Na przykład w 1497 r. tak o matematyce pisał „ojciec nowoczesnej księgowości”, L. Pacioli, w swojej Boskiej proporcji: „Mathematicae enim scientia sunt in primo gradu certitudinis, et naturales sequentur eas”, tzn. „Nauki matematyczne mają pierwszy stopień pewności, nauki o naturze idą za nimi”2.
Jednak matematycy są nade wszystko ludźmi, a ci nie składają się wyłącznie z samego ratio3. Wszyscy mamy jakieś elementy emotio4, a te kierują nas, niestety, na tory inne niż racjonalizm. Wstyd powiedzieć, ale zapewne niektórzy z nas bywają nawet zabobonni (gdy piszę te słowa, właśnie minął 13 lipca, piątek). To jednak zapewne nieliczne, skrajne wyjątki. Z drugiej strony, tak jak inni ludzie, wszyscy matematycy ulegają zapewne jakiegoś rodzaju urokom, rozumianym tu jako przejawy piękna (w obrębie ich dyscypliny). Przy tym nieistotne jest, czy są to uroki rozumowań – własnych lub cudzych; uroki sformułowań – problemów lub ich rozwiązań; uroki hipotez; czy też uroki prostsze, np. uroki tzw. „wielkich” nazwisk; „klasycznych” (co dość często oznacza po prostu „dostatecznie starych”) problemów; czy w końcu tak zwanych „okrągłych” liczb. Czasami zdarza się tak, że kilka z takich „uroków” spotyka się równocześnie w jednym miejscu, potęgując się wzajemnie. Na tym zapewne polegała część uroku Wielkiego Twierdzenia Fermata5 – mieliśmy tu wielkie nazwisko, prostotę sformułowania i dostojną patynę klasyki (i dodatkowo nagrodę pieniężną). Jednak nie zawsze trzeba szukać takich uroków tak daleko „od domu” i w tak „poważnym” otoczeniu, jak Wielkie Twierdzenie Fermata.
Otóż około 40 lat temu redakcja „Matematyki” opublikowała w ramach Konkursu Zadaniowego następujące zadanie6:
POLECAMY
1000. Liczba złożona. Znaleźć liczbę złożoną, która pozostanie złożoną przy każdej zmianie którychkolwiek jej dwóch cyfr.
Jak to zaznaczono w komentarzu do treści tego zadania, jego autorem był prof. Wacław Sierpiński, jeden z najwybitniejszych matematyków polskich XX w.7, który w istocie zaproponował je redakcji „Matematyki” jeszcze w 1958 r. Tak więc już w momencie publikacji zadanie to miało bez mała 20 lat. Ponadto, oprócz prostoty sformułowania i wielkości nazwiska autora, nosiło ono „okrągły” numer – 1000. Czy trzeba jeszcze czegoś więcej, by zadanie takie emanowało jakimś tajemniczym urokiem, który powinien przyciągać do niego „śmiałków” pragnących wsławić się jego rozwiązaniem? Jednak czas mijał, a w sprawie tego rozwiązania nic się nie działo. Pierwszy, nieśmiały komentarz do niego pojawił się dopiero dobre 20 lat po jego publikacji, bo około roku 20008, a pełne rozwiązanie – w roku 20079.
Ponieważ zdarzyło mi się być uczestnikiem – bezwiednym – wyścigu po laury pierwszeństwa w rozwiązaniu tego zadania, pozwolę sobie po latach poświęcić kilka zdań różnym aspektom zarówno samego zadania, jak i jego rozwiązania. Mam nadzieję, że koledzy Jarnicki i Żenczykowski nie będą mieli mi tego za złe.
Zaczniemy od pogłębionej refleksji nad treścią tego zadania. Wydawać by się mogło, iż w przypadku zadania, którego treść zawiera się w kilku wierszach, a ponadto treść ta dotyczy tak elementarnych pojęć matematycznych, jak liczby złożone i cyfry, jest to całkowicie zbędne. A jednak…
Niestety, codzienne doświadczenie nauczycieli akademickich (a przynajmniej moje) wykazuje, że coraz częściej abiturienci10 (tzn. maturzyści) nie znają poprawnych definicji nawet tak prostych pojęć, jak liczba pierwsza. Co gorsza, coraz częściej również aktywni zawodowo nauczyciele matematyki – a przynajmniej ci trafiający do nas na zajęcia doskonalące – nie znają tych definicji. Dlatego zaczniemy od ich przypomnienia.
Definicja 1
Liczba naturalna n nazywana jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy n ≥ 2 i gdy n ma tylko dwa dzielniki, tzn. siebie samą i liczbę 1\(^{11-13}\).
„Przecież to oczywiste!” – może się żachnąć Czytelnik. Jednak, jak o tym wspominałem wyżej, odpowiedź, jaką obecnie coraz częściej można usłyszeć na pytanie „Co to jest liczba pierwsza?”, nie jest wcale poprawna i aż nazbyt często brzmi: „Jest to liczba, która dzieli się przez 1 i siebie samą”. A to, niestety, jest odpowiedź niepoprawna. Czasami odpowiadający potrafi dodać (poprawnie), że chodzi o liczbę większą od 1, ale właściwie prawie wszyscy zapominają o tym, że w gruncie rzeczy istota tej definicji tkwi w słowie „tylko”. Nie uwzględniając tego (lub podobnego) słowa w definicji liczby pierwszej, uznamy za pierwsze wszystkie liczby naturalne, bo przecież każda taka liczba „dzieli się przez 1 i siebie samą”. A jeśli nie dodamy warunku „n > 1”, czyli „n ≥ 2”, to uznamy za pierwszą również liczbę 1 – jako że ona też dzieli się tylko przez 1 i siebie samą.
„No dobrze, ale jaki jest związek liczb pierwszych z zadaniem Sierpińskiego?” – zapyta Czytelnik. Rzeczywiście, bezpośrednio pojęcie to w zadaniu tym nie występuje, ale pośrednio i owszem, jako że zadanie dotyczy liczb złożonych. A te definiuje się przecież „w opozycji” do liczb pierwszych. I znowu, takie (zbyt) proste intuicyjne pojęcie o liczbach złożonych bywa nieustanną przyczyną coraz częściej powtarzających się błędów. Albowiem coraz więcej osób uważa, że liczby naturalne dzielą się na dwie uzupełniające się kategorie – liczby pierwsze i liczby złożone. A to ponownie nieprawda.
W istocie, ze względu na podzielność i liczbę dzielników, liczby naturalne dzielą się nie na dwie, lecz na trzy lub nawet cztery odrębne kategorie – liczby pierwsze, liczby złożone, 0 oraz 1. Te dwie ostatnie liczby mają wśród liczb naturalnych osobny, specjalny status – nie są ani pierwsze, ani złożone. W szczególności 0 jest „uniwersalną dzielną”, tzn. dzieli się przez każdą liczbę ≠ 0; a 1 jest „uniwersalnym dzielnikiem”, tzn. dzieli każdą liczbę. Jeśli uznamy 0 i 1 za elementy jednej kategorii, kategorie będą trzy, w przeciwnym razie – cztery.
Z powodu tych błędów, popełnianych przy definiowaniu liczb złożonych, poniżej przytaczamy poprawną definicję również tych liczb:
Definicja 2
Liczba naturalna n nazywana jest liczbą złożoną wtedy i tylko wtedy, gdy n ≥ 2 i gdy nie jest pierwsza\(^{14-16}\).
Załatwiwszy w ten sposób dwa podstawowe pojęcia występujące w zadaniu Sierpińskiego, przejdziemy teraz do omówienia ostatniego elementu występującego w tym zadaniu – element ten to cyfry17. Im również poświęcimy tu trochę więcej uwagi, ponieważ – o zgrozo! – one też bywają obiektem częstych nieporozumień.
Pomimo że „cyfry” to również bardzo elementarne pojęcie, z którym wszyscy mieliśmy zapewne okazję zapoznać się jeszcze w szkole (podstawowej), to pojęcie to sprawia wiele problemów. Przede wszystkim, wielu ludzi posługuje się nim nadmiernie swobodnie i używa (niepoprawnie) określenia „cyfra” w miejsce poprawnego „liczba”. Dalej, ponieważ obecnie w życiu codziennym nieustannie posługujemy się tzw. indyjsko-arabsko pozycyjnym zapisem liczb z użyciem cyfr dziesiętnych, również wielu ludzi jest przekonanych, że cyfry stanowią immanentną część składową liczb.
I tak na przykład, niektórzy uważają, że 1234 jest liczbą „tysiąc dwieście trzydzieści cztery”. Jednocześnie ci sami ludzie uważają zapewne też, że również MCCXXXIV jest tą samą liczbą. Jednak to niemożliwe, jako że 1234 w oczywisty sposób nie jest tym samym co MCCXXXIV. Zatem co najwyżej jeden z powyższych napisów – 1234 i MCCXXXIV – może być tą liczbą. W istocie (prawie na pewno) żaden z nich nią nie jest, a obydwa są tylko jej dwoma różnymi oznaczeniami. Jak zatem brzmi odpowiedź na pytanie „Czym naprawdę jest liczba tysiąc dwieście trzydzieści cztery (czy jakakolwiek inna)?”. Cóż, mam nadzieję, że matematycy na ogół uchylą się od odpowiedzi na nie, mówiąc, że jest to raczej pytanie natury filozoficznej, a nie matematycznej. Można ponadto dodać, że sytuacja, w której okazuje się, iż nie wiedząc, czym w istocie są liczby, umiemy nimi manipulować za pośrednictwem ich oznaczeń tak dobrze, że potrafimy z powodzeniem budować np. domy, mosty, samochody, samoloty, komputery, a także wysyłać w kosmos rakiety i satelity, stanowi oczywisty dowód potęgi matematyki. Więcej, szerzej i głębiej na temat subtelności związanych z pojęciami „liczby” i „cyfry” oraz różnic między nimi można znaleźć w publikacjach G. Ifraha18, 19.
Skoro w ten sposób omówiliśmy już ewentualne problemy i błędy związane z rozumieniem pojęcia „cyfry”, przejdziemy teraz do przedyskutowania roli tego pojęcia w kontekście zadania Sierpińskiego. Przede wszystkim zauważmy, że skoro w zadaniu tym mówi się o manipulowaniu na cyfrach, to rozumienie jego treści zależy od wyboru reprezentacji liczb z pomocą cyfr. Domyślamy się, że autor zadania miał zapewne na myśli obecną „standardową” reprezentację liczb, a więc system dziesiętny. Jednak łatwo można sobie wyobrazić interpretację treści tego zadania w jakimkolwiek innym systemie zapisu liczb z użyciem cyfr, a więc z użyciem np. innej podstawy, o czym ogólnie wspominali Jarnicki i Żenczykowski9 i co miało miejsce w artykule Bednarka8, gdzie autor rozważa system dwójkowy, lub np. w systemie rzymskim. W niniejszym artykule ograniczymy się wyłącznie do systemów pozycyjnych.
Dalej, zauważmy i podkreślmy, że w zadaniu chodzi o zmianę, a nie zamianę (miejscami) dwóch cyfr. Taką zmianę można, oczywiście, zrealizować w dwóch krokach, dokonując dwóch kolejnych zmian pojedynczych cyfr. Żeby ściśle określić pojęcie takiej pojedynczej zmiany, wprowadzimy następujące definicje:
Definicja 3
Niech dane będą liczba naturalna p ≥ 2, a więc liczba naturalna nadająca się na podstawę pozycyjnego systemu zapisu liczb, oraz liczba naturalna n. Niech dalej ckck − 1 … c0 będzie zapisem liczby n przy podstawie p (bez tzw. zer wiodących), tzn. niech
n = ckpk + ck − 1pk − 1 + … + c2p2 + c1p1 + c0,
przy czym ci ∈ {0, 1, … , p − 1}, 0 ≤ i ≤ k, ck ≠ 0.
Wtedy pojedynczą mutacją zapisu liczby n przy podstawie p nazwiemy każdy zapis liczby naturalnej różniący się dokładnie w jednym miejscu od zapisu liczby n, a więc każdy ciąg bkbk − 1 … b1b0 składający się z k+1 cyfr przy podstawie p
taki, że istnieje dokładnie jeden indeks 0 ≤ i ≤ k taki,
że bi ≠ ci, podczas gdy dla pozostałych indeksów j ≠ i, 0 ≤ j ≤ k mamy bj = cj.
Tak na przykład, w przypadku, który jest dla nas najbardziej zrozumiały, tzn. przy podstawie p = 10, i np. dla liczby
n = 123456, każda z 9 liczb 123450, 123451, 123452, 123453, 123454, 123455, 123457, 123458 oraz 123459 jest pojedynczą mutacją (na ostatniej pozycji); przy czym są to wszystkie możliwe mutacje (zapisu) liczby 123456 na tej pozycji. Innymi takimi mutacjami tej samej liczby są na przykład również liczby 123406 czy 123156. I chociaż zgodnie z intuicją kryjącą się za definicją „mutacji zapisu liczby” jest to w istocie pojęcie dotyczące zapisu danej liczby przy wybranej podstawie, to jednak na ogół będziemy mówić o mutacji samej liczby, tak jak to zrobiliśmy już w tym paragrafie, mając jednak, oczywiście, na myśli mutację jej zapisu.
Powinno być oczywiste, jak zdefiniowane powyżej pojęcie „pojedynczej mutacji zapisu liczby” wiąże się z zadaniem Sierpińskiego. I choć w tamtym zadaniu rozważa się mutacje podwójne (tzn. zmiany cyfr na dwóch pozycjach), to również powinno być oczywiste, że takie mutacje da się zrealizować jako dwie następujące po sobie kolejno mutacje pojedyncze (na dwóch różnych pozycjach). Zauważmy dalej w związku z zadaniem Sierpińskiego, że pojęcie pojedynczej mutacji możemy zdefiniować za pomocą prostszego pojęcia zmiany (mutacji) jednej cyfry (zapisu) tej liczby na inną, daną.
Definicja 4
Niech dane będą liczby naturalne p ≥ 2 oraz n. Niech dalej 
będzie zapisem liczby n przy podstawie p, tzn. niech
Ponadto, niech i będzie dowolnym indeksem wskazującym pozycję w zapisie liczby n, tzn. niech 0 ≤ i ≤ k. W końcu niech c będzie dowolną cyfrą systemu pozycyjnego o podstawie p różną od ci. Wtedy definiujemy c–mutację (zapisu) liczby n na pozycji i, w skrócie (i, c, p) – mutację n, jako ciąg 
a więc jako ciąg cyfr, w którym i-tą cyfrę (liczymy od końca i od zera!) zapisu (przy podstawie p) liczby n zastąpiono cyfrą c.
Lekko tylko nadużywając tej terminologii, tym samym określeniem będziemy również nazywać liczbę reprezentowaną przez ciąg tzn. liczbę 
Liczbę tę oznaczać będziemy mut(n, p, i, c).
Mogłoby się zdawać, że z powyższej definicji wynika, iż do wyznaczenia liczby mut(n, p, i, c) musimy znać zapis liczby n
przy podstawie p, a więc wszystkie cyfry zapisu tej liczby przy danej podstawie. Jednak łatwo się przekonać, że tak nie jest – wystarczy znać tylko i-tą cyfrę tej liczby. Istotnie, jeśli 
to łatwo zauważyć, że wtedy
W ten sposób udowodniliśmy następujący fakt:
Fakt 1
Jak zatem wyznaczyć i-tą cyfrę zapisu liczby n przy podstawie p, tzn. cyfrę ci? W zasadzie nie jest to trudne. W tym celu trzeba jednak przypomnieć sobie, jak tworzy się zapis pozycyjny danej liczby. Inaczej – trzeba umieć odpowiedzieć na pytanie, skąd się biorą cyfry. Otóż kolejne cyfry (od końca, tzn. od cyfry jedności począwszy) to reszty z dzielenia całkowitego, czyli tzw. dzielenia euklidesowego20, przez p liczby n oraz kolejnych ilorazów z takiego dzielenia. Zatem okazuje się, że po to, by wyznaczyć wszystkie cyfry zapisu liczby n przy podstawie p, wystarczy umieć wyznaczać cyfrę jedności c0, a więc ostatnią cyfrę liczby. A ta dla liczby n dana jest zależnością:
Z kolei przedostatnia cyfra (zapisu) liczby n (przy podsta-
wie p) może zostać uzyskana w analogiczny sposób – jako ostatnia cyfra liczby q itd. (szczegóły – patrz na przykład u Felix21). Z analizy powyższego procesu uzyskiwania kolejnych cyfr liczby n łatwo wnioskujemy, że i-tą cyfrę tej liczby (przypominam: liczymy je od 0) uzyskamy, wyznaczając najpierw iloraz z dzielenia (euklidesowego) liczby n przez pi,
a następnie wyznaczając resztę z dzielenia tego ilorazu przez p. Jeśli zatem oznaczymy przez il(a, b) operację brania ilorazu z dzielenia euklidesowego liczby całkowitej a przez b, a przez re(a, b) – resztę z tego dzielenia,
tzn.: a = il(a,b)b + re(a,b), 0 ≤ re(a,b) < b, to i-ta cyfra zapisu liczby n przy podstawie p dana jest wzorem:
Fakt 2
Ponieważ rozpatrywane tu przez nas liczby całkowite są w istocie zawsze liczbami naturalnymi, tzn. są nieujemne, dlatego możemy skorzystać z następującego wzoru wyrażającego iloraz z dzielenia całkowitego a przez b: il(a,b) = [a/b], gdzie [x] oznacza część całkowitą liczby x. Stąd łatwo otrzymujemy wzór na resztę z tego dzielenia, mianowicie re(a, b) = a − il(a, b)b. Ostatecznie możemy obecnie sformułować Fakt 1 w następujący sposób:
Fakt 3
W ten sposób przedstawiliśmy i omówiliśmy chyba wszystkie pojęcia niezbędne do tego, żeby zająć się już wyłącznie rozwiązaniem zadania nr 1000 Konkursu Zadaniowego „Matematyki”, zaproponowanego w 1958 r. przez prof. Sierpińskiego. Dlatego w tym miejscu zrobimy przerwę i powrócimy do tego zadania, a właściwie – do jego rozwiązania w jednym z kolejnych odcinków „Koła Matematycznego”.
Bibliografia:
- Empacher A.B., Sęp Z., Żakowska A., Żakowski W., Mały słownik matematyczny, Wiedza Powszechna, Warszawa 1970, s. 65.
- Białostocki J. (red.), Teoretycy, pisarze i artyści o sztuce: 1500–1600, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1985, s. 22.
- Tokarski J. i in. (red.), Słownik wyrazów obcych PWN, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1980, s. 620.
- Ibidem, s. 190.
- Empacher A.B., Sęp Z., Żakowska A., Żakowski W., op. cit., s. 300.
- Sierpiński W., Liczba złożona, „Matematyka” 1/1977, Konkurs zadaniowy, Zadanie nr 1000, s. 55.
- Empacher A.B., Sęp Z., Żakowska A., Żakowski W., op. cit., s. 262.
- Bednarek W., Uwaga do starego zadania konkursowego, „Matematyka” 4/2001, s. 243.
- Jarnicki W., Żenczykowski M., On a Property of the Number 977731833235239280, arXiv:0709.3361v2 [math.NT], 2007, //arxiv.org/abs/0709.3361 (dostęp: 23 lipca 2018).
- Tokarski J. i in., op.cit., s. 1.
- Empacher A.B., Sęp Z., Żakowska A., Żakowski W., op. cit., s. 146.
- Selkirk K., Ilustrowany słownik matematyczny, Zakład Narodowy im. Ossolińskich, Wrocław – Warszawa – Kraków 1999, s. 33.
- Filist L., Malina A., Solecka A., Słownik encyklopedyczny: Matematyka, Wydawnictwo Europa, Wrocław 1998, s. 147.
- Empacher A.B., Sęp Z., Żakowska A., Żakowski W., op. cit., s. 150.
- Selkirk K., op. cit., s. 32.
- Filist L., Malina A., Solecka A., op. cit., s. 149.
- Empacher A.B., Sęp Z., Żakowska A., Żakowski W., op. cit., s. 41.
- Ifrah G., Dzieje liczby, czyli historia wielkiego wynalazku, Ossolineum, Wrocław – Warszawa 1990.
- Ifrah G., Historia powszechna cyfr, t. I–II, Wydawnictwo WAB, Warszawa 2006.
- Felix L., Współczesny wykład matematyki elementarnej, PWN, Warszawa 1973, s. 142.
- Ibidem, s. 156–157.
