Dołącz do czytelników
Brak wyników

Otwarty dostęp , Nauczanie matematyki

8 lipca 2019

NR 39 (Lipiec 2019)

Rozwiązywanie równań z prostym kalkulatorem w ręku

0 38

Na początek opiszemy pewne zdarzenie. Starsza siostra, która odrabia lekcję z matematyki, czyta głośno: „Zagadka: Cegła waży pół cegły i jeden kilogram. Ile waży ta cegła?”. I dalej głośno myśli: Cegła waży pół cegły, to przecież niemożliwe. A ja mam to zapisać równaniem. Na to jej mama: „Przeczytaj do końca i pomyśl”.

Minęła może minuta i z sąsiedniego pokoju przybiegł młodszy brat, który jeszcze nie chodził do szkoły, i pokazał rysunek. Była na nim narysowana nauczycielka z bukietem kwiatków w ręku, a obok waga z dwoma szalkami. Na jednej szalce było coś, co miało być cegłą, na drugiej coś podobnego i nic więcej. Dzieci lubiły rysować, więc mama nie była zdziwiona, ale popatrzyła i powiedziała: „Ładny rysunek, ale na tej szalce czegoś brakuje”. Cała trójka zaczęła się przyglądać rysunkowi. Nie mogę zacytować dokładnie słów. Ale pamiętam, że było to coś w tym rodzaju: „Te kwiatki bardzo ładne, ale ta cegła! I ta druga. Tu powinno być pół cegły. A obok odważnik 1-kilogramowy…”.

Już nie ma w sklepach ani wag szalkowych, ani odważników – teraz są wagi cyfrowe. Metafora wagi dla równania jako zagadki nie jest już więc tak nośna, jak była kiedyś. W szkolnych szafach są jakieś plastikowe wagi-zabawki, jednak rzadko się z nich korzysta.

Na prostych kalkulatorach jest klawisz „=”, ale jego znaczenie jest lokalne, znaczy „Proszę o wynik”. To nie jest znak łączący dwa wyrażenia, które znaczą lub powinny znaczyć to samo. Nie jest to relacja równoważności.

Tego nie zmienimy. Musimy to zaakceptować. Musimy z tym żyć. Musimy to wykorzystać w nowej sytuacji i z pożytkiem dla edukacji.

Pokażemy, że prosty kalkulator, odpowiednio zastosowany, może służyć do rozwiązywania równań.

Przykład 1 – Zadanie o cegle


Rozpracujemy szczegółowo zadanie opisane powyżej w formie zagadki. Nie wiemy, ile waży cegła – przypuśćmy, że dwa i pół kilograma (2,5 kg) i sprawdzimy, czy to może być prawda. Jak zwykle, wpis do kalkulatora zapisujemy z akapitem sześciu spacji.

2,5    Wpis do kalkulatora z akapitem sześciu spacji.
2,5        Odpowiedź kalkulatora bez akapitu.
    × 0,5 + 1 =    Bierzemy połowę (× 0,5) i dodajemy 1 (kg).
2,25
    × 0,5 + 1 =
2,125
    × 0,5 + 1 =
2,0625
    × 0,5 + 1 =
2,03 125
    × 0,5 + 1 =
2,015 625
    × 0,5 + 1 =
2,0 078 125        Już zaczynamy rozumieć, jak ta zabawa się skończy.
    × 0,5 + 1 =
2,0 039 062
    × 0,5 + 1 =
2,0 019 531
    × 0,5 + 1 =
2,0 009 765
    × 0,5 + 1 =     Powtarzając stale ten wpis, dostaniemy w końcu:
2,0 004 882

    × 0,5 + 1 =
2,0 000 002
    × 0,5 + 1 =
2,0 000 001
    × 0,5 + 1 =
2
    × 0,5 + 1 =
2        Dobrnęliśmy do punktu stałego dla przekształcenia × 0,5 + 1 i mamy rozwiązanie zagadki.

Ta cegła waży 2 kilogramy. Rozwiązaliśmy zadanie za pomocą kalkulatora. Sprawdzenie metody, co prawda w jednym, jedynym przypadku, wypadło pomyślnie.

Ten sposób, zastosowany do tak prostego równania, może się wydawać bardzo nadęty, ale chodzi o pokazanie metody, którą można stosować w innych, ciekawszych przypadkach i otrzymywać wyniki numeryczne.

Przykład 2 – Złota liczba 


(zobacz w sieci, co to jest złota liczba)
Przyjmiemy taką definicję: złota liczba to taka liczba, która różni się od swojej odwrotności o 1. Można to zapisać na dwa sposoby: x – 1 = 1/x lub x + 1 = 1/x. Z tej pierwszej równości mamy równanie kwadratowe: x2 – x = 1, które możemy zapisać w takiej formie: x = 1/x + 1

Natomiast z drugiego równania kwadratowego (x2 + x = 1), otrzymamy: x(x + 1) = 1, czyli: x = 1/(x + 1) lub x = (x + 1)−1

Możemy wtedy za wartość początkową x przyjąć jakąkolwiek liczbę, brać jej odwrotność, dodać 1 i znów brać odwrotność, dodać 1 i tak dalej. Spróbujmy to wykonać. Najpierw sprawdzimy, jak wykonać operację brania odwrotności na prostym kalkulatorze.

Branie odwrotności liczby otrzymujemy sekwencją klawiszy „÷=”, czyli „podzielić” i „równa się”, np.:

    2÷=
0,5
...

Artykuł jest dostępny dla zalogowanych użytkowników w ramach Otwartego Dostępu.

Załóż konto lub zaloguj się.
Czeka na Ciebie pakiet inspirujących materiałów pokazowych.
Załóż konto Zaloguj się

Przypisy