Czekanie na szóstkę

Problem

Ile razy średnio trzeba rzucić kostką do czasu uzyskania szóstki? To jest zupełnie inne pytanie niż to, które padło w poprzednim naszym artykule (Za którym razem najczęściej?). Tu interesuje nas czas oczekiwania na szóstkę. Czasami szóstka wypadnie za pierwszym razem, a czasami musimy poczekać w chińczyku nawet 20 kolejek, zanim wykonamy ruch. Na szczęście, tak długie oczekiwanie na szóstkę nie zdarza się zbyt często.
Abyśmy mogli policzyć średnią, musimy zebrać dane. Wykonać pewną liczbę eksperymentów. Świetnym miejscem do tego jest klasa, gdzie mamy wielu uczniów.

Hipoteza

• Nie wiem, ale mam pecha, szóstka wypadnie pewnie za 10 razem.
• Ja za pierwszym razem wyrzucę szóstkę, dobrze gram w chińczyka.
• Pewnie za trzecim lub czwartym razem, za pierwszym to się rzadko udaje.

Doświadczenie (eksperyment losowy)

W klasie liczącej do 20–25 osób każdy z uczniów dwukrotnie wykonuje eksperyment: rzuca kostką, licząc rzuty, dopóki nie wypadnie szóstka. W klasie powyżej 25 osób uczniowie wykonują eksperyment jednokrotnie.
Gdy wypadnie szóstka, uczeń zapisuje liczbę, do której doliczył. Można też zapisywać kolejne wyniki, wtedy powstaje ciąg liczb zakończonych szóstką, w którym liczba 6 pojawia się dokładnie raz. Taki ciąg można wykorzystać w innych analizach, szczególnie w sytuacjach, gdy wykonamy więcej niż 10 rzutów. Można na przykład poszukiwać serii takich samych liczb występujących wielokrotnie.
Po dwóch seriach możemy mieć wyniki 3; 8, co oznacza, że szóstka w pierwszej serii wypadła za trzecim razem, a w drugiej za 8 razem.

Wyniki

My wykonaliśmy 2 × 20 doświadczeń polegających na rzucaniu kostką, aż do momentu wypadnięcia szóstki. W tabelce (ryc. 1) przedstawiamy końcowy wynik, wszystkie wyniki przedstawione są w tabelach powyżej (ryc. 2, 3).
 

Użyjmy zdrowego rozsądku:
Co to znaczy, że szansa wypadnięcia szóstki jest \({1} \over6\) ?
Czy to oznacza, że w każdych sześciu rzutach musi wystąpić jedna szóstka? A może jak pięć razy nie wypadła, to na pewno za szóstym razem się pojawi?

Wydaje się, że na oba pytania odpowiedź jest negatywna. W naszym eksperymencie widać, że tak nie jest. Nie w każdych sześciu rzutach pojawiła się szóstka, a szóstka na szóstym miejscu pojawia się niezbyt często. Widząc serie (piątka wypadła cztery razy z rzędu, a każda liczba jest równoprawna), możemy wnioskować, że o pojedynczym rzucie niewiele możemy powiedzieć. Szóstka pojawiła się 40 razy, a wykonaliśmy 227 rzutów, zatem szóstka pojawiła się raz na 5,675 rzutu, czyli w przybliżeniu raz na sześć rzutów (ryc. 2).
To, że szansa wypadnięcia szóstki jest \({1} \over6\) oznacza, że szóstka średnio wypadnie raz na sześć rzutów.
Zauważ, że w naszym doświadczeniu wypadały różne serie – podwójne, potrójne, seria długości 4, a nawet więcej niż jedna seria w jednym eksperymencie losowym.
Najczęściej wypadła nam seria składająca się z czterech rzutów (aż 7 razy), dwóch rzutów (5 razy) i jednego, sześciu oraz siedmiu rzutów (4 razy), z trzech, ośmiu i jedenastu rzutów (3 razy), a seria z pięciu rzutów tyle samo co z dziesięciu (2 razy). Szansa uzyskania serii długości 16 to:
 

czyli powinna się pojawiać średnio raz na 100 doświadczeń.
 

Bibliografia:

• mathsiedlce.edu.pl