Prowadzący lekcję (lub wydarzenie z jakiejś okazji) pokazuje trzy zasłonięte bramki. Mogą to być trzy zgięte kartki papieru A4. Za jedną z nich (za którą – wie to tylko prowadzący) jest nagroda – mniejsza kartka, na której jest narysowany samochód (umieszczana całkowicie losowo). Za dwoma pozostałymi nie ma nic albo, aby było śmieszniej, za każdą z nich jest kartka z narysowaną kozą. Prowadzący pyta grupę (klasę lub inne zgromadzenie): Kto chce zagrać i wygrać samochód? (nagrodą za dobry wybór musi być coś przyjemnego, np. cukierek).
Jeżeli zgłosi się śmiałek, wychodzi przed klasę i staje przed stolikiem prowadzącego zabawę. Na stoliku są już przygotowane te trzy bramki, za którymi w sposób niewidoczny dla śmiałka są umieszczone kartki – jedna z samochodem, dwie pozostałe z kozą. Śmiałek ma wybrać jedną z bramek. Chce, oczywiście, trafić na samochód, a nie kozę. Wybiera jedną z bramek. Prowadzący nie odsłania bramki. Robi głupią minę, trochę się wydurnia i pyta: „Czy naprawdę wybierasz tę bramkę? Zobacz! (i tu odsłania inną bramkę, za którą jest koza). Za tą bramką jest koza! Daję ci jeszcze jedną szansę. Możesz zmienić swój wybór. Zmieniasz czy nie zmieniasz?”. Trochę się wygłupia, ale w końcu akceptuje ostateczny wybór śmiałka.
POLECAMY
Pytanie: Co doradzić śmiałkowi? Zmieniać czy nie zmieniać? Jaką decyzję powinien podjąć ochotnik?
Możliwe są różne sposoby podejmowania decyzji. Przykładowo śmiałek może spojrzeć za okno i gdy zobaczy jakiegoś ptaszka, zmieni zdanie, a jak nie, to nie zmieni. Prowadzimy kilka takich rozgrywek, za każdym razem z nową osobą w charakterze śmiałka. Prowadzący notuje wyniki na tablicy, zaliczając każdą rozgrywkę do jednej z dwóch rubryk na tablicy. Zwykle już po dwudziestu rozgrywkach wyniki są np. takie:
- zmiana: SSKSK SKSSS,
- bez zmiany: KKSKK KSKKS (20 rozgrywek, 20 śmiałków).
Teraz dyskusja: Dlaczego tak jest?
Wytłumaczenie jest proste. Decyzja „nie zmieniam” daje szansę na wygraną 1/3. Decyzja „zmieniam” stawia mnie w nowej sytuacji. Teraz mamy już tylko dwie bramki. Gdy zmienimy wybór, wygramy tylko wtedy, gdy nasz pierwszy wybór to była koza – 2/3, a przegramy, gdy trafiliśmy od razu na samochód – 1/3.
Intuicyjnie wydaje się, że nie ma znaczenia, czy zawodnik pozostanie przy swoim wyborze, czy nie. Okazuje się jednak, że jest inaczej. Przy wyborze strategii pozostawania przy swoim pierwszym wyborze prawdopodobieństwo wygranej wynosi 1/3. Natomiast przy strategii zmiany wynosi dwa razy tyle.
To znaczy, że śmiałkowi opłaci się zmienić bramkę, ponieważ ma wtedy dwa razy większe szanse na wygraną. Paradoks wynika z niedocenienia informacji, jaką przekazuje prowadzący. Informacją tą jest wskazanie bramki z kozą.
Na tym przykładzie widzimy też różnicę między pojedynczym wyborem losowym a strategią postępowania przy powtarzaniu tej zabawy i analizowaniu wyników. Poniewaź stosunek prawdopodobieństw 2/3 do 1/3 wynosi 2, to znaczy, że przy zmianie szanse na wygraną są dwa razy takie jak przy braku zmiany. To jest dużo. Tak wielka różnica jest statystycznie widoczna zwykle już przy kilkunastu doświadczeniach. Dlatego zabawę „Dwie kozy i samochód” można przeprowadzić w czasie jednej godziny lekcyjnej, a wyniki są zwykle uderzające. Zbieranie danych i ich analiza to mocne narzędzie do wyboru postępowania.
Bibliografia:
- Ask Marylin, w sieci.
- Paradoks Monty Halla, w sieci.
- Klekowski M., Doświadczenie na lekcji matematyki, „NiM” 43/2002, s. 17–19.
- Klekowski M., Jeszcze raz o dwóch kozach i samochodzie, „NiM” 44/2002, s. 13.
- Mostowski K., Proceptualne własności prawdopodobieństwa, „NiM” 44/2002, s. 43–44.
- Mostowski K., Metafora Krygowskiej, „NiM” 48/2003, s. 15–17.
- Szczodrowski P., Intuicja i dedukcja (Dwie kozy i samochód), „NiM” 3/1992, s. 26.
- Zeszyty „NiM” są w sieci na stronie Stowarzyszenia Nauczycieli Matematyki pod hasłem „Matematyka i Nauczyciele”.
- Zobacz też w sieci mathsiedlce.edu.pl – jest tam sporo ciekawych informacji na podobne tematy.
