Onauczaniu czynnościowym prof. Z. Krygowska pisała: wydobywać czynności konkretne dla ucznia z każdej definicji, dowodu, twierdzenia. Doświadczenie i eksperyment powinny być podstawą początkowego nauczania o stochastyce, czyli, mówiąc trochę rozwlekle, o rachunku prawdopodobieństwa i statystyce. Tu przedstawiamy prosty problem, przy którym często intuicja rozmija się z matematycznym rachunkiem i dlatego temat jest dobrym wprowadzeniem do tematu.
POLECAMY
Problem: za którym razem najczęściej?
Mamy w woreczku osiem kul białych i dwie czarne. Losujemy kolejno po jednej kuli bez zwracania – tak długo, aż nie wylosujemy kuli czarnej.
Na przykład, gdy wylosujemy pod rząd 3 kule białe i dopiero za czwartym razem czarną, zapisujemy 4; to jest koniec serii, „wygraliśmy” za czwartym razem. Oczywiście, te kulki każdy uczeń powinien sobie przygotować sam, a zamiast woreczka może być zeszyt, gdzie pomiędzy dwiema wybranymi kartkami umieszczamy te papierowe kulki. Gdy to już jest gotowe, opisujemy dokładnie, że trzeba wybierać kulki i odkładać na bok –
aż do natrafienia na czarną.
Za którym razem najczęściej wylosujemy kulę czarną?
Losujemy bez zwracania, zatem nasza zabawa musi się zakończyć. Kiedy?
W najgorszej sytuacji w dziewiątym ruchu, gdy wylosujemy najpierw osiem kul białych i zostaną tylko 2 kule czarne – wówczas już na pewno wylosujemy czarną.
Po każdym losowaniu zmniejsza się liczba kul do wyboru, czyli zmienia się stosunek kul białych do czarnych (na początku jest 8 : 2).
Na początku staramy się, aby każdy uczeń postawił hipotezę i to zapisał, przykładowo w taki sposób: ○○●. Ważne jest, by uczeń samodzielnie podjął decyzję, zgodną ze swoją intuicją. Nauczyciel zapisuje na tablicy tabelkę (przykładowa to tabela 1).
Tab. 1. Intuicja a zbieranie danych
| Za którym razem? | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| Hipotezy uczniów | x | xxxxx | xxxxx | xxxxxx | xxxx | xxx | xxx | xx | x |
| Razem | 1 | 5 | 5 | 6 | 4 | 3 | 3 | 2 | 1 |
Tab. 2. Teoretyczne szanse trafiania za n-tym razem
W przykładowej tabelce najczęściej wskazywana jest liczba 4. Tak wskazało najwięcej osób, najmniej wskazało skrajne przypadki. Ważne jest, aby były to własne decyzje uczniów.
Aby było prościej, doświadczenie możemy przeprowadzić parami, na każdej ławce. Każda para powinna wykonać co najmniej 10 doświadczeń „do pierwszego sukcesu”.
W klasie trzydziestoosobowej, gdy w każdej ławce siedzi po dwóch uczniów, gdy każda para wykona 10 eksperymentów, uzyskamy 15 × 10 = 150 wyników doświadczeń losowych.
Gdy zbierzemy dane, możemy przejść do ich interpretacji. Zdziwienie budzi to, że najczęściej natrafia się na czarną kulę za pierwszym razem! Ten wynik doświadczenia jest zaskakujący. Jak to wyjaśnić?
Abyśmy mieli szansę wylosowania drugi raz, za pierwszym razem musimy wylosować najpierw białą kulę, trzecie losowanie będzie tylko wtedy, gdy najpierw wylosujemy dwie białe kule. I tak dalej…
Na zakończenie pokazujemy w tabeli dane obliczone teoretycznie i porównujemy je z tym, co dostaliśmy z doświadczenia (tabela 2). I polecana jest dyskusja. Czy wnioski z tabeli 2 wydają się oczywiste? Zaskakujące? A może naturalne?
Bibliografia:
Mathsiedlce.edu.pl.
Krygowska Z., Zarys dydaktyki matematyki, WSiP, Warszawa 1977.
