Dołącz do czytelników
Brak wyników

Koło matematyczne

19 października 2018

NR 34 (Wrzesień 2018)

Magiczne liczby zespolone

0 22

Edukacja matematyki w szkole średniej kończy się na zbiorze liczb rzeczywistych. Prawdziwa przygoda zaczyna się w momencie, kiedy odkrywamy, że można pierwiastkować liczby ujemne. Mówimy wtedy o liczbach zespolonych i w tym artykule chciałbym je przedstawić.

Każdy bardzo dobrze wie, że nie istnieje pierwiastek z liczby ujemnej. Ale czy kiedyś, drogi Czytelniku, sprawdziłeś to? Czy nigdy nie możemy uznać takiego pierwiastka? W szkole uczymy się o liczbach rzeczywistych, pośród których poznajemy, oprócz znajomych nam liczb naturalnych, całkowitych i ułamków (wymiernych), także takie twory jak , itd. Poznajemy też liczbę bardzo związaną z kołem, o nazwie π. Te liczby tworzące jeden zbiór noszą nazwę liczb rzeczywistych. Rzeczywiście, w tym zbiorze nie istnieją pierwiastki z liczb ujemnych. A w jakim zbiorze istnieją? Taki zbiór nosi nazwę zbioru liczb zespolonych. Ale zacznijmy od początku.

Już na początku naszej ery Heron z Aleksandrii, bawiąc się figurami i bryłami geometrycznymi, tworzył figury, które nie miały prawa istnieć w naszej rzeczywistości, ponieważ miały ujemną wysokość (ryc. 1).

Niestety, nie przywiązywał do tego zbyt dużej uwagi i odkrycie liczb zespolonych odsunęło się w czasie. Kolejnym Grekiem, który miał szansę zapisać się w historii matematyki złotymi głoskami jako odkrywca liczb zespolonych, był Diofantos. Diofantos zasłynął z tak zwanych równań diofantycznych (równania, których pierwiastków szukamy w zbiorze liczb całkowitych). Zajmując się trójkątami prostokątnymi, otarł się o liczby zespolone. Postanowił rozwiązać zadanie przedstawione na ryc. 2.

Problem polega na tym, że nie ma tu rozwiązań, chyba że zespolone. Sprawdźmy:

Łatwo sprowadzić powyższe rozwiązanie do następującego równania:

\(84x2 − 43x + 6 = 0\)

Gdy policzymy deltę, odkryjemy, że jest ona ujemna i wynosi −167. W jakiej sytuacji delta jest ujemna?
W szkole mówi się, że nie ma rozwiązań, czy na pewno?

...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy