputerowe. Popatrzmy na klik-dowód: uczeń, zmieniając kształt trójkąta, widzi, że zawsze suma miar kątów trójkąta wynosi 180°.

 

 

Przykład na indukcyjne uzasadnienie: W rozkładzie na czynniki pierwsze liczb naturalnych postaci 10n dwójek i piątek jest tyle samo. 
Sprawdzamy to tak:
10 = 2 · 5, 100 = 10 · 10 = 2 · 5 · 2 · 5 = 2 · 2 · 5 · 5

Analogicznie sprawdzenie ma miejsce dla liczby 1000. Z tego empirycznego rozumowania łatwo wykonać krok do dowodu formalnego; stosujemy wówczas zasadę indukcji matematycznej. W szkole podstawowej wystarczy, że uczeń opowie, jak wykonać przejście ze 100 do 1000, z 1000 do 10 000 itd. Jeszcze raz podkreślmy, że dowód indukcyjny to dowód empiryczny, natomiast dowód stosujący zasadę indukcji matematycznej to dowód dedukcyjny. Zapamiętajmy: indukcja i indukcja matematyczna to inne rozumowania!

Dedukcja 

Jak wygląda precyzyjny dowód twierdzenia o sumach miar kątów wewnętrznych trójkąta? Tutaj zachęcamy uważnego Czytelnika do podania tego dowodu (używa się w nim kątów naprzemianległych).

Pojawiło się słowo dedukcja – najważniejsze narzędzie rozumowań matematycznych. Dedukcja to sposób rozumowania, który polega na tym, że z praw ogólnych wyprowadza się prawa dotyczące poszczególnych przypadków. Oto jak dedukcję charakteryzuje Encyklopedia PWN (6-tomowa):
 

Dedukcja [łac.], dedukcyjne wnioskowanie, log. rozumowanie, którego kierunek jest zgodny z kierunkiem → wynikania logicznego, tj. polega na tym, że gdy dana jest racja jako zdanie uznane (za prawdziwe), na jej podstawie uznaje się następstwo; rozumowanie dedukcyjne stanowi zasadę konstruowania → dedukcyjnego systemu.

 

Klasyczny przykład rozumowania dedukcyjnego:

 

 

Tak więc z prawdziwości założenia (trudno sobie wyobrazić fałszywą przesłankę) prawdziwość implikacji pociąga prawdziwość następnika implikacji.
 

Przykład dowodu dedukcyjnego:
Jeśli a, b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi nieujemnymi, to (a+b)/2 ≥ √ab.

Ponieważ (x − y)2 ≥ 0 dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, więc po przekształceniach otrzymujemy (x2 + y2)/2 ≥ xy. Z dowolności x, y wynika, że nierówność ta zachodzi także dla x = √a, y = √b. Stąd otrzymujemy nierówność o średniej arytmetycznej i średniej geometrycznej.


Przedstawiony powyżej dowód, „chleb powszedni” dla matematyka, wymaga od ucznia sporej biegłości w sztuce dowodzenia (aby „wpaść” na pomysł skorzystania z oczywistej nierówności (x − y)2 ≥ 0 uczeń musi mieć sporo wprawy). W praktyce szkolnej stosuje się częściej tzw. dowody redukcyjne. A co to jest redukcja? Oto jak wyjaśnia to Encyklopedia PWN (6-tomowa):
 

Redukcja [łac.], redukcyjne wnioskowanie, log. dobieranie do zdania uznanego za prawdziwe (tj. do następstwa) takiego zdania (tj. racji), z którego to pierwsze zdanie wynika; r. jest rodzajem → wnioskowania zawodnego, w którym prawdziwość przesłanek nie gwarantuje prawdziwości wniosku; kierunek tego wnioskowania jest niezgodny z kierunkiem → wynikania logicznego.


Wyjaśnijmy, redukcja to rodzaj dedukcji, w przypadku klasycznej dedukcji mamy schemat:
Z ⇒ T
Z ∧ T1 ⇒ T2 ⇒ … ⇒ Tn = T,
przy czym zakłada się, że każda z implikacji w powyższym ciągu implikacji jest prawdziwa, Z oraz 
T1, T2, … , Tn, są zdaniami prawdziwymi.

W przypadku redukcji, o której mówi się, że jest dedukcją w „drugą stronę”, sytuacja jest nieco delikatniejsza. Schemat redukcji jest następujący:
Z ∧ T1 ⇔ T1 ⇔ … ⇔ Tn,
przy czym zakłada się prawdziwość wszystkich równoważności oraz prawdziwość zdania Tn.
 

Przykład dowodu redukcyjnego:
Jeśli a, b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi nieujemnymi, to (a+b)/2 ≥ √ab.
Nierówność (a+b)/2 ≥ √ab przekształcamy na nierówności równoważne:
(a+b)/2 ≥ √ab ⇔ a + b ≥ 2√ab ⇔ a + b − 2√ab ≥ 0 ⇔ a + b − 2√a√b ≥ 0 ⇔ (√a − √b)2 ≥ 0
W przypadku gdy w dowodzie twierdzenia Z ⇒ T zaprzecza się tezie, mówimy o dowodzie nie wprost.

 

Przykład dowodu nie wprost:
Jeśli a, b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi nieujemnymi, to (a+b)/2 ≥ √ab.
 (a+b)/2 ≥ √ab  ⇔ a + b < 2 √ab ⇔ ­a + b − 2 √ab < 0 ⇔ ⇔ a­ + b − 2√a√b < 0 ⇔ (√a − √b)2 < 0
Jakie schematy logiczne występują w dowodach nie wprost? Oto najczęściej spotykane:
• (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p) prawo kontrapozycji
• (p ∧ ¬q ⇒ 0) ⇔ (p ⇒ q)
• (p ⇒ q) ⇔ (p ∧ ¬ q ⇒ ¬p)


Z jakim schematem logicznym mamy do czynienia w przypadku ostatniego dowodu?

Badania dotyczące umiejętności dowodzenia przez uczniów 

Laurie D. Edwards w bardzo ciekawej pracy Odds and Evens: Mathematical Reasoning and Informal Proof among High School Students („Journal of Mathematical Behavior” 17(4), 1999, s. 488–504) zrelacjonował badania przeprowadzone w grupie 10 uczniów (14–15 lat). Z każdym z tych uczniów przeprowadzono wywiad-rozmowę (trwającą około 40 minut, nagraną na taśmę wideo). W czasie rozmów każdy z uczniów otrzymał do oceny trzy stwierdzenia:

  • Liczba parzysta razy liczba nieparzysta daje w wyniku liczbę parzystą.
  • Liczba nieparzysta plus liczba nieparzysta równa się liczbie nieparzystej.
  • Liczba parzysta plus liczba parzysta równa się liczbie parzystej.

Uczniowie w czasie wywiadów odpowiadali na pytania:

  1. Czy stwierdzenie jest prawdziwe, czy fałszywe?
  2. Skąd to wiesz? Na jakiej podstawie tak odpowiedziałeś?
  3. Jak przekonałbyś kogoś do swojej racji?

Wszyscy uczniowie biorący udział w eksperymencie poprawnie odpowiedzieli na pierwsze pytanie. Każdy z nich podał „empiryczne” przykłady, ale żaden z nich nie zaprezentował algebraicznego dowodu. Niektórzy z nich podawali nieformalne, niekompletne dowody oparte na matematycznej strukturze liczb parzystych i liczb nieparzystych.
 

Przykład (uzasadnienie empiryczne oparte na jednym przykładzie; 7 uczniów):
N: Skąd wiesz, że to prawda? Na jakiej podstawie tak zadecydowałeś?
U: Wziąłem dwie liczby i pomnożyłem je.
N: Jakie liczby?
U: 2 i 3.
N: Czy chcesz spróbować dla innych liczb, aby nabrać pewności?
U: Czy muszę?
N: Nie, nie musisz. Jesteś pewny, że dobrze odpowiedziałeś?
U: Tak.

 

Przykład (nieudana próba uzasadnienia własności sumy dwóch liczb parzystych; 6 uczniów):
N: Czy jest jakiś inny sposób wyjaśnienia?
U: Hm, przypuszczam, że jeśli miałbym liczbę parzystą i dodałbym do niej inną liczbę parzystą, to nie mógłbym otrzymać liczby nieparzystej?
N: Dlaczego nie mógłbyś?
U: Ponieważ nie dodaje się liczby nieparzystej.
Liczba nieparzysta plus liczba nieparzysta równa się liczbie nieparzystej jest stwierdzeniem nieprawdziwym. Jeden z uczniów zaproponował następujące rysunkowe uzasadnienie:


Przyznajmy, że to pomysłowy dowód, a ten typ dowodu można stosować w wielu przypadkach. Warto też zaznaczyć, że jeśli oczekujemy od naszych uczniów rozumowań, które można by nazwać dowodami, to sami przeprowadzajmy tego typu dowody, tzn. dowody poglądowe (visual proofs). Powinniśmy też uczyć (w klasach VI–VIII, w szkole średniej) dowodów bardziej formalnych, rozpoczynając od bardzo prostych faktów.

Przykład dowod...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy