Każdy bardzo dobrze wie, że nie istnieje pierwiastek z liczby ujemnej. Ale czy kiedyś, drogi Czytelniku, sprawdziłeś to? Czy nigdy nie możemy uznać takiego pierwiastka? W szkole uczymy się o liczbach rzeczywistych, pośród których poznajemy, oprócz znajomych nam liczb naturalnych, całkowitych i ułamków (wymiernych), także takie twory jak , itd. Poznajemy też liczbę bardzo związaną z kołem, o nazwie π. Te liczby tworzące jeden zbiór noszą nazwę liczb rzeczywistych. Rzeczywiście, w tym zbiorze nie istnieją pierwiastki z liczb ujemnych. A w jakim zbiorze istnieją? Taki zbiór nosi nazwę zbioru liczb zespolonych. Ale zacznijmy od początku.
POLECAMY
Już na początku naszej ery Heron z Aleksandrii, bawiąc się figurami i bryłami geometrycznymi, tworzył figury, które nie miały prawa istnieć w naszej rzeczywistości, ponieważ miały ujemną wysokość (ryc. 1).
Niestety, nie przywiązywał do tego zbyt dużej uwagi i odkrycie liczb zespolonych odsunęło się w czasie. Kolejnym Grekiem, który miał szansę zapisać się w historii matematyki złotymi głoskami jako odkrywca liczb zespolonych, był Diofantos. Diofantos zasłynął z tak zwanych równań diofantycznych (równania, których pierwiastków szukamy w zbiorze liczb całkowitych). Zajmując się trójkątami prostokątnymi, otarł się o liczby zespolone. Postanowił rozwiązać zadanie przedstawione na ryc. 2.
Problem polega na tym, że nie ma tu rozwiązań, chyba że zespolone. Sprawdźmy:
Łatwo sprowadzić powyższe rozwiązanie do następującego równania:
\(84x2 − 43x + 6 = 0\)
Gdy policzymy deltę, odkryjemy, że jest ona ujemna i wynosi −167. W jakiej sytuacji delta jest ujemna?
W szkole mówi się, że nie ma rozwiązań, czy na pewno?
Na długi czas matematycy przestali zajmować się tymi dziwnymi rozwiązaniami. Doszło nawet do tego, że w 850 r. n.e. hinduski matematyk Machaviracharya napisał w Ganita-sara-samgraha (kompendium istoty matematyki), że nie wolno zajmować się pierwiastkami z liczb ujemnych.
Na szczęście, niektórzy nie zastosowali się do tego zakazu. W 1545 roku Girolamo Cardano postawił następujący problem (w istocie zbliżony do problemu Diofantosa):
Podzielić 10 na dwie części, których iloczyn wynosi 40.
Wynikiem okazały się następujące dwie liczby:
\(5-\sqrt{-15}\) i \(5+ \sqrt{-15} \)
Długo torowały sobie drogę liczby zespolone do uznania ich za obiekt badań matematycznych. W 1572 r. w książce pod tytułem Algebra Rafael Bombelli umieścił liczbę ,a w 1629 r. Albert Girard wprowadził nazwę niemożliwe rozwiązania dla następującego zapisu liczbowego:
\(a+ \sqrt{-b}\)
Kartezjusz w 1637 r. nazwał te liczby urojonymi lub wymyślonymi. Mimo że w 1777 roku pojawił się symbol dla ,wprowadzony przez wybitnego matematyka, Leonarda Eulera, pod postacią literki i, to teoria liczb zespolonych zaczęła się rozwijać po uzyskaniu geometrycznej interpretacji. Genialne w swojej prostocie rozwiązanie podał Caspar Wessel w 1799 roku, wprowadzając płaszczyznę zespoloną (ryc. 3).
Jak wynika z rysunku, wprowadzenie tej płaszczyzny (czasem nazywanej diagramem Arganda) umożliwiło w prosty sposób rozwój badań tych liczb. My skupimy się tylko na kilku prostych właściwościach. Zapiszmy przede wszystkim liczbę zespoloną w następujący sposób:
\(Z = a + bi\)
i – pamiętając, że i2 = −1 – wprowadźmy podstawowe działania (ryc. 4).
Zobaczmy, że działania na nich nie różnią się od zwykłych działań wprowadzanych w szkole. Troszkę trudniej może być z dzieleniem, ale wykorzystamy tu operację „usuwania niewymierności z mianownika”, czyli tzw. mnożenie przez sprzężenie (ryc. 5).
Wiemy już, że istnieją pierwiastki z liczb ujemnych. Spróbujmy je najpierw zapisać… Zacznijmy od liczby −1. Zastanówmy się, jakie dwie takie same liczby trzeba pomnożyć przez siebie, żeby otrzymać −1. Możemy dać tylko jedną – i to dziwną – odpowiedź: jest to jest to i lub −i. Zobaczmy inne liczby:
\( \sqrt{-4}\), \( \sqrt{-5}\), \( \sqrt{-9}\)itd.
Spróbujmy zapisać to inaczej:
\( \sqrt{-4}=2i\), \( \sqrt{-5}= \sqrt{-5i}\), \( \sqrt{-9}= \sqrt{-9i}\) itd.
Wykonajmy podstawowe działania:
\(z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i = z3\)
- dodawanie – pogrupujmy teraz podobne ze sobą i… otrzymaliśmy nową liczbę zespoloną,
\(z1 + z2 = a1 + b1i +a2 + b2i\)
- odejmowanie – możemy wykonać analogicznie jak dodawanie i otrzymujemy:
\(z1 − z2 = (a1 − a2) + (b1 – b2)i\)
Zobaczmy, jak te operacje wyglądają na płaszczyźnie Wessela (ryc. 6 i 7).
Czytelnik, który spotkał się już z rachunkiem wektorowym, od razu rozpozna, że liczby zespolone dodajemy i mnożymy ze sobą tak samo jak wektory. Ma to duże znaczenie w fizyce teoretycznej.
Korzystając z diagramu Arganda, możemy odkryć inną postać liczby zespolonej, bardzo przydatną, zwaną postacią trygonometryczną (ryc. 8).
Wykorzystując tę postać, można odkryć kolejne ciekawe właściwości liczb zespolonych:
Jak widać, liczby zespolone wnoszą bardzo dużo do naszego rozumienia rzeczywistości. Są całe działy matematyki im poświęcone, takie jak analiza zespolona. Są one niezmiernie przydatne w fizyce i chemii, ale o tym może innym razem.
