Obserwacje wskazują, że w trakcie odpowiednio zorganizowanych zajęć dzieci 4-, 5- i 6-letnie rozwijają umiejętności opisu swoich obserwacji, tworzą przypuszczenia, formułują pytania, a także świadomie analizują swoje myślenie. Takie wypowiedzi poparte są badaniami prowadzonymi zarówno w Polsce, jak i na świecie. Na przykład E. Gruszczyk-Kolczyńska, obserwując aktywność matematyczną dzieci 2–6-letnich, potwierdza, że spontanicznie wykorzystują one pojęcia matematyczne w życiu, doskonalą procedury przeliczania, dostrzegają schemat stałego porządku następowania i poprzedzania, potrafią kontynuować rytm przy czytaniu i tworzeniu liczb, umieją same tworzyć symbole i mają poczucie sensu. Podobne badania prowadzone w Ameryce wykazały, że ponad 94% dzieci rozpoczynających naukę w szkole potrafi liczyć do 10 oraz rozpoznawać podstawowe kształty. Dzieci potrafią też przeliczać niezbyt liczne zbiory, rozwiązywać zadania arytmetyczne na małych liczbach i dzielić „po równo”, a przy tym lubią zajmowanie się matematyką. Badania te pozwoliły podwyższyć próg umiejętności charakterystycznych dla określonych grup wiekowych, gdyż wykazały, że pewne pensum wiedzy o liczbie posiadają już dzieci trzyletnie.
POLECAMY
Spośród wszystkich aktywności matematycznych dostępnych dziecku stosunkowo najlepiej zostało rozpoznane w Europie rozumienie przez nich liczby, dlatego wymieniane przez badaczy obszary dziecięcej aktywności dotyczą arytmetyki. Sugerują jednak, że w tematyce tradycyjnie kojarzonej z geometrią mogą zalegać wielkie niewykorzystane obszary. Potwierdzają to obserwacje w obszarze „spontanicznych dziecięcych umiejętności geometrycznych”. Zajmowanie się kształtami nie kończy się na umiejętności nadania im odpowiednich nazw (dzieci z lubością popisują się używaniem bardzo wyrafinowanego słownictwa, np. „graniastosłup prostokątny”), ale prowadzi do głębokiego wchodzenia w ich własności, takie jak badanie boków czy osi symetrii. Tworząc układanki czy budując szlaczki, są w stanie nie tylko odgadnąć, „co będzie dalej”, ale też dokonać transformacji jednego szlaczka w inny czy reprezentować tę samą regularność na różne sposoby. Tak więc zajęcia z geometrii przygotowują do tych zachowań i rozumowań, które są podstawą umysłowej aktywności na lekcjach matematyki.
Konieczność zwrócenia szczególnej uwagi na okres rozwojowy przypadający na 3–9 lat wynika dodatkowo z badań psychologicznych. Pojęciem, którym naukowcy często się tam posługują, są „okresy sensytywne” (okresy szczególnej wrażliwości), rozumiane jako predykatory wspierania uzdolnień. Inaczej mówiąc, to fazy w rozwoju dzieci, w których są one szczególnie podatne na rozwijanie konkretnych funkcji. I tak pamięć kształtuje się w okresie 2–8 lat, liczenie w pamięci 3–10 lat, wyobraźnia 5–11, a myślenie przyczynowo-skutkowe 6–12 Jednak jeżeli pozbawimy dziecko możliwości zdobywania określonych doświadczeń w czasie, kiedy jest ono najbardziej na nie uwrażliwione, bardzo trudno będzie spowodować rozwój w następnych okresach.
Niestety, te opinie i obserwacje nie mają przełożenia na szkolną rzeczywistość. Zjawisko niepowodzeń w uczeniu się matematyki, dotykające większości szkolnych dzieci, jest faktem. Tę sprzeczność jeszcze w latach 80. ubiegłego wieku Piaget komentował następująco:
Jest zjawiskiem typowym fakt, że w klasach o normalnym poziomie uzdolnień tylko część uczniów rozumie matematykę, przy czym ta część niekoniecznie obejmuje osoby najbardziej uzdolnione w innych dziedzinach. Niekiedy nawet traktuje się rozumienie matematyki jako oznakę specjalnego uzdolnienia, owej „żyłki” do matematyki, której obecność lub brak są uważane za wykładnię powodzeń lub porażek, bez zastanowienia się, czy te ostatnie nie były może skutkiem metody nauczania. Otóż, matematyka nie jest niczym innym jak logiką, stanowiąc najbardziej naturalne przedłużenie logiki w potocznym tego słowa znaczeniu, i logiczną podstawą wszystkich rozwiniętych przejawów myśli naukowej. Niepowodzenie w matematyce oznaczałoby więc braki w samych mechanizmach rozwoju umysłowego. Zanim wydamy tak poważny sąd o większości uczniów i o dużej liczbie byłych uczniów naszych szkół (co bowiem zostaje ze znajomości matematyki u większości dorosłych niespecjalizujących się w naukach ścisłych?), koniecznie musimy zadać sobie pytanie, czy odpowiedzialność za ten stan rzeczy nie spada raczej na metody1.
Zajmowanie się więc wczesnym kształtowaniem umiejętności matematycznych dzieci jest najlepszym (jedynym?) sposobem zapobiegania matematycznej analfabetyzacji społeczeństwa. A w tym obszarze najbardziej zaniedbana jest geometria.
Co warto wiedzieć o rozwoju geometrycznego myślenia?
W nauczaniu wczesnoszkolnym geometria jest traktowana głównie jako narzędzie wspierające arytmetykę albo jako wypełniacz czasu. Czym dziś grzeszy geometria wczesnoszkolna – oprócz tego, że jest realizowana w bardzo wąskim zakresie?
- Uważaniem, że dopóki nie można czegoś zmierzyć – nie ma co robić w geometrii.
- Ograniczaniem do działań w geometrii płaskiej (bo przestrzenna to, zdaniem wielu, „wyższy poziom”, niezależnie od tego, że dzieci od niemowlęctwa bawią się klockami i świetnie się w nich orientują).
- W geometrii płaskiej ograniczeniem uwagi do pojedynczych figur, bez próby szukania związków między figurami, w tym – wzajemnego ułożenia figury do figury.
- Przy zajmowaniu się figurami geometrycznymi kładzeniem nacisku na egzekwowanie nazw tych figur: trójkąta, kwadratu, prostokąta, koła, tak jakby to nazwa była sprawą pierwszorzędną dla rozumienia istoty zjawiska.
- Proponowaniem ćwiczeń polegających najczęściej na wyróżnianiu figur („zamaluj wszystkie koła na niebiesko”) – czyli działań na poziomie wzrokowym, które dla dziecka są bezproblemowe, a w związku z tym nie poszerzają jego dotychczasowej wiedzy o figurach.
Badania, w połączeniu z sugestiami psychologów na temat przekraczania „progów” rozumowania, stwarzają olbrzymią pokusę i potrzebę zmiany szkolnej rzeczywistości matematycznej. Oczywiście, wymaga to odpowiedniego przygotowania programu nauczania, opartego na rzetelnych badaniach dydaktycznych, bardzo mocno zintegrowanego z pedagogiką pracy z dzieckiem. Powinno to być nauczanie perspektywiczne, rozwijające, wykorzystujące umiejętności posiadane przez dzieci, skierowane na te własności myślenia, które mają duże znaczenie w rozumowaniach matematycznych. Formy uczenia się powinny być typowe dla dzieci (małych uczniów). Muszą to być formy aktywne – takie, gdzie dziecko funkcjonuje w środowisku znanym sobie na tyle, że jest w stanie uruchomić swoje wcześniejsze doświadczenia po to, aby eksperymentować i zdobywać nowe doświadczenia.
Nie można uważać, że matematyka małych dzieci, traktowana jako specyficzna ludzka aktywność, różni się istotnie od matematyki dzieci starszych czy też osoby dorosłej. Niewątpliwie inny jest poziom rozwoju umysłowego dziecka i osoby dorosłej, inny zakres doświadczeń praktycznych i teoretycznych, inny sposób organizowania myślenia. Ale dziecko, rozwiązując matematyczny problem na swoim poziomie, musi dokonać wielu czynności, które charakteryzują działalność matematyczną w ogóle: powinno umieć określić, na czym polega dany problem i jakimi metodami można go rozwiązać, umieć określić, które elementy danej sytuacji są istotne, a które nie, umieć znaleźć zależności pomiędzy istotnymi zmiennymi, często – zapisać je symbolicznie. W manifeście programu MATHE 2000 jego autorzy założyli między innymi, że lista celów [kształcenia matematycznego dzieci – przyp. autora] zawiera również tzw. cele ogólne: „matematyzowanie”, „odkrywanie”, „rozumowanie”, „komunikowanie”, które odzwierciedlają podstawowe składniki budowania matematyki na wszystkich poziomach.
Wszystkie pojęcia matematyczne zakorzenione są w otaczającej nas rzeczywistości. Jednak nieczęsto podkreśla się, że budowanie pojęć geometrycznych przebiega inaczej niż to ma miejsce w przypadku pojęć arytmetycznych.
Pierwsze geometryczne poznanie oparte jest na percepcji (postrzeganiu), a nie na akcji (jak to się ma dla arytmetyki, zgodnie z koncepcjami odwołującymi się do Piageta). Jest to więc poznanie statyczne, co wcale nie znaczy – bierne. To pierwsze poznanie powinno prowokować do dalszego poznawania, głównie poprzez działanie. Geometryczny świat można otworzyć bardzo wcześnie, ponieważ wiedza geometryczna jest bardzo dobrze skorelowana z naturalnym dziecięcym sposobem poznawania. Wszystkie informacje zebrane przez percepcję mają dla nich szczególne znaczenie. Uczenie się dzieci polega na zdobywaniu informacji poprzez obserwowanie świata złożonego z obiektów. Jedną z własności obiektów jest ich kształt, zaś niektóre kształty – regularne – bardzo przyciągają ich uwagę i prowokują do dalszego działania. Dlatego geometria to jeden z najlepszych obszarów, w których dziecko może wejść w świat matematyki.
Niektórzy geometrzy wskazują jednak na bardziej szczegółowe (a może szersze) źródła dla geometrii. Mogą to być: sztuka (głównie mozaiki, w tym – jednowymiarowe, czyli szlaczki), architektura (budowle), nawigacja (i ruchy planet) oraz ruch mechaniczny (i związane z tym maszyny). Historycznie każdy z tych nurtów rozwijał się w różnych kierunkach, prowadząc do własnych odkryć, które w pewnym momencie miały duże znaczenie dla samej geometrii. A dla nauczania geometrii te źródła powinny stanowić pewną wskazówkę, jakie obszary dziecięcej aktywności warto wspierać.
Skupmy się więc przynajmniej na dwóch z tych obszarów, obu traktowanych bardzo marginalnie (jeśli nie pomijanych). Będą to mozaiki oraz ruch. Na początek – same mozaiki.
Dlaczego szlaczki i mozaiki
Jednym ze sposobów poznawania świata geometrii jest zapewnienie właściwej informacji wizualnej związanej z możliwością manipulacji i eksperymentowania, z miejscem na kreatywność i pomysłowość dziecka. W obszarze dziecięcych intuicji geometrycznych można wyróżnić co najmniej dwa zagadnienia, które stanowią podstawę i są jednocześnie wprowadzeniem do kształtowania pojęć geometrycznych w szkolnej edukacji. Są to:
- rozpoznawanie i tworzenie kształtów (koło, kwadrat, trójkąt itd.),
- tworzenie aranżacji opartych na różnego rodzaju regularnościach, symetriach i powtórzeniach.
Te dwa zagadnienia są ze sobą mocno związane, gdyż kształty zajmują określone miejsce (położenie) w przestrzeni i są dodatkowo stymulowane odczuciami estetycznymi – regularne kształty są łatwiej zauważalne. Na wczesnych etapach rozumienia pojęć geometrycznych dzieci często mówią, że trójkąt jest bardzo ładny, co ma oznaczać, że jest regularny. W zakresie regularności związanych z mozaikami uwaga dziecka przesuwa się z samego kształtu jako takiego na wzajemne ułożenie obiektu do obiektu. I tutaj też podstawowe znaczenie mają odczucia estetyczne.
Dotychczasowa praktyka szkolna skupiała się jedynie na pierwszym zagadnieniu – zapoznawaniu z podstawowymi figurami geometrycznymi. Wydaje się, że warto więcej uwagi poświęcić drugiemu wspomnianemu przeze mnie obszarowi.
Każda regularność jest atrakcyjna, przyciąga uwagę. Szlaczki i mozaiki są przyjaznym środowiskiem dla dzieci, bliskim ich naturalnej, spontanicznej aktywności. Dają przyjemność tworzenia bez troszczenia się o „poprawny” wynik, tworzą okazję do wypowiedzenia się bez strachu o krytykę, umożliwiają realizację własnych pomysłów i dają motywację do pracy manualnej i intelektualnej. Dlatego dzieci w naturalny sposób są nią zainteresowane, motywacja do działania jest spontaniczna. Podczas tworzenia tematycznych kompozycji geometrycznych, tworzenia budowli z klocków lub dekorowania dywanów dzieci nie tylko lepiej i sensowniej poznają kształty geometryczne (poprzez porównywanie długości boków lub rozpoznawanie wielkości kątów). Mogą również odczuwać potrzebę takich aranżacji, które osoba dorosła potrafi opisać za pomocą języka zależności geometrycznych. W środowisku rytmów i regularności rozpoznanie sytuacji geometrycznej jest spontaniczne. Wiąże się z nią rozwiązywanie problemów, których cel dzieci są w stanie jasno dla siebie określić.
Symetria, realizowana w szerszym albo węższym sensie, jest ideą, z której ludzkość korzystała, opisując piękno, porządek i doskonałość. Takie symetryczne układy mogą pojawić się przypadkowo, dziecko – próbując i sprawdzając różne ułożenia obiektów – będzie nimi manipulowało tak długo, aż uzna je za wystarczająco ładne. Ogólnie uważa się, że tworzenie własnych układów i aranżacji jest dobrym punktem wyjścia do zrozumienia przez dzieci przekształceń geometrycznych. Tak naprawdę od tworzenia szlaczków i mozaik do stworzenia geometrycznych pojęć wiedzie daleka droga, choć związki między obiema tymi sytuacjami wydają się być jasne.
W szkolnych zasobach pomocy dydaktycznych często zalegają różne zestawy do tworzenia mozaik. To bardzo dobry środek, który powinien być często wykorzystywany. W moich obserwacjach możliwości geometrycznych dzieci wykorzystywałam „kafelki” – kwadratowe papierowe kartoniki z nadrukowanym prostym wzorem, pozwalającym na komponowanie większych całości. Analiza prac dzieci z tym materiałem przekonała mnie, że daje on możliwości geometrycznego eksperymentowania, wychodzące daleko poza oczekiwane. Niektóre spostrzeżenia związane z tymi pracami przedstawię w następnym opracowaniu.
Bibliografia:
- Piaget J., Nauczanie matematyki a rozwój dziecka, „Wiadomości Matematyczne” XXII.1/1979, s. 150.
- Wittmann E.Ch., Designing, Researching and Implementing Mathematical Learning Environments, The Research Group „Mathe 2000”, Proceedings of the 25th Conference of International Group of Mathematics Education, PME25, Utrecht, ed. Marja van den Heuvel-Panhuizen, 1/2001, s. 189.
