Dołącz do czytelników
Brak wyników

Otwarty dostęp , Nauczanie matematyki

8 lipca 2019

NR 39 (Lipiec 2019)

Rozwiązywanie równań z prostym kalkulatorem w ręku

0 95

Na początek opiszemy pewne zdarzenie. Starsza siostra, która odrabia lekcję z matematyki, czyta głośno: „Zagadka: Cegła waży pół cegły i jeden kilogram. Ile waży ta cegła?”. I dalej głośno myśli: Cegła waży pół cegły, to przecież niemożliwe. A ja mam to zapisać równaniem. Na to jej mama: „Przeczytaj do końca i pomyśl”.

Minęła może minuta i z sąsiedniego pokoju przybiegł młodszy brat, który jeszcze nie chodził do szkoły, i pokazał rysunek. Była na nim narysowana nauczycielka z bukietem kwiatków w ręku, a obok waga z dwoma szalkami. Na jednej szalce było coś, co miało być cegłą, na drugiej coś podobnego i nic więcej. Dzieci lubiły rysować, więc mama nie była zdziwiona, ale popatrzyła i powiedziała: „Ładny rysunek, ale na tej szalce czegoś brakuje”. Cała trójka zaczęła się przyglądać rysunkowi. Nie mogę zacytować dokładnie słów. Ale pamiętam, że było to coś w tym rodzaju: „Te kwiatki bardzo ładne, ale ta cegła! I ta druga. Tu powinno być pół cegły. A obok odważnik 1-kilogramowy…”.

Już nie ma w sklepach ani wag szalkowych, ani odważników – teraz są wagi cyfrowe. Metafora wagi dla równania jako zagadki nie jest już więc tak nośna, jak była kiedyś. W szkolnych szafach są jakieś plastikowe wagi-zabawki, jednak rzadko się z nich korzysta.

Na prostych kalkulatorach jest klawisz „=”, ale jego znaczenie jest lokalne, znaczy „Proszę o wynik”. To nie jest znak łączący dwa wyrażenia, które znaczą lub powinny znaczyć to samo. Nie jest to relacja równoważności.

Tego nie zmienimy. Musimy to zaakceptować. Musimy z tym żyć. Musimy to wykorzystać w nowej sytuacji i z pożytkiem dla edukacji.

Pokażemy, że prosty kalkulator, odpowiednio zastosowany, może służyć do rozwiązywania równań.

Przykład 1 – Zadanie o cegle


Rozpracujemy szczegółowo zadanie opisane powyżej w formie zagadki. Nie wiemy, ile waży cegła – przypuśćmy, że dwa i pół kilograma (2,5 kg) i sprawdzimy, czy to może być prawda. Jak zwykle, wpis do kalkulatora zapisujemy z akapitem sześciu spacji.

2,5    Wpis do kalkulatora z akapitem sześciu spacji.
2,5        Odpowiedź kalkulatora bez akapitu.
    × 0,5 + 1 =    Bierzemy połowę (× 0,5) i dodajemy 1 (kg).
2,25
    × 0,5 + 1 =
2,125
    × 0,5 + 1 =
2,0625
    × 0,5 + 1 =
2,03 125
    × 0,5 + 1 =
2,015 625
    × 0,5 + 1 =
2,0 078 125        Już zaczynamy rozumieć, jak ta zabawa się skończy.
    × 0,5 + 1 =
2,0 039 062
    × 0,5 + 1 =
2,0 019 531
    × 0,5 + 1 =
2,0 009 765
    × 0,5 + 1 =     Powtarzając stale ten wpis, dostaniemy w końcu:
2,0 004 882

    × 0,5 + 1 =
2,0 000 002
    × 0,5 + 1 =
2,0 000 001
    × 0,5 + 1 =
2
    × 0,5 + 1 =
2        Dobrnęliśmy do punktu stałego dla przekształcenia × 0,5 + 1 i mamy rozwiązanie zagadki.

Ta cegła waży 2 kilogramy. Rozwiązaliśmy zadanie za pomocą kalkulatora. Sprawdzenie metody, co prawda w jednym, jedynym przypadku, wypadło pomyślnie.

Ten sposób, zastosowany do tak prostego równania, może się wydawać bardzo nadęty, ale chodzi o pokazanie metody, którą można stosować w innych, ciekawszych przypadkach i otrzymywać wyniki numeryczne.

Przykład 2 – Złota liczba 


(zobacz w sieci, co to jest złota liczba)
Przyjmiemy taką definicję: złota liczba to taka liczba, która różni się od swojej odwrotności o 1. Można to zapisać na dwa sposoby: x – 1 = 1/x lub x + 1 = 1/x. Z tej pierwszej równości mamy równanie kwadratowe: x2 – x = 1, które możemy zapisać w takiej formie: x = 1/x + 1

Natomiast z drugiego równania kwadratowego (x2 + x = 1), otrzymamy: x(x + 1) = 1, czyli: x = 1/(x + 1) lub x = (x + 1)−1

Możemy wtedy za wartość początkową x przyjąć jakąkolwiek liczbę, brać jej odwrotność, dodać 1 i znów brać odwrotność, dodać 1 i tak dalej. Spróbujmy to wykonać. Najpierw sprawdzimy, jak wykonać operację brania odwrotności na prostym kalkulatorze.

Branie odwrotności liczby otrzymujemy sekwencją klawiszy „÷=”, czyli „podzielić” i „równa się”, np.:

    2÷=
0,5
     ÷=
2
    ÷=
0,5        Już widzimy, co się dzieje. Wyniki to na przemian 2 i 0,5 i kalkulator skacze po tych liczbach. Sprawdźmy więc, jak będzie dla liczby 3. To trochę bardziej skomplikowane:
    3    
3
    ÷=
0,3 333 333        Kalkulator policzył tyle miejsc, ile może, a dalsze miejsca obciął.
    ÷=
3,0 000 003        Odwrotność takiej obciętej liczby nie daje liczby początkowej, ale ciut więcej.
    ÷=
0,3 333 333        I tak w kółko. Sprawdźmy to jeszcze z innymi liczbami, np. 7:
    7 ÷=    
 

0,1 428 571        Dalsze miejsca kalkulator obciął i konsekwencję tego widzimy poniżej:
    ÷=
7,0 000 021        Poprzednia wartość była z niedomiarem, ta jest z nadmiarem itd.

Wracamy do naszego głównego zadania: znaleźć pierwiastki równania kwadratowego, które już napisaliśmy w formie 
x = (x + 1)−1.

Do dowolnie wybranej liczby początkowej dodajemy 1 i znajdujemy jej odwrotność, dodajemy 1 i bierzemy odwrotność, do wyniku dodajemy 1 i bierzemy odwrotność – i tak powtarzamy w kółko.
Mamy taki dialog z kalkulatorem:
    2
2
    + 1 ÷=        Dodajemy 1 i bierzemy odwrotność:
0,3 333 333
    + 1 ÷=
0,75
    + 1÷=
1,3 333 333
    + 1 ÷=        Dla oszczędności miejsca nie będziemy już wpisywać tej operacji, tylko wyniki:
0,5 714 285
0,6 363 636
0,6 111 111
0,6 206 896
0,6 170 212
0,618 421
0,6 178 861
0,6 180 904
0,6 180 124
0,6 180 422
0,6 180 308
0,6 180 352
0,6 180 335
0,6 180 341
0,6 180 339
0,618 034
0,6 180 339
0,618 034
0,6 180 339
0,618 034
0,6 180 339            I widać, że to jest granica możliwości kalkulatora. Obliczył z taką dokładnością, jak potrafił. Wyliczył liczbę złotą z dokładnością do sześciu miejsc po przecinku.

W tym przykładzie wykorzystaliśmy zapis x + 1 = 1/x, czyli 
x = 1/(x + 1), ale możemy wykorzystać też tę drugą formę: 
x = 1/x + 1. Tu działania wykonujemy tak jak kalkulator: od lewej do prawej.

Przykład 3


Wykorzystując zapis x = 1/x + 1 równania złotej liczby, spróbujmy powtórzyć postępowanie nakreślone w przykładzie 2. Zacznijmy od dowolnie wybranej liczby. My tu wybieramy liczbę 5 
na początek i dalej postępujemy tak jak nam każe sekwencja operacji 1/x + 1.

Po wyzerowaniu kalkulatora wpisujemy:
    5
5
    ÷= + 1 =     Bierzemy odwrotność (÷=) i dodajemy 1 (+ 1 =).
1,2
    ÷= + 1 =     Dla oszczędności miejsca nie będziemy już wpisywać tej operacji, tylko wyniki:
1,8 333 333
1,5 454 545
1,6 470 588
1,6 071 428
1,6 222 222
1,6 164 383
1,618 644
1,617 801
1,6 181 229
1,618
1,6 180 469
1,618 029
...

Artykuł jest dostępny dla zalogowanych użytkowników w ramach Otwartego Dostępu.

Załóż konto lub zaloguj się.
Czeka na Ciebie pakiet inspirujących materiałów pokazowych.
Załóż konto Zaloguj się

Przypisy