Patrząc na zeszyt A5 i kartkę zeszytu A4 jak na prostokąt, zauważamy pewne podobieństwo tych prostokątów, które można wyrazić matematycznie. Wydaje się, że połowa kartki A4 jest taka, to znaczy ma taki kształt, jak kartka zwykłego zeszytu formatu A5. Prostokąt A4 jest podobny do prostokąta A5. Rozłożony zeszyt A5 pasuje do kartki A4. Wiemy, że figury płaskie podobne w skali k mają stosunek pól równy \(k^2\). Skoro stosunek pól tych prostokątów opisuje liczba 2, to \(k^2\) = 2, czyli k = \(\sqrt2\) . Przypomnijmy twierdzenie.
POLECAMY
Twierdzenie
Wielokąty podobne mają odpowiednie odcinki proporcjonalne.
Jeśli więc prostokąt o bokach a i b, gdzie a > b, jest podobny do prostokąta o bokach b i \({a} \over2\). to możemy napisać proporcję a : b = b : \({a} \over2\), czyli \(b^2\) = \(a^2\) : 2 oraz \({a} \over2\) = \(\sqrt2\). Z drugiej strony, według normy DIN, przyjętej w Europie jeszcze w XIX wieku, kartka A4 ma rozmiary 297 na 210. Proporcja boków kartki papieru wyraża się liczbą wymierną \({297} \over210\). Dzieląc licznik przez mianownik, oczywiście na kalkulatorze, dostajemy liczbę dziesiętną \({297} \over210\) ≈ 1,4142857. To jest wynik podejrzanie bliski liczbie \(\sqrt2\) Można to sprawdzić na prawie każdym kalkulatorze szkolnym. Różnica pojawia się dopiero na czwartym miejscu po przecinku. Mówiąc krótko, różnica proporcji długości boków prostokąta 297 × 210 i prostokąta \(\sqrt2 x1\) jest mniejsza niż grubość kartki papieru. Praktycznie, kartka papieru A4 jest idealnym modelem fizykalnym dla prostokąta matematycznego o proporcji boków wyrażonej liczbą pierwiastek z dwóch, \(\sqrt2\) Różnica jest niewidoczna dla naszego oka (ryc. 1).
Taki prostokąt ładnie obrazuje przekrój sześcianu. Ten przekrój zawiera dwie przekątne przeciwległych ścian sześcianu. Jego przekątna pokryje się wtedy z przekątną główną sześcianu.
Łącząc podstawę, która jest kwadratem, z jednym z pozostałych wierzchołków, otrzymamy ostrosłup czworokątny o podstawie kwadratu i wysokości zawierającej się w krawędzi bocznej.
Połączyliśmy lewy górny wierzchołek sześcianu z wierzchołkami podstawy. Otrzymaliśmy zaznaczony ostrosłup. Trzy takie ostrosłupy wypełniające sześcian przedstawione są poniżej. Nazwiemy je Tryptykiem Cavalieriego. Cavalieri, uczeń Galileusza, był pierwszym matematykiem, który rozważał przekroje tego ostrosłupa płaszczyznami równoległymi do podstawy. Zauważył, że ta rodzina kwadratów o boku zmieniającym się od pewnej liczby dodatniej a do 0 tworzy bryłę o objętości V = \({1} \over3\) \(a^3\).
Zrobienie jednego takiego modelu z kartki papieru zajmuje kilka minut – wystarczy ją odpowiednio pozaginać i przeciąć równolegle do dłuższego boku, aż do środka kartki. Aby zagięcia były równiutkie, przed zagięciem należy lekko przejechać po nich długopisem. Zagięcia są wtedy precyzyjne, dokładnie wzdłuż linii. Poniższy rysunek pokazuje, w jaki sposób należy przygotować kartkę papieru.
Wzdłuż linii przerywanej przecinamy kartkę aż do środka, a wzdłuż pozostałych linii zaginamy. Linie zaznaczone kropką zaginamy tak, aby powstała „dolinka”. Kropka jest wtedy wewnątrz zagięcia. Pozostałe linie zaginamy w „grzbiet”. Linia bez kropki staje się wtedy grzbietem zgięcia. Teraz nakładamy na siebie dwa kwadraty, odpowiednio dokładając do siebie trójkąty, które na fotografii są zacienione. Powstaje w ten sposób ostrosłup.
W ten sposób tworzymy trzy ostrosłupy. Dwa z nich należy dosunąć do siebie, tak aby je połączyć krawędziami o długości \(a\sqrt2\). Te krawędzie łączymy ze sobą elastycznie, najlepiej za pomocą kawałka taśmy malarskiej lub po prostu kawałka odpowiednio zgiętego papieru. Do tak połączonej pary ostrosłupów w podobny sposób dołączamy trzeci ostrosłup. Otrzymujemy w ten sposób trzy ostrosłupy połączone elastycznie, które możemy złożyć w sześcian i rozłożyć, otrzymując efektowny tryptyk. Ten tryptyk opisywał po łacinie Cavalieri w dziele Exercitationes geometricae sex (Ćwiczeń geometrycznych sześć), stąd możemy go nazwać tryptykiem Cavalieriego. W tym dziele opisana była wymieniona powyżej rodzina kwadratów i jej scałkowanie, czyli integracja, do ostrosłupa opisanego powyżej. W naszym współczesnym języku przedstawiamy to znacznie prościej w języku, który powstał pół wieku później. Do postaci używanej współcześnie ten język doprowadził dopiero Euler.
Bibliografia:
- Formaty kartek papieru, w sieci.
- Tryptyk Cavalieri – mathsiedlce.edu.pl.
