Dołącz do czytelników
Brak wyników

Koło matematyczne

6 lutego 2019

NR 36 (Styczeń 2019)

Liczby złożone i ich „mutacje”

0 171

Gdy kończyłem poprzedni odcinek „Koła”, pisząc, że wkrótce wrócę do poruszanego tam tematu zadania Sierpińskiego o liczbach złożonych, nie przypuszczałem, że nastąpi to aż tak szybko. Z drugiej strony, odkładanie kontynuacji omówienia dowolnego zadania na zbyt odległą przyszłość w stosunku do momentu poprzedniego takiego omówienia jest niewątpliwie niekorzystne tak dla autora, jak i dla Czytelników tych omówień – traci się bowiem ciągłość. Dlatego w obecnym odcinku będziemy kontynuować zajmowanie się zadaniem Sierpińskiego, zwłaszcza że jego treść istotnie wymaga jeszcze dalszego przedyskutowania.

Żeby sobie ułatwić tę dyskusję, zaczniemy od przypomnienia treści samego zadania1:
Liczba złożona. Znaleźć liczbę złożoną, która pozostanie złożoną przy każdej zmianie którejkolwiek jej dwóch cyfr.

Przypomnijmy też dwa podstawowe pojęcia, wprowadzone przeze mnie2, które wykorzystamy później przy analizie rozwiązania tego zadania:

Takie mutacje będziemy nazywać jednopunktowymi (lub jednokrotnymi). Powinno być jasne, że ta definicja pozwoli nam sformułować zadanie Sierpińskiego w bardziej formalny sposób, z użyciem symboliki matematycznej. Z drugiej strony powinno też być jasne, że od razu pojawi się problem wyboru podstawy zapisu pozycyjnego, tzn. liczby p. Domyślamy się, że Sierpiński miał zapewne na myśli zapis dziesiętny, jednak nic w warunkach zadania nie zmusza nas do wyboru akurat tej podstawy. Dlatego od razu sformułujemy to zadanie dla dowolnej dopuszczalnej podstawy p. Korzystając więc z powyższej definicji, możemy następująco sformułować zadanie Sierpińskiego z parametrem p:

Liczba złożona (p). Znaleźć liczbę złożoną n taką, że dla dowolnych i, j – indeksów wskazujących cyfry zapisu liczby n przy podstawie p oraz dowolnych a, b – cyfr przy tej podstawie liczba mut(mut(n,i,a),j,b) też jest złożona.

Liczby występujące w zadaniu nazywać będziemy odpornymi na mutacje. Wydawać by się mogło, że sformułowanie zadania nie nastręcza już żadnych trudności. Jednak, jak o tym wspominają Jarnicki i Żenczykowski3, nie jest jasne, czy i musi być różne od j, podobnie czy a musi być różne od i-tej cyfry n oraz czy b musi być różne od j-tej cyfry mut(n,i,a). W istocie chodzi o to, czy zadanie wymaga, aby zmienić dokładnie dwie cyfry liczby n, czy też co najwyżej dwie takie cyfry. Ponadto nie jest też jasne, czy zadanie zezwala na użycie 0 jako zamiennika dla najbardziej znaczącej cyfry, 
a więc czy wolno wprowadzić tzw. zera wiodące. W zależności od odpowiedzi (tak/nie) na każde z tych dwóch pytań otrzymujemy cztery rodzaje liczb odpornych na mutacje, a co za tym idzie – cztery warianty zadania Sierpińskiego.

Definicja 2

Liczbę złożoną n nazwiemy liczbą odporną na mutacje pierwszego rodzaju przy podstawie p, jeśli pozostanie złożoną przy każdej zmianie dokładnie dwóch cyfr jej zapisu przy podstawie p, przy czym nie wolno wymieniać pierwszej cyfry tego zapisu na 0.
Liczbę taką nazwiemy liczbą odporną na mutacje drugiego rodzaju przy podstawie p, jeśli pozostanie złożoną przy każdej zmianie dokładnie dwóch cyfr jej zapisu przy podstawie p, przy czym wolno wymieniać pierwszą cyfrę tego zapisu na 0.
Dalej, nazwiemy ją liczbą odporną na mutacje trzeciego rodzaju przy podstawie p, jeśli pozostanie złożoną przy każdej zmianie co najwyżej dwóch cyfr jej zapisu przy podstawie p, przy czym nie wolno wymieniać pierwszej cyfry tego zapisu na 0.
W końcu, nazwiemy ją liczbą odporną na mutacje czwartego rodzaju przy podstawie p, jeśli pozostanie złożoną przy każdej zmianie co najwyżej dwóch cyfr jej zapisu przy podstawie p, przy czym wolno wymieniać pierwszą cyfrę tego zapisu na 0.

Zauważmy, że między tymi czterema pojęciami zachodzą następujące, dość proste zależności:

Twierdzenie 1

Niech n będzie liczbą złożoną, a p – dowolną liczbą naturalną mogącą być podstawą zapisu pozycyjnego, tzn. p ≥ 2. Wtedy:
Jeśli n jest liczbą odporną na mutacje czwartego rodzaju przy podstawie p, to jest liczbą odporną na mutacje wszystkich pozostałych rodzajów przy tej podstawie.
Jeśli n jest liczbą odporną na mutacje drugiego lub trzeciego rodzaju (p), to jest również liczbą odporną na mutacje pierwszego rodzaju (p).

Dowód

Łatwy, zostawiamy Czytelnikowi jako ćwicze...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy