Zasada organizowania procesu uczenia się z aktywnym udziałem ucznia w tym procesie pozostanie pustym hasłem, jeśli nie uświadomimy sobie, na czym ma polegać ta aktywność na różnych poziomach nauczania matematyki: czy zależy nam jedynie na pozornej aktywności naszych uczniów – wyuczeniu się przekazanych im definicji, twierdzeń wraz z dowodami, schematów rozwiązywania typowych zadań? Niestety, mimo tendencji współczesnej pedagogiki rzeczywistość szkolna często jeszcze pozostaje oparta na podawaniu gotowej matematyki, na dostępności aktywności matematycznej tylko dla zdolnych uczniów, na pogodzeniu się z faktem, że uczenie się tego przedmiotu przez słabych uczniów bazuje jedynie na ich pamięci oraz wytrenowaniu.
POLECAMY
Zastanawiasz się, jak zachęcić uczniów do nauki? Przeczytaj artykuł: Akcja aktywacja, czyli za pomocą jakich metod aktywizować uczniów na lekcji matematyki?
Pożądane byłoby dobranie do każdego ucznia odpowiedniego dla niego poziomu aktywności – tzw. indywidualizacja nauczania, bez której w ogóle nauczanie i uczenie się matematyki nie ma sensu. Na szczęście, mamy świetnych nauczycieli matematyki, pasjonatów, którzy umieją zainteresować tym przedmiotem nie tylko tych najbardziej uzdolnionych uczniów. Dobrze pracują koła matematyczne, z myślą również o słabszych uczniach. Powinniśmy wszyscy uświadamiać sobie fakt, że o kulturze matematycznej społeczeństwa decyduje nie tylko elita matematyczna, ale również kultura matematyczna przeciętnego członka społeczeństwa. U podstaw aktywności leży zainteresowanie tym przedmiotem, zaś przyczyn zainteresowania i motywacji mu towarzyszących jest wiele: konieczność zdawania tego przedmiotu na egzaminie maturalnym i nie tylko, przyjemność płynąca z uczestnictwa w konkursach i olimpiadach matematycznych lub po prostu zadowolenie z udanych prób rozwiązywanych zadań matematycznych. Ogromne znaczenie ma tu postawa nauczyciela – pozytywnie nastawiony do młodzieży, zawsze służący pomocą i radą, potrafiący indywidualnie potraktować ucznia, prawidłowo organizujący proces nauczania ma duże szanse na zainteresowanie młodzieży swoim przedmiotem.
Z doświadczeń nad rozwijaniem aktywności matematycznych
Problem aktywności uczącego się matematyki jest bardzo złożony i można o nim mówić w wielu aspektach. Poniżej przedstawię propozycje rozwiązywania wybranych problemów oraz przykłady własnych poczynań dydaktycznych, które przyczyniły się do rozwinięcia aktywności matematycznych moich uczniów.
Na początek kwestia zainteresowania ich. Ambicją wielu uczniów liceum jest dostanie się na wymarzone kierunki studiów i przygotowanie ich do tego jest nadrzędnym celem naszej pracy. Dobrze więc się dzieje, gdy nauczyciel prowadzi zajęcia koła matematycznego, na których poruszane są problemy pojawiające się na konkursach i olimpiadach matematycznych. O podjęciu przeze mnie decyzji o zorganizowaniu tych zajęć zadecydowała przede wszystkim chęć do pracy i zainteresowanie matematyką znacznej grupy uczniów. Na tego typu zajęciach miałam okazję już w pierwszej klasie wprowadzić wiele zagadnień występujących w programie nauczania starszych klas lub wykraczających poza program. Zaobserwowałam, że uczniowie coraz bardziej interesują się matematyką. Stawiane przed nimi zadania uczyły ich wytrwałości w poszukiwaniu rozwiązań, często mobilizując ich do wspólnej pracy.
Jednym ze sposobów aktywizacji ich myślenia jest dostrzeganie analogii. Doskonale daje się to zrealizować m.in. na lekcji na temat wspólnych praw arytmetyki liczb rzeczywistych, rachunku zbiorów i rachunku zadań. Uczniowie zazwyczaj pamiętają ze szkoły podstawowej prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania:
(1) \(a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c\)
Proponuję im sformułowanie analogicznego prawa w teorii zbiorów:
(2) \(A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\)
które następnie sprawdzają za pomocą diagramu Venna. Niemałą uciechą dla uczniów jest samodzielne sformułowanie prawa rozdzielności koniunkcji względem alternatywy:
(3) \(p\wedge (q\vee r)\Leftrightarrow (p\wedge q)\vee(p\wedge r)\)
jako analogicznego do prawa (1), a następnie udowodnienie tego prawa metodą 0−1.
Jako zadanie o podwyższonym stopniu trudności można zadać udowodnienie prawa (2) przy zastosowaniu prawa (2)
rachunku zadań. To jeszcze nie koniec: uczniowie następnie łatwo formułują i zapisują symbolami prawa rozdzielności sumy zbiorów względem iloczynu zbiorów, alternatywy zadań względem koniunkcji i udowadniają je, a następnie zauważają, że nie istnieje analogon tych praw w arytmetyce liczb rzeczywistych, podając przykłady liczb rzeczywistych, które nie spełniają równości a + (b · c) = (a + b)·(a + c). Uczniowie, którzy z reguły skłonni są do lekkomyślnych uogólnień, zazwyczaj nieczujący potrzeby sprawdzania swoich hipotez, uczą się na takiej lekcji, że swoje przypuszczenia należy weryfikować i że formułowane przez nich fakty stają się twierdzeniami dopiero, gdy zostaną sprawdzone na drodze ścisłego rozumowania.
Ważną rzeczą w procesie uczenia się jest samodzielność. Tę cechę rozwijam w uczniach m.in. poprzez zadawanie im od czasu do czasu pewnego zadania, które zaznaczam, że jest nadobowiązkowe. Uczeń sam decyduje, czy się nim zajmie, czy nie. I tak np. po lekcji dotyczącej praw rachunku zadań wspominam o 19 tautologiach, umieszczonych na s. 226 Encyklopedii Szkolnej MATEMATYKA, wydanej przez WSiP w Warszawie w 1989 r. Często się zdarza, że w klasie znajdą się uczniowie, którzy już na następną lekcję udowodnią te prawa. Po stwierdzeniu, że praca była samodzielna, nagradzam ją. Ma to dość duże znaczenie motywacyjne dla pozostałych uczniów. Efekt jest taki, że w przyszłości na problemy ponadobowiązkowe reaguje większe grono uczniów.
Współczesna dydaktyka matematyki podkreśla korzyści z aktywnego udziału uczniów w procesie definiowania pojęć. Zwraca się uwagę na fakt, że „(…) dla wielu przeciętnych uczniów definicje i twierdzenia matematyczne pozostają martwe właśnie dlatego, że w procesie nauczania nie uwzględnia się wyraźnie, stale, konsekwentnie świadomie ze strony nauczyciela, tego istotnego ogniwa, jakim jest przekład definicji czy twierdzenia na jego operatywne, czynnościowe ujęcie (…)” (Krygowska Z., Operatywny charakter matematyki i czynnościowe jej nauczanie, Zarys dydaktyki matematyki, część I, WSiP, Warszawa,1977 r.).
Pokażę na przykładzie, jak definiujemy liczby trójkątne:
Najpierw sporządzam poglądowy rysunek, obrazujący powstawanie kolejnych liczb trójkątnych:
Po tak przeprowadzonej obserwacji uczniowie samodzielnie definiują ciąg (Tn) liczb trójkątnych sposobem rekurencyjnym.
Definicja I:
Ciąg liczb trójkątnych (Tn) opisany jest wzorem rekurencyjnym:
\(\left\{\begin{array}{ll} T_{1}=1 \\ T_{n}+1=T_{n}+n+1,n\geq 1 \\ \end{array}\right.\)
Obliczając kolejne liczby trójkątne według wyżej podanego przepisu, otrzymujemy:
\(T_{1}=1\\ T_{2}=T_{1}+2=1+2\\ T_{3}=T_{2}+3=1+2+3\\ T_{4}=T_{3}+4=1+2+3+4 \)
Stąd uczniowie formułują hipotezę: \(T_{n}=1+2+3+...+n\)
co prowadzi do czynnościowego ujęcia definicji liczb trójkątnych:
Definicja II:
Jeśli dodam do siebie n początkowych dodatnich liczb naturalnych, to otrzymam n-tą liczbę trójkątną.
Ci uczniowie, którzy pamiętają wzór (1), udowadniany na pierwszej lekcji dotyczącej indukcji matematycznej:
\(\forall _{n\in \mathbb{N}_{+} }1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}\)
są w stanie utworzyć trzecią definicję liczb trójkątnych:
Definicja III:
Ciąg (\(T_{n}\)) liczb trójkątnych jest ciągiem
o wyrazie ogólnym \(T_{n}=\frac{n(n+1)}{2}\)
Udało mi się także, przy aktywności uczniów, wypracować pewien schemat postępowania w przypadku sporej grupy zadań występujących kiedyś na maturze.
Zaczęło się od zadania 8.8,4 ze strony 110 Zbioru zadań z matematyki II klasy autorstwa Norberta Dróbki i Karola Szymańskiego.
Treść tego zadania brzmi: Wyznacz tak parametr a, aby układ:
a) nie miał rozwiązania,
b) miał jedno rozwiązanie,
c) miał więcej niż jedno rozwiązanie
\(\left\{\begin{array}{ll} y=x^{2}-d\\ x^{2}+y^{2}=1 \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{ll} x^{2}=y+d\\ y+d+y^{2}=1 \end{array}\right.\)
\(y^{2}+y+d-1=0 \\ \Delta =1-4(d-1)=1-4d+4=5-4d\)
równanie (4) ma:
a) nie ma rozwiązania \(\Leftrightarrow \Delta <0\Leftrightarrow d>\frac{5}{4}\)
b) dokładnie jedno rozwiązanie \(\Leftrightarrow \Delta =0\Leftrightarrow d=\frac{5}{4}\)
c) ma dwa rozwiązania \( \Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow d<\frac{5}{4}\)
po czym następuje odpowiedź:
a) układ nie ma rozwiązań dla \(d\in\left ( \frac{5}{4},\infty \right )\)
b) układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla parametru \(d\in\left \{ \frac{5}{4} \right \}\)
c) układ ma dwa rozwiązania dla \(d\in(-\infty ;\frac{5}{4})\)
„Na oko” nie widać, że to rozwiązanie jest błędne (5).
Aby sprowokować uczniów do dyskusji, sugeruję, aby problemowi przyjrzeć się za pomocą metody graficznej. Proponuję rozpatrzyć układ dla a = 1. Wtedy uczniowie widzą od razu, że parabola \(y=x^{2}-1\) przecina okrąg \(x^{2}+y^{2}=1\)
w co najmniej trzech punktach: (–1, 0); (1, 0); (0, –1).
A jeśli tak, to wyżej podana odpowiedź jest błędna.
Wykonujemy rachunki:
\(\left\{\begin{array}{ll} y=x^{2}-1 \\ x^{2}+y^{2}=1 \\ \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{ll} x^{2}=y+1 \\ x^{2}+y^{2}=1 \\ \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{ll} x^{2}=y+1 \\ y^{2}+y+1=1 \\ \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{ll} x^{2}=y+1 \\ y(y+1)=0 \\ \end{array}\right. \)
\(\left\{\begin{array}{ll} x^{2}=y+1 \\ y=0 \vee y=-1 \\ \end{array}\right. \)
\(x^{2}=1\vee x^{2}=0\)
\(\left\{\begin{array}{ll} x=1 \\ y=0 \end{array}\right. \vee \left\{\begin{array}{ll} x=-1 \\ y=0 \end{array}\right. \vee \left\{\begin{array}{ll} x=0 \\ y=-1 \end{array}\right.\)
Uczniowie zaobserwowali, że „x-ów” jest więcej niż „y-ków” i że liczba „x-ów” decyduje o liczbie rozwiązań układu. Stąd następny wniosek, że przekształcenia powinny wyglądać tak:
(6) \(\left\{\begin{array}{ll} y=x^{2}-d \\ x^{2}+y^{2}=1 \end{array}\right.\)
Podstawiając za „y” do drugiego równania, po przekształceniach otrzymujemy równanie:
(7) \(x^{4}+(1-2d)x^{2}+d^{2}-1=0\)
i już uczniowie wiedzą, że liczba rozwiązań układu (6) zależy od liczby rozwiązań równania (7). I tu pojawia się nowy problem: dyskusja liczby rozwiązań równania dwukwadratowego w zależności od parametru.
Wykonujemy podstawienie x2 = t i otrzymujemy równanie kwadratowe \(t^{2}+(1-2d)t+d^{2}-1=0\)
Następnie kieruję do uczniów pytanie-wezwanie: wymyślcie jakiś sposób, żeby więcej nie błądzić. Ci bardziej myślący sugerują, aby zająć się równaniem kwadratowym i prześledzić, jaki wpływ mają jego rozwiązania na rozwiązania równania dwukwadratowego, ze szczególnym uwzględnieniem wykonanego podstawienia \(x^{2}=t\)
Budujemy tabelę, którą wypełniamy zgodnie z zaznaczonym kierunkiem.
Po tak schematycznym ujęciu przedstawiamy następujące rozwiązanie:
I. Układ nie posiada rozwiązań dokładnie wtedy, gdy równanie (7) nie posiada rozwiązań, a tak jest, gdy równanie (8):
1) nie posiada rozwiązań lub gdy
2) posiada dokładnie jedno rozwiązanie i nie jest nim liczba ujemna lub gdy
3) posiada dwa różne rozwiązania będące liczbami ujemnymi.
Układ nie posiada rozwiązań dla tych wartości parametru d, dla których spełniona jest alternatywa układów:
\(\Delta =0 \vee \left\{\begin{matrix} \Delta =0\\ \frac{-b}{2a}<0\\ \end{matrix}\right. \vee\left\{\begin{matrix} \Delta >0 \\ \ \frac{-b}{2a}<0 \\ \ \frac{c}{a}>0 \\ \end{matrix}\right.\)
Stąd \(d\in (-\infty ,-1)\cup (\frac{5}{4},\infty)\)
II. Układ posiada jedno rozwiązanie wtedy, gdy równanie (7)
posiada jedno rozwiązanie, a tak jest, gdy równanie (8):
1) posiada jedno rozwiązanie i jest nim zero lub gdy
2) posiada dwa różne rozwiązania – jedno ujemne, drugie równe zero.
Rozwiązując alternatywę, otrzymujemy:
\(\left\{\begin{matrix} & \Delta =0\\ & \frac{-b}{2a}=0 \end{matrix}\right. \vee \left\{\begin{matrix} & \Delta >0 \\ & \frac{-b}{a}<0 \\ & \frac{c}{a}=0 \end{matrix}\right.\)
\(d=-1\)
III. Układ posiada więcej niż jedno rozwiązanie wtedy, gdy równanie (7) posiada więcej niż jedno rozwiązanie, a tak jest, gdy równanie (8):
1) posiada jedno rozwiązanie i jest nim liczba dodatnia lub gdy
2) posiada dwa rozwiązania będące liczbami dodatnimi lub gdy
3) posiada dwa rozwiązania – jedno dodatnie, drugie ujemne lub gdy
4) posiada dwa rozwiązania – jedno dodatnie, drugie równe zero.
\(\left\{\begin{array}{ll} \Delta =0\\ \frac{-b}{2a}> 0\\ \end{array}\right. \vee \left\{\begin{array}{ll} \Delta >0\\ \frac{-b}{2a}> 0\\ \frac{c}{a}>0 \end{array}\right. \vee \left\{\begin{array}{ll} \Delta >0\\ \frac{c}{a}<0 \end{array}\right. \vee \left\{\begin{array}{ll} \Delta >0\\ \frac{-b}{a}>0\\ \frac{c}{a}=0 \end{array}\right.\)
\(d\in\left ( -1,\frac{5}{4} \right )\)
Dość sprawne rozwiązanie układu było spowodowane tym, że pod wykonaną tabelką rozwiązaliśmy pomocnicze nierówności i równania, otrzymując:
\(\Delta =0\Leftrightarrow d\in (\frac{5}{4})\) \(\frac{-b}{2a}=0 \Leftrightarrow d\in (\frac{1}{2})\)
\(\frac{c}{a}=0\Leftrightarrow d\in \left \{ -1,1 \right \}\) \(\Delta >0\Leftrightarrow d\in (-\infty ,\frac{5}{4})\)
\(\frac{-b}{2a}>0\Leftrightarrow d\in (\frac{1}{2},\infty )\)
\(\frac{c}{a}>0\Leftrightarrow d\in (-\infty ,-1)\cup (1,\infty )\)
\(\Delta <0 \Leftrightarrow d\in (\frac{5}{4},\infty ) \ \frac{-b}{2a}<0 \Leftrightarrow d\in (-\infty ,\frac{1}{2})\)
\(\frac{c}{a}<0\Leftrightarrow d\in (-1,1)\)
Po tak wykonanym przygotowaniu rozwiązanie zadania prowadziło do poprawnego wyniku.
Zaproponowane powyżej rozwiązania wybranych zadań maturalnych są produktem mojej pracy i w niniejszym artykule chciałam podzielić się nimi z uczniami i nauczycielami. Do tak wnikliwej analizy tych zagadnień skłoniły mnie opublikowane przez niektóre wydawnictwa błędne ich rozwiązania.
Na koniec chciałabym wspomnieć o tym, że w kwestii rozwiązywania zadań pożądanym z punktu widzenia dydaktyki zjawiskiem jest kształtowanie w uczniach nawyku sprawdzania do zadań. Wykonując sprawdzenie, uczeń ma okazję do powtórzenia i utrwalenia znacznych partii materiału. Sprawdzenie np. do równania logarytmicznego wymaga dość skomplikowanych rachunków, a sprawdzenie do wykonanego przebiegu funkcji wymaga od ucznia powiązania ze sobą wielu faktów z dziedziny analizy.
Na koniec chciałabym powtórzyć za Zofią Krygowską: „… o wynikach nauczania decydują nie efektowne i sporadyczne pomysły, ale codzienne, cierpliwe i świadome posunięcia metodyczne, które w sumie dają właściwą lub niewłaściwą postawę metodyczną nauczyciela…” i co za tym idzie – decydują o kulturze matematycznej naszego społeczeństwa.
Bibliografia:
- Materiały do studiowania dydaktyki matematyki pod redakcją dr. Jerzego Żabowskiego. Szkoła Wyższa im. Pawła Włodkowica w Płocku, Płock 2000.
- Szurek M., Opowieści matematyczne, WSiP, Warszawa 1987.
- Górowski J., Łomnicki A., Błękitna matematyka – Piąty stopień wtajemniczenia, Wydawnictwo KLEKS, Bielsko-Biała 1998.
- Dróbka N., Szymański K., Zbiór zadań z matematyki dla kl. I i II.
- Krygowska Z., Zarys dydaktyki matematyki, cz. 1, Warszawa 1989.
- Krygowska Z., Główne problemy i kierunki badań współczesnej dydaktyki matematyki, „Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego” Seria I, Dydaktyka Matematyki 1, 1981.
- Krygowska Z., Elementy aktywności matematycznej, które powinny odgrywać znaczną rolę w matematyce dla wszystkich, „Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego” Seria V, Dydaktyka Matematyki 6, 1986.
- Cewe A., Grajek C., Nahorska H., Matura’95 – Zbiór zadań.
- Encyklopedia szkolna MATEMATYKA, WSiP, Warszawa 1989.
- Polya G., Jak to rozwiązać? PWN, Warszawa 1993.
- Gronek T., Magdziarz J., Testy z matematyki dla uczniów szkół średnich i kandydatów na studia, PWN, Warszawa 1997.
- Pawłowski H., Tomalczyk W., Zadania z matematyki dla olimpijczyków, Oficyna wydawnicza TOTUR, Toruń 1997.
