Dwunastościan rombowy

Bryła, która powinna być doskonale znana wszystkim, w dalszym ciągu w szkole występuje bardzo rzadko. Graniastosłupy i ostrosłupy dalej w szkole królują jak przed 50 laty, a nowe bryłki raczej niezbyt często się pojawiają. W szkole praktycznie ograniczamy się do graniastosłupów i ostrosłupów prawidłowych, rzadko pojawiają się inne, oraz do niektórych brył obrotowych. Czasami pojawiają się graniastosłupy o podstawie znanego czworokąta, ale problem graniastosłupa prostego o podstawie równoległoboku, położonego na ścianie bocznej, raczej się nie pojawia.

Niektórzy nazywają dwunastościan rombowy „sześcianem na lewą stronę”, gdyż tak łatwo wyobrazić sobie dwunastościan rombowy. Wyobraźmy sobie sześcian i jego wszystkie przekątne. Zobaczymy wtedy wewnątrz sześcianu 6 ostrosłupów prawidłowych czworokątnych, każdy o wysokości równej połowie krawędzi sześcianu i podstawie równej kwadratowi tworzącemu ścianę boczną sześcianu.

A teraz te ostrosłupy wyciągamy na zewnątrz i przyklejamy do ścian sześcianu, tak by podstawy ostrosłupów pokrywały się ze ścianami bocznymi sześcianu.
Pomóc nam w tym może rycina 3. Popatrzmy z boku na tę bryłkę – który rysunek pasuje do niej?

Ci, którzy wybrali b), oczywiście mieli rację. Zastanówmy się, ile ta nowa bryłka ma ścian i wierzchołków, a ile krawędzi.

Ta rycina pozwoli nam odpowiedzieć na powyższe pytania. Widzimy, że ściany boczne sąsiednich ostrosłupów tworzą jedną płaszczyznę, czyli mamy 12 ścian (2 trójkąty będące ścianami bocznymi
ostrosłupów tworzą 1 romb), 8 + 6 = 14 wierzchołków (wierzchołki sześcianu oraz wierzchołki ostrosłupów) oraz 4 × 6 = 24 krawędzi (krawędzie sześcianu znikną i zostaną tylko krawędzie boczne ostrosłupów). Krawędzie można również policzyć, korzystając 
z twierdzenia Eulera:

\(W + S = K + 2\)

\(14 + 12 = K + 2 \)

\(K=24\)

Zadanie 1  
Długość krawędzi sześcianu jest równa a. Oblicz, jaka jest długość przekątnych ściany dwunastościanu rombowego.

Rozwiązanie
Na rycinie 5 widać obie przekątne ściany (rombu), jedna jest równa a, a druga jest przekątną kwadratu o krawędzi a, zatem jest równa a–2. Zauważmy, że takie proporcje ma romb wpisany w kartkę papieru, zatem jest bardzo prosty do wykonania.

Zadanie 2  
Oblicz pole powierzchni i objętość tej bryłki (ryc. 5).
a) Gdy długość krótszej przekątnej ściany jest równa a.
b) Gdy długość krawędzi jest równa a.

Rozwiązanie
a) Pole powierzchni tej bryłki to może być 12 połówek kartek papieru formatu An (A4) albo 12 ×  a2 = 6–2a2. Objętość jest podwójną objętością sześcianu (sześcian + sześcian „na lewą stronę”) V = a3 + a3 = 2a3.
b) Długość krawędzi to połowa długości przekątnej sześcianu, d = a, gdzie a jest krawędzią sześcianu, a d krawędzią dwunastościanu rombowego, czyli:
\(a = d\)
\(P = 6–2 ( d)2 = 8–2d2.\)
Objętość jest równa \(V = 2 × ( d)3 =  d3\)

Zadanie 3  
Ile osi symetrii ma dwunastościan rombowy?

Rozwiązanie
Przedstawmy w tabelce osie symetrii sześcianu i dwunastościanu rombowego.

Własności dwunastościanu rombowego i związki z sześcianem:
12 ścian – tyle ile krawędzi ma sześcian,
14 wierzchołków – 8, z których wychodzą po 3 krawędzie (wierzchołki sześcianu), oraz 6, z których wychodzą 4 krawędzie (tyle ile ścian sześcianu), 24 krawędzie (6 × 4 w miejsce ściany sześcianu powstają 4 krawędzie, a krawędzie sześcianu znikają). Można skorzystać również z twierdzenie Eulera \(W + S = K + 2\), \(14 + 12 = K + 2\), \(K = 24\), gdzie W oznacza wierzchołki, S – ściany i K – krawędzie,
dwunastościan rombowy wypełnia przestrzeń (podobnie jak graniastosłupy trójkątne czy czworokątne),
może służyć jako kostka dwunastościenna do gry (lub kalendarz – na każdej ścianie inny miesiąc).

Literatura:

1. Mostowski K., Gwiazdka, dwunastościan rombowy gwiaździsty, „NiM” 35/2000.
2. https://pl.wikipedia.org/wiki/Dwunasto%C5%9Bcian_rombowy.
3. www.mathsiedlce.edu.pl.