Przy odrabianiu lekcji młoda osoba z czwartej klasy szkoły podstawowej krzyczy, jakby zniechęcona:
– Nigdy nie pamiętam, ile to jest 7 razy 8!
Młodszy brat, który jeszcze był w przedszkolu, woła z drugiego pokoju:
– 56!
Mama, zdziwiona, pyta:
– Skąd ty to wiesz?
On mówi:
– Zobaczyłem na kalkulatorze!
Mama wyraża swoje zwątpienie:
– Jak to?
A młodszy brat odpowiada:
– No bo 5 6 7 8, siedem razy osiem 56!
Ojciec na to:
– Cicho siedź, to jeden taki przypadek…
A młodszy brat:
– Wcale nie, bo 1 2 3 4, trzy razy cztery 12!
Ojciec był taki zdziwiony, że opowiadał o tym kolegom w pracy.
POLECAMY
Nawet małym dzieciom kalkulator pozwala zauważać sprawy i zależności między liczbami, do których my już nie przywiązujemy żadnej wagi. Nie jesteśmy zainteresowani.
Oswajanie się z kalkulatorem w szkole napotyka zwykle na duży opór. Ten spontaniczny opór jest bardzo trudny do przezwyciężenia. Ludzie nie lubią zmieniać swoich przyzwyczajeń i wynajdują do tego przeróżne racjonalizacje. Ale świat poza-
szkolny zmienia się. W sklepach, w supermarketach, wszędzie w handlu są kasy fiskalne. Nikt już nie rachuje ręcznie. Nie ma już typowych dla zeszłych stuleci zadań o zakupach w takiej formie, jak to było kiedyś. Kwity fiskalne używają liczb dziesiętnych. Nie ma tam ułamków. Są liczby dziesiętne i liczby dziesiętne przebrane za procenty. Procenty pojawiły się w zamierzchłych czasach, gdy jeszcze nie było liczb dziesiętnych w powszechnym użyciu. Siłą przyzwyczajenia procenty nadal, od kilku stuleci są w użyciu, ale nie jest to już jedyny sposób przedstawiania zmian: wzrostu lub malenia, czyli po prostu zmian. Pierwszy traktat o liczbach dziesiętnych pojawił się pod koniec XVI wieku w Holandii i nosił tytuł De Disme, czyli o części dziesiętnej. Można o tym poczytać w sieci.
W szkole natomiast nie ma liczb dziesiętnych. Liczby dziesiętne w dziwnej formie jako ułamki dziesiętne i procenty przychodzą późno albo wcale. Zwykle edukacja szkolna w zakresie liczb jest za uboga, aby pomagała uczniom zrozumieć otaczający świat. Liczby na osi liczbowej pojawiają się za późno. W szkole podstawowej najważniejszym celem nauki o liczbach powinny być liczby na osi liczbowej, czyli teoretycznie mówiąc, liczby rzeczywiste. To jest trudne do osiągnięcia drogą przez ułamki. Droga przez liczby dziesiętne jest łatwiejsza i szybsza. Te dwie drogi do liczb rzeczywistych – czyli droga przez ułamki i droga przez liczby dziesiętne – mogą spotykać się w sposób naturalny, ale w naszej szkole nigdy do tego nie dochodzi w sposób jawny. Ułamki pojawiają się w sposób naturalny w rachunku prawdopodobieństwa i w statystyce oraz wszędzie tam, gdzie ważne są proporcje. Ta okazja przychodzi w naszej szkole za późno. Uczniowie powinni już mieć wtedy opanowany język liczb dziesiętnych. To oznacza coś więcej niż tylko umieć dodać, odjąć, pomnożyć i podzielić „w słupku”. Te ręcznie wykonywane algorytmy spowalniają myślenie. Trzeba posługiwać się kalkulatorem. Nie tylko ze względów zasadniczych, strukturalnych. Dla oszczędzania czasu. W szkole traci się bardzo dużo czasu na wyuczanie umiejętności, których potem powinno się oduczać. To, niestety, nie zawsze się udaje.
Spójrzmy na zwykły kalkulator. Taki, który można kupić za kilka złotych w prawie każdym supermarkecie.
Zwykły kalkulator ma cztery miejsca, które mamy do dyspozycji przy obliczeniach. Są to: ekran, rejestr, pamięć i działanie. Pokażemy w tabelce, co na tych miejscach się dzieje przy różnych podejmowanych akcjach.
Opiszemy słowami zawartość tabeli 1.
Kalkulator zapisuje liczbę na ekranie. Po wpisaniu znaku działania, np. +, zapisuje tę liczbę również w rejestrze.
Po wpisaniu następnej liczby i podaniu = zapisuje wynik na ekranie, a rejestr pozostawia bez zmian. Wpisane działanie + jest zapamiętane i nie zmienia się, aż do wpisania następnego działania.
Po naciśnięciu znaku = do wyniku na ekranie dodaje to, co tkwi w rejestrze, a na ekranie pokazuje nowy wynik. Liczba zapisana w rejestrze pozostaje bez zmian.
Po każdym następnym naciśnięciu znaku = do wyniku na ekranie dodaje to, co tkwi w rejestrze, rejestru nie zmienia, a na ekranie pokazuje nowy wynik. Można to powtarzać wiele razy.
Sprawdź, że tak jest dla działania plus, minus, podziel: +, –, ÷.
Zwykle dla działania mnożenia jest inaczej. Te najbardziej rozpowszechnione proste kalkulatory przy powtarzanym naciskaniu znaku = powtarzają mnożenie przez pierwszy argument. W komórkach zwykle mnożenie traktowane jest tak, jak pozostałe znaki przy powtarzanym naciskaniu znaku równości =.
Ale proste kalkulatory, które często mamy w telefonach komórkowych, mogą działać inaczej. Trzeba zawsze zbadać, jak działa kalkulator, który mamy w ręku. Trzeba to wykonać na początku zabawy z kalkulatorem. To jest samo przez się świetne zadanie na zbadanie, gdzie wynik nie jest przesądzony.
Zauważmy, że znak równości, klawisz =, znaczy „proszę o wynik”. Z lingwistycznego punktu widzenia takie użycie znaku w innym znaczeniu niż ustalone zwyczajem to jest figura stylu, która jest czasem metaforą, a czasem metonimią. Znak równości w znaczeniu „proszę o wynik” jest metonimią. Tu koniecznie trzeba zobaczyć w sieci, co to jest metonimia. W matematyce często posługujemy się metonimiami po prostu dla unikania dłużyzn. Często kontekst na to pozwala, a nawet do tego zachęca.
Prosty kalkulator może służyć do indywidualnego trenowania rachowania w głowie. To jest bardzo ważna zaleta prostych kalkulatorów. Podamy kilka przykładów dialogu z kalkulatorem. Dialog z kalkulatorem zapisujemy na początek bardzo dokładnie.
Wpis do kalkulatora podajemy np. z akapitem, a odpowiedź podajemy bez akapitu. Przykładowo:
3 kalkulator zapisał 3 na ekranie,
3 na ekranie widać 3,
+ po wpisaniu znaku działania + kalkulator zapisał 3 również w rejestrze i pamięta działanie +,
3 na ekranie widać 3, również w rejestrze jest trójka,
=
6 kalkulator dodał liczbę, która jest w rejestrze, do tej, co była na ekranie,
= powtórzył dodawanie tej w rejetrze do tej na ekranie. Rejestru nie zmienił.
9
=
11
Spróbujemy zrobić to samo z innymi liczbami. Zapisujemy w skrócie:
2 + 3 =
5
=
8
=
11
=
14
A teraz, zanim naciśniemy znak =, pomyśl, jaki będzie wynik. Zapisz to i po zapisaniu naciśnij =. Czy dobrze porzewidziałeś wynik? To pokazuje, na czym polega ćwiczenie rachunku pamięciowego z kalkulatorem.
Poniżej proponujemy zadania, które możemy łatwo sami sobie wymyślić. To są przykładowe zadania na trenowanie wprawy w rachowaniu w głowie, ale możemy zadawać je sobie sami, stopniowo zwiększając stopień trudności.
Na początek łatwe zadania.
Zadanie 1: 5 +
Wpisz 5 + =. Na ekranie nadal jest 5. Pomyśl, co będzie po następnym podaniu znaku =? Zapisz to. Podaj = i sprawdź, czy dobrze pomyślałeś.
Jeżeli tak, pomyśl, co będzie po następnym podaniu znaku =. Zapisz to. Naciśnij = i sprawdź, czy dobrze policzyłeś w głowie.
Jeżeli tak, pomyśl, co będzie, gdy naciśniesz znak = jeszcze raz, po czym zrób to i sprawdź odpowiedź znakiem =. Jeżeli wystąpi błąd, to zacznij od początku. Zapisz, jak daleko udało Ci się dojechać w ten sposób bez błędu. Następnym razem spróbuj poprawić swój rekord.
Zadanie 2: 2 +
Wpisz 2 + = i, tak jak w poprzednim zadaniu, staraj się przewidzieć, co będzie po następnym podaniu =. Zapisz to i sprawdź. Rób tak, aż do pierwszego błędu. Następnym razem może uda się zajść bez błędu dalej i poprawić swój rekord!
Zadanie 3: 3 +
Wpisz 3+ i zgadnij, co będzie po podaniu =. Zapisz, sprawdź znakiem =. Powtarzaj to, aż do pierwszego błędu. Następnym razem popraw swój rekord.
Zadanie 4: 7 +
Najpierw pomyśl, na czym polega zadanie 7 +. Chyba już wiesz.
Zadanie 5: 2 ×
Wpisz 2 ×. Pomyśl, co będzie po podaniu =. Zapisz to. Czy to się zgadza z Twoim przewidywaniem? Zapisuj przewidywane wyniki i sprawdzaj znakiem =. Czy udało Ci się bez błędu przekroczyć setkę? A może udało Ci się przekroczyć tysiąc, bez błędu? Jak daleko dojechałeś bez błędu? Następnym razem staraj się poprawić swój rekord.
Zadanie 6: 3 ×
Chyba już się domyślasz, na czym polega to zadanie? Wpisz 3 ×. Pomyśl, co będzie po podaniu =. Zapisz to. Czy to się zgadza z Twoim przewidywaniem? Zapisuj przewidywane wyniki i sprawdzaj znakiem =. Czy udało Ci się bez błędu przekroczyć setkę? A może udało Ci się przekroczyć tysiąc, bez błędu? Jak daleko dojechałeś bez błędu? Następnym razem staraj się poprawić swój rekord.
Jeżeli te zadania stawiają początkowo duży opór, to znaczy nie jesteś w stanie sprostać postawionemu wyzwaniu przed naciśnięciem znaku równości, to na początek zwracaj uwagę tylko na ostatnią cyfrę, potem na dwie ostatnie cyfry, na trzy, a może cztery. Gdy to już dobrze idzie, staraj się przewidzieć pierwszą cyfrę wyniku, tę najbardziej znaczącą, a może pierwsze dwie…
Zadanie 7: 4 ×
To zadanie może wydawać się za łatwe. Początkowe kroki rzeczywiście są prościutkie. Ale trudności rosną. I o to chodzi, aby początek zachęcał.
Zadanie 8: 5 ×
Z tym zadaniem jest podobnie jak z poprzednim. Początki łatwe, ale dalej coraz trudniej. Są ogromne różnice w sprawności rachunkowej u uczniów. Trzeba dobierać zadania bardzo indywidualnie. Łatwe zadania wciągają. Za łatwe raczej zniechęcają. Każdy musi mieć coś odpowiedniego dla siebie.
Zadanie 9: 6 ×
To samo co przy poprzednich zadaniach, ale obliczamy kolejne wielokrotności liczby 6.
Zadanie 10: 7 ×
Tak jak poprzednio, ale obliczamy wielokrotności siódemki. Trudności szybko rosną, więc na początek staramy się przewidzieć, jaka będzie ostatnia cyfra. Potem może dwie ostatnie cyfry. Potem trzy.
A teraz niespodzianka.
Zadanie 11: ÷ =
Wpisz 2, a potem ÷ =. Jeszcze raz ÷ =, jeszcze ÷ =.
2
2
÷ =
0,5
÷ =
2
÷ =
0,5
÷ =
2
Co ta sekwencja znaków ÷ = znaczy?
Jaki daje wynik? Tak, daje odwrotność liczby.
Spróbuj z innymi liczbami:
4÷ =
0,25
÷=
4
÷ =
0,25
÷ =
4
8 ÷ =
0,125
÷ =
8
A jak będzie dla 3?
3 ÷ =
0,3 333 333
÷ =
3,0 000 003
Teraz jest inaczej. Kalkulator obliczył odwrotność liczby 3 z taką dokładnością, jak potrafił: osiem miejsc na ekranie, czyli siedem po dziesiętnej kropce i dalsze miejsca po prostu obciął.
Spróbuj przybliżyć na kalkulatorze odwrotności innych liczb.
W tym stylu każdy uczeń może sam sobie projektować coraz trudniejsze zadania i poprawiać swoje osiągnięcia. Może też sam badać, co daje pewna wybrana sekwencja klawiszy. Ma kalkulator w ręku i sam sprawdza, co się dzieje, czy wynik jest zgodny z przewidywaniem. Taki układ przypomina trochę naukę gry na fortepianie, skrzypcach lub innym instrumencie. Uczący się słyszy, czy to, co zagrał, jest takie, jak trzeba, jeżeli tylko ma słuch. Przy rachunkach w głowie bez kalkulatora nie ma tego sprawdzającego instrumentu i uczeń musi polegać na kontroli zewnętrznej przez kogoś innego, kto jest w roli nauczyciela. To jest krępujące dla ucznia, a stresujące i mało atrakcyjne dla nauczyciela. Dlatego nauczyciele unikają takich trenujących aranżacji.
Uczniowie powinni sami trenować w domu lub przy dowolnej innej okazji. Kiedy mają ochotę. Zwykle tego nie robią. Po prostu nie przychodzi im to do głowy, że mogą tak pożytecznie spędzać czas. Kalkulator jest neutralny i nie krytykuje, nie zrzędzi, gdy uczeń się pomyli. Po prostu pokazuje błąd. To jest psychologicznie ważne (patrz Kozielecki, w sieci).
To była przykładowa seria zadań, która, oczywiście, nie wyczerpuje tematu. Trudność zadań trzeba zawsze dobierać odpowiednio do ucznia, jego wieku i biegłości, a także chęci i zaangażowania. Dla ułatwienia, na początku można prosić o podanie ostatniej cyfry wyniku lub dwóch ostatnich cyfr, w zależności od okoliczności – zawsze mając na względzie osobistą zdolność ucznia i do tego dobierając odpowiednie zadania. Nie za łatwe i nie za trudne. Te zadania powinny stawiać niewielki opór i przez to zachęcać ucznia do przekraczania swoich ostatnich osiągnięć.
Zadanie 12
Wpisz 1, a potem + =
1
1
+ =
1
+ =
2
+ =
3
+ =
5
Dla oszczędności miejsca w tym zadaniu możemy zapisywać wyniki w dwóch wierszach:
1
+ =; + =; + =; + =; + =; + =; + =…
1; 1; 2; 3; 5; 8; 13…
Co to są za liczby? To jest ciąg Fibonacciego. Każda następna liczba jest sumą dwóch poprzednich. Postępuj dalej w ten sposób. Dostaniesz pewną serię liczb, pewien ciąg liczb. Zapisuj wyniki. Gdy liczby przekroczą 1000, zapamiętaj wynik klawiszem M+, jeszcze raz powtórz operację + = i wynik podziel przez MRC, czyli przez to, co jest w pamięci. Otrzymana liczba jest pewnym przybliżeniem liczby złotej (zobacz w sieci, co to jest liczba złota).
Zadanie 13
Powtórz to postępowanie, ale na początek weź inną liczbę, np. 7.
7
+ =; + =; + =; + =; + =…
7; 7; 14: 21; 35; 56; 91…
Co zaobserwowałeś? Każda następna liczba jest sumą dwóch poprzednich. Postępuj dalej w ten sposób. Dostaniesz pewną serię liczb, pewien ciąg liczb. Zapisuj wyniki. Gdy liczby przekroczą 1000, zapamiętaj wynik klawiszem M+, jeszcze raz powtórz operację + = i wynik podziel przez to, co jest w pamięci.
Czy znów dostałeś przybliżenie liczby złotej?
Zadanie 14
Weź na początek dowolne dwie liczby, np. 13 i 24, i postępuj podobnie. Czy znów dostałeś przybliżenie liczby złotej?
cdn.
Bibliografia:
- Kozielecki J., Koncepcja transgresyjna człowieka, w sieci
- Mostowski K., Zawadowski W., Liczby i kalkulator, Wydawnictwo Nowik Sp.j., Opole 2018.
