Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka w praktyce

21 stycznia 2020

NR 42 (Styczeń 2020)

Geometria kartki papieru

112

Większość nauczycieli zna wymiary kartki papieru formatu A4. Opisują to według normy DIN dwie liczby całkowite, 297 i 210, podające długość i szerokość kartki A4 w milimetrach. Patrząc matematycznie, widzimy po prostu prostokąt o pewnej proporcji boków. Co w tym takiego ciekawego?

Patrząc na zeszyt A5 i kartkę zeszytu A4 jak na prostokąt, zauważamy pewne podobieństwo tych prostokątów, które można wyrazić matematycznie. Wydaje się, że połowa kartki A4 jest taka, to znaczy ma taki kształt, jak kartka zwykłego zeszytu formatu A5. Prostokąt A4 jest podobny do prostokąta A5. Rozłożony zeszyt A5 pasuje do kartki A4. Wiemy, że figury płaskie podobne w skali k mają stosunek pól równy \(k^2\). Skoro stosunek pól tych prostokątów opisuje liczba 2, to \(k^2\) = 2, czyli k =  \(\sqrt2\) . Przypomnijmy twierdzenie.

Twierdzenie

Wielokąty podobne mają odpowiednie odcinki proporcjonalne.

Jeśli więc prostokąt o bokach a i b, gdzie a > b, jest podobny do prostokąta o bokach b i \({a} \over2\). to możemy napisać proporcję a : b = b : \({a} \over2\), czyli \(b^2\) = \(a^2\) : 2 oraz \({a} \over2\) = \(\sqrt2\).  Z drugiej strony, według normy DIN, przyjętej w Europie jeszcze w XIX wieku, kartka A4 ma rozmiary 297 na 210. Proporcja boków kartki papieru wyraża się liczbą wymierną \({297} \over210\). Dzieląc licznik przez mianownik, oczywiście na kalkulatorze, dostajemy liczbę dziesiętną \({297} \over210\) ≈ 1,4142857. To jest wynik podejrzanie bliski liczbie \(\sqrt2\) Można to sprawdzić na prawie każdym kalkulatorze szkolnym. Różnica pojawia się dopiero na czwartym miejscu po przecinku. Mówiąc krótko, różnica proporcji długości boków prostokąta 297 × 210 i prostokąta \(\sqrt2 x1\) jest mniejsza niż grubość kartki papieru. Praktycznie, kartka papieru A4 jest idealnym modelem fizykalnym dla prostokąta matematycznego o proporcji boków wyrażonej liczbą pierwiastek z dwóch, \(\sqrt2\) Różnica jest niewidoczna dla naszego oka (ryc. 1).
 

Ryc. 1. Kartka papieru z jej „matematycznymi” wymiarami

 

Ryc. 2. Sześcian z „kartką papieru” w środku

 

Ryc. 3. Ostrosłup czworokątny w sześcianie


Taki prostokąt ładnie obrazuje przekrój sześcianu. Ten przekrój zawiera dwie przekątne przeciwległych ścian sześcianu. Jego przekątna pokryje się wtedy z przekątną główną sześcianu.
Łącząc podstawę, która jest kwadratem, z jednym z pozostałych wierzchołków, otrzymamy ostrosłup czworokątny o podstawie kwadratu i wysokości zawierającej się w krawędzi bocznej.
Połączyliśmy lewy górny wierzchołek sześcianu z wierzchołkami podstawy. Otrzymaliśmy zaznaczony ostrosłup. Trzy takie ostrosłupy wypełniające sześcian przedstawione są poniżej. Nazwiemy je Tryptykiem Cavalieriego. Cavalieri, uczeń Galileusza, był pierwszym matematykiem, który rozważał przekroje tego ostrosłupa płaszczyznami równoległymi do podstawy. Zauważył, że ta rodzina kwadratów o boku zmieniającym się od pewnej liczby dodatniej a do 0 tworzy bryłę o objętości V = \({1} \over3\) \(a^3\)
 

Ryc. 4. Nasz ostrosłup w układzie współrzędnych

 

 Ryc. 5. Sześcian rozłożony n...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy