Dołącz do czytelników
Brak wyników

Jaką objętość ma „dziura”

Artykuły | 1 czerwca 2020 | NR 44
139

Zadanie
Kwadrat o boku równym jeden jest siatką pewnego ostrosłupa. Oblicz jego objętość i długości wszystkich jego wysokości.
Analiza treści zadania:

POLECAMY

  • Jedyny ostrosłup, który może mieć więcej niż jedną wysokość, to ostrosłup trójkątny, a ostrosłup trójkątny ma 4 wierzchołki.
  • Każdy wierzchołek należy do trzech ścian ostrosłupa, a więc trzy wierzchołki kwadratu mogą być jednym wierzchołkiem ostrosłupa, zatem czwarty wierzchołek kwadratu musi być innym wierzchołkiem naszej bryłki.

     


Rozwiązanie
W tym ostrosłupie (ryc. 2) spotkały się trzy wierzchołki w punkcie S = S1 = S2 = S3, a Odcinek AS jest bokiem kwadratu oraz najdłuższą wysokością ostrosłupa. Obliczmy pola wszystkich ścian tego ostrosłupa. Będą to pola wszystkich powstałych trójkątów w kwadracie i jednocześnie pola podstaw powstałego ostrosłupa (ostrosłup trójkątny może mieć cztery różne podstawy). Osie symetrii pozwolą łatwo zobaczyć pola trzech trójkątów (ryc. 3). Pole siatki jest równe 1, a zatem pole trójkąta w środku jest równe 
 


Można też je obliczyć, dodając 3 pola trójkątów prostokątnych oraz pole deltoidu 
Zauważmy, że pole widocznego małego deltoidu jest równe połowie pola małego kwadraciku.
Objętość ostrosłupa jest równa 

Trzy wysokości są widoczne, równe odpowiednio brakuje jeszcze długości czwartej, najkrótszej wysokości.
Pole największego trójkąta jest trzy razy większe niż najmniejszego, zatem najkrótsza wysokość musi być 3 razy mniejsza niż najdłuższa, czyli  Stosunek pól podstawy jest równy odwrotności stosunku wysokości, gdy ostrosłupy (graniastosłupy) mają taką samą objętość. 


Rozszerzmy nasze zadanie
Z czterech takich ostrosłupów („rożków” prostopadłościanów) możemy ułożyć prostopadłościan o podstawie kwadratu i wysokości równej bokowi kwadratu, z dziurą w środku. Tu, oczywiście, możemy stworzyć dowolne „rożki” graniastosłupa prawidłowego czworokątnego (prostopadłościanu o podstawie kwadratu) (ryc. 4A–B).
 

 


Rycina 4c przedstawia wymiary krawędzi „dziury”, czyli brakującego czworościanu. Łatwo znajdziemy zależność między wymiarami „rożka” i „dziury” 

Zauważmy, że wszystkie jego ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.
Objętość powstałego prostopadłościanu to V = a2 × b, a objętość ostrosłupa mającego trzy krawędzie, wychodzące z jednego wierzchołka, prostopadłe to: 
 


Łatwo policzymy, że objętość „dziury” jest równa  Wysokość tego ostrosłupa jest dwa razy większa niż najmniejsza wysokość rożka, gdyż podstawy są takie same, a objętość „dziury” jest dwa razy większa niż objętość „rożka” prostopadłościanu. Policzmy jeszcze tę objętość w zależności od m i n. m2 = 2a2 i n2 = a2 + b2, czyli:
 

Teraz objętość „dziury”, w zależności od jej krawędzi, wygląda następująco:
 


Gdzie m to są krawędzie skośne leżące na prostych prostopadłych, a n – cztery pozostałe krawędzie czworościanu. Oczywiście, objętość rożka będzie wtedy dwa razy mniejsza i równa:
 


Aby obliczyć objętość naszej „dziury”, przyjmujemy  

Gdy m = n, to a = b oraz „dziura” będzie miała wszystkie krawędzie równe (będzie czworościanem foremnym):
 

  i o...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy