Heurystyka Poly’ego w zadaniach geometrycznych

Słynny matematyk węgierski żydowskiego pochodzenia, Gyӧrgy Pólyi (1887–1985), potem ze zmienionym nieco nazwiskiem George Poly, uznany jest przez świat matematyczny za twórcę heurystyki, czyli poszukiwania sposobów rozwiązywania zadań i problemów matematycznych.

Miał w swoim życiu wiele szczęścia, poznając takich słynnych matematyków, jak John Litlewood, David Hilbert, Constantin Caratheodory, Lorand Eӧtvӧs, Felix Klein, Hermann Weyl czy Richard Courant.

 George Poly (1887–1985)

Matematyczne metody Poly’ego pomogły innemu Węgrowi, Imre Lakatosowi, w jego filozoficznym podejściu do matematyki i ekonomii, zainspirowały holenderskiego artystę, Mauritiusa Eshera, do tworzenia słynnych na całym świecie grafik, sprawiły radość chemikom w badaniu chemii organicznej, a także posłużyły w medycynie do modelowania rozprzestrzeniania się choroby zakaźnej.

Poly interesował się biologią, fizyką, teorią wyborów i astronomią, co zaowocowało wydaniem w 1962 roku książki Matematyczne metody w naukach ścisłych. Niestety, nie doczekała się ona polskiego wydania.

Swoje dydaktyczne przemyślenia George Poly zawarł w dwóch innych publikacjach – Jak to rozwiązać oraz Odkrycie matematyczne, w których naucza, jak podchodzić do rozmaitych zadań i jak atakować problemy matematyczne. Obie te publikacje pojawiły się w języku polskim w latach siedemdziesiątych ubiegłego stulecia.

Od 1933 roku z małymi przerwami przebywał w stanie Princeton w USA. Tam na uniwersytecie Stanforda organizował konkursy dla zdolnych matematyków. Jego uczeń, Jeremi Kilpatrick, spisał te zadania i wydał je pod nazwą The Stanford Mathematics Problem Books. Oto jedno z nich:
Czworokąt został rozcięty dwoma jego przekątnymi na cztery trójkąty. Nazwijmy dwa z nich przeciwległymi, gdy mają wspólny wierzchołek, ale nie mają wspólnego boku. Udowodnij, że:

•  iloczyny pól przeciwległych trójkątów są takie same,
•  czworokąt jest trapezem wtedy i tylko wtedy, gdy ma dwa przeciwległe trójkąty o tych samych polach,
•  czworokąt jest równoległobokiem, jeśli obie pary przeciwległych trójkątów mają równe pola.
   

Obecnie, w dobie komputerów, gdy dysponujemy programami, które pozwalają na takie zadania spojrzeć w sposób dynamiczny, poszukiwanie ich heurystyk według zasad Poly’ego uławiają: 

• obserwacja własności niezmienniczych jednych obiektów w trakcie zmiany kształtu, wielkości czy położenia innych,
• rozważanie wielu przypadków danej sytuacji,
• zmiany parametrów występujących w zadaniu,
• dodanie lub dorysowanie nowych obiektów algebraicznych lub geometrycznych, ułatwiające dostrzeżenie istotnych cech ułatwiających rozwiązanie problemu.
   

Pragnę, aby Czytelnik, posługując się dynamicznymi programami komputerowymi Cinderella, CaR, Cabri lub GeoGebrą, spróbował rozwiązać zadania zamieszczone poniżej, stosując wspomniane wcześniej wybrane zasady Poly’ego. Zadania są nieco specyficzne i nietypowe. Ich poziom trudności odpowiada wiedzy ucznia starszych klas szkoły podstawowej i, oczywiście, liceum. Pierwsze spojrzenie na treść każdego z nich nie tylko jest zaskoczeniem dla rozwiązującego zadanie, ale też może sprawić niekłamaną radość z podjętego wyzwania i stanowić zachętę do pokonania nieznanych, nowych trudności. Zadania są zaczerpnięte ze znanych i nieznanych źródeł, kilka jest mojego autorstwa. Chodzi tu nie tylko o ich rozwiązanie, ale o opis inspiracji, do których przyczyniło się użycie wspomnianych programów geometrii dynamicznej.

Zadanie 1
Skonstruuj prostokąt o bokach a i b (a > b), znając odcinek o długości |a|+|b| oraz kąt między jego przekątną i podstawą.

Zadanie 2
Na ramionach kąta ostrego umieszczono punkty K i L, zaś M wewnątrz tego kąta. Gdzie umieścić punkty K i L, by dla ustalonego położenia punktu M obwód trójkąta KLM był minimalny?

Zadanie 3 – modyfikacja zadania 2
Na bokach dowolnego trójkąta ślizgają się dowolnie punkty K, L i M. Gdzie należy je umieścić na tych bokach, aby obwód trójkąta KLM był minimalny?

Zadanie 4
Dane są dwie proste a i b. Punkt C nie leży na żadnej z nich, zaś stały punkt A leży na prostej a. Skonstruuj na prostej b taki punkt B, aby trójkąt ABC był równoboczny.

Zadanie 5
Dane są trzy proste, a, b i c, dowolnie położone. Skonstruuj trójkąt równoboczny ABC tak, by Aa, Bb, Cc. Rozważ przypadki w zależności od położenia prostych.

Zadanie 6
Skonstruuj trójkąt równoboczny ABC tak, by jego wierzchołki leżały na trzech dowolnych okręgach. Przeprowadź dyskusję liczby rozwiązań tego zadania.

Zadanie 7
Skonstruuj styczną do dwóch okręgów rozłącznych o środkach A i B oraz promieniach a i b, gdzie a > b (to znane, ale, niestety, zapomniane zadanie).

Zadanie 8
Dana jest prosta k i punkt F nieleżący na niej. Należy skonstruo­wać co najmniej 4 takie punkty, których odległość od prostej k i punktu F jest taka sama.

Zadanie 9
W trójkąt ostrokątny ABC należy wpisać kwadrat KLMN, aby punkty K i L leżały na boku AB trójkąta, zaś punkty M i N na jego bokach odpowiednio BC i AC.

Zadanie 10 – czyżby zadanie podobne do poprzedniego?
W półkole o średnicy AB należy wpisać kwadrat KLMN tak, by jego wierzchołki K i L leżały na średnicy półkola, zaś M i N na półokręgu tego półkola.

Zadanie 11
Potrafimy skonstruować kwadrat wpisany w koło o promieniu r (jeden z wielu). Należy to zadanie rozwiązać w geometrii 3D, czyli wpisać sześcian w kulę o promieniu r – oczywiście, jeden z nich.