Dołącz do czytelników
Brak wyników

Koło matematyczne , Otwarty dostęp

19 października 2018

NR 34 (Wrzesień 2018)

Magiczne liczby zespolone

0 246

Edukacja matematyki w szkole średniej kończy się na zbiorze liczb rzeczywistych. Prawdziwa przygoda zaczyna się w momencie, kiedy odkrywamy, że można pierwiastkować liczby ujemne. Mówimy wtedy o liczbach zespolonych i w tym artykule chciałbym je przedstawić.

Każdy bardzo dobrze wie, że nie istnieje pierwiastek z liczby ujemnej. Ale czy kiedyś, drogi Czytelniku, sprawdziłeś to? Czy nigdy nie możemy uznać takiego pierwiastka? W szkole uczymy się o liczbach rzeczywistych, pośród których poznajemy, oprócz znajomych nam liczb naturalnych, całkowitych i ułamków (wymiernych), także takie twory jak , itd. Poznajemy też liczbę bardzo związaną z kołem, o nazwie π. Te liczby tworzące jeden zbiór noszą nazwę liczb rzeczywistych. Rzeczywiście, w tym zbiorze nie istnieją pierwiastki z liczb ujemnych. A w jakim zbiorze istnieją? Taki zbiór nosi nazwę zbioru liczb zespolonych. Ale zacznijmy od początku.

Już na początku naszej ery Heron z Aleksandrii, bawiąc się figurami i bryłami geometrycznymi, tworzył figury, które nie miały prawa istnieć w naszej rzeczywistości, ponieważ miały ujemną wysokość (ryc. 1).

Niestety, nie przywiązywał do tego zbyt dużej uwagi i odkrycie liczb zespolonych odsunęło się w czasie. Kolejnym Grekiem, który miał szansę zapisać się w historii matematyki złotymi głoskami jako odkrywca liczb zespolonych, był Diofantos. Diofantos zasłynął z tak zwanych równań diofantycznych (równania, których pierwiastków szukamy w zbiorze liczb całkowitych). Zajmując się trójkątami prostokątnymi, otarł się o liczby zespolone. Postanowił rozwiązać zadanie przedstawione na ryc. 2.

Problem polega na tym, że nie ma tu rozwiązań, chyba że zespolone. Sprawdźmy:

Łatwo sprowadzić powyższe rozwiązanie do następującego równania:

\(84x2 − 43x + 6 = 0\)

Gdy policzymy deltę, odkryjemy, że jest ona ujemna i wynosi −167. W jakiej sytuacji delta jest ujemna?
W szkole mówi się, że nie ma rozwiązań, czy na pewno?

ryc. 1

 

ryc. 2

Na długi czas matematycy przestali zajmować się tymi dziwnymi rozwiązaniami. Doszło nawet do tego, że w 850 r. n.e. hinduski matematyk Machaviracharya napisał w Ganita-sara-samgraha (kompendium istoty matematyki), że nie wolno zajmować się pierwiastkami z liczb ujemnych.

Na szczęście, niektórzy nie zastosowali się do tego zakazu. W 1545 roku Girolamo Cardano postawił następujący problem (w istocie zbliżony do problemu Diofantosa):

Podzielić 10 na dwie części, których iloczyn wynosi 40.

Wynikiem okazały się następujące dwie liczby:

\(5-\sqrt{-15}\) i \(5+ \sqrt{-15} \)

Długo torowały sobie drogę liczby zespolone do uznania ich za obiekt badań matematycznych. W 1572 r. w książce pod tytułem Algebra Rafael Bombelli umieścił liczbę ,a w 1629 r. Albert Girard wprowadził nazwę niemożliwe rozwiązania dla następującego zapisu liczbowego:

\(a+ \sqrt{-b}\)

Kartezjusz w 1637 r. nazwał te liczby urojonymi lub wymyślonymi. Mimo że w 1777 roku pojawił się symbol dla ,wprowadzony przez wybitnego matematyka, Leonarda Eulera, pod postacią literki i,...

Artykuł jest dostępny dla zalogowanych użytkowników w ramach Otwartego Dostępu.

Załóż konto lub zaloguj się.
Czeka na Ciebie pakiet inspirujących materiałów pokazowych.
Załóż konto Zaloguj się

Przypisy