Dołącz do czytelników
Brak wyników

Koło matematyczne

20 listopada 2018

NR 35 (Listopad 2018)

Dziwne uroki matematyki – „mutacje” w świecie liczb

0 22

Matematycy uchodzą na ogół za ludzi skrajnie wręcz racjonalnych. Nic dziwnego, skoro od stuleci nasza dziedzina uprawiana jest w ramach rygorystycznie ścisłej dyscypliny intelektualnej. Ów rygor intelektualny, którego podwaliny sformułowane zostały jeszcze w IV w. p.n.e. przez Euklidesa1 w jego Elementach, wyrażany bywał później wielokrotnie przez kolejne wieki zarówno w podręcznikach matematyki, jak i w aforyzmach jej poświęconych.

Na przykład w 1497 r. tak o matematyce pisał „ojciec nowoczesnej księgowości”, L. Pacioli, w swojej Boskiej proporcji: „Mathematicae enim scientia sunt in primo gradu certitudinis, et naturales sequentur eas”, tzn. „Nauki matematyczne mają pierwszy stopień pewności, nauki o naturze idą za nimi”2.
Jednak matematycy są nade wszystko ludźmi, a ci nie składają się wyłącznie z samego ratio3. Wszyscy mamy jakieś elementy emotio4, a te kierują nas, niestety, na tory inne niż racjonalizm. Wstyd powiedzieć, ale zapewne niektórzy z nas bywają nawet zabobonni (gdy piszę te słowa, właśnie minął 13 lipca, piątek). To jednak zapewne nieliczne, skrajne wyjątki. Z drugiej strony, tak jak inni ludzie, wszyscy matematycy ulegają zapewne jakiegoś rodzaju urokom, rozumianym tu jako przejawy piękna (w obrębie ich dyscypliny). Przy tym nieistotne jest, czy są to uroki rozumowań – własnych lub cudzych; uroki sformułowań – problemów lub ich rozwiązań; uroki hipotez; czy też uroki prostsze, np. uroki tzw. „wielkich” nazwisk; „klasycznych” (co dość często oznacza po prostu „dostatecznie starych”) problemów; czy w końcu tak zwanych „okrągłych” liczb. Czasami zdarza się tak, że kilka z takich „uroków” spotyka się równocześnie w jednym miejscu, potęgując się wzajemnie. Na tym zapewne polegała część uroku Wielkiego Twierdzenia Fermata5 – mieliśmy tu wielkie nazwisko, prostotę sformułowania i dostojną patynę klasyki (i dodatkowo nagrodę pieniężną). Jednak nie zawsze trzeba szukać takich uroków tak daleko „od domu” i w tak „poważnym” otoczeniu, jak Wielkie Twierdzenie Fermata.
Otóż około 40 lat temu redakcja „Matematyki” opublikowała w ramach Konkursu Zadaniowego następujące zadanie6: 

1000. Liczba złożona. Znaleźć liczbę złożoną, która pozostanie złożoną przy każdej zmianie którychkolwiek jej dwóch cyfr.

Jak to zaznaczono w komentarzu do treści tego zadania, jego autorem był prof. Wacław Sierpiński, jeden z najwybitniejszych matematyków polskich XX w.7, który w istocie zaproponował je redakcji „Matematyki” jeszcze w 1958 r. Tak więc już w momencie publikacji zadanie to miało bez mała 20 lat. Ponadto, oprócz prostoty sformułowania i wielkości nazwiska autora, nosiło ono „okrągły” numer – 1000. Czy trzeba jeszcze czegoś więcej, by zadanie takie emanowało jakimś tajemniczym urokiem, który powinien przyciągać do niego „śmiałków” pragnących wsławić się jego rozwiązaniem? Jednak czas mijał, a w sprawie tego rozwiązania nic się nie działo. Pierwszy, nieśmiały komentarz do niego pojawił się dopiero dobre 20 lat po jego publikacji, bo około roku 20008, a pełne rozwiązanie – w roku 20079.
Ponieważ zdarzyło mi się być uczestnikiem – bezwiednym – wyścigu po laury pierwszeństwa w rozwiązaniu tego zadania, pozwolę sobie po latach poświęcić kilka zdań różnym aspektom zarówno samego zadania, jak i jego rozwiązania. Mam nadzieję, że koledzy Jarnicki i Żenczykowski nie będą mieli mi tego za złe.
Zaczniemy od pogłębionej refleksji nad treścią tego zadania. Wydawać by się mogło, iż w przypadku zadania, którego treść zawiera się w kilku wierszach, a ponadto treść ta dotyczy tak elementarnych pojęć matematycznych, jak liczby złożone i cyfry, jest to całkowicie zbędne. A jednak…
Niestety, codzienne doświadczenie nauczycieli akademickich (a przynajmniej moje) wykazuje, że coraz częściej abiturienci10 (tzn. maturzyści) nie znają poprawnych definicji nawet tak prostych pojęć, jak liczba pierwsza. Co gorsza, coraz częściej również aktywni zawodowo nauczyciele matematyki – a przynajmniej ci trafiający do nas na zajęcia doskonalące – nie znają tych definicji. Dlatego zaczniemy od ich przypomnienia.

Definicja 1
Liczba naturalna n nazywana jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy n ≥ 2 i gdy n ma tylko dwa dzielniki, tzn. siebie samą i liczbę 1\(^{11-13}\).

„Przecież to oczywiste!” – może się żachnąć Czytelnik. Jednak, jak o tym wspominałem wyżej, odpowiedź, jaką obecnie coraz częściej można usłyszeć na pytanie „Co to jest liczba pierwsza?”, nie jest wcale poprawna i aż nazbyt często brzmi: „Jest to liczba, która dzieli się przez 1 i siebie samą”. A to, niestety, jest odpowiedź niepoprawna. Czasami odpowiadający potrafi dodać (poprawnie), że chodzi o liczbę większą od 1, ale właściwie prawie wszyscy zapominają o tym, że w gruncie rzeczy istota tej definicji tkwi w słowie „tylko”. Nie uwzględniając tego (lub podobnego) słowa w definicji liczby pierwszej, uznamy za pierwsze wszystkie liczby naturalne, bo przecież każda taka liczba „dzieli się przez 1 i siebie samą”. A jeśli nie dodamy warunku „n > 1”, czyli „n ≥ 2”, to uznamy za pierwszą również liczbę 1 – jako że ona też dzieli się tylko przez 1 i siebie samą.
„No dobrze, ale jaki jest związek liczb pierwszych z zadaniem Sierpińskiego?” – zapyta Czytelnik. Rzeczywiście, bezpośrednio pojęcie to w zadaniu tym nie występuje, ale pośrednio i owszem, jako że zadanie dotyczy liczb złożonych. A te definiuje się przecież „w opozycji” do liczb pierwszych. I znowu, takie (zbyt) proste intui­cyjne pojęcie o liczbach złożonych bywa nieustanną przyczyną coraz częściej powtarzających się błędów. Albowiem coraz więcej osób uważa, że liczby naturalne dzielą się na dwie uzupełniające się kategorie – liczby pierwsze i liczby złożone. A to ponownie nieprawda.
W istocie, ze względu na podzielność i liczbę dzielników, liczby naturalne dzielą się nie na dwie, lecz na trzy lub nawet cztery odrębne kategorie – liczby pierwsze, liczby złożone, 0 oraz 1. Te dwie ostatnie liczby mają wśród liczb naturalnych osobny, specjalny status – nie są ani pierwsze, ani złożone. W szczególności 0 jest „uniwersalną dzielną”, tzn. dzieli się przez każdą liczbę ≠ 0; a 1 jest „uniwersalnym dzielnikiem”, tzn. dzieli każdą liczbę. Jeśli uznamy 0 i 1 za elementy jednej kategorii, kategorie będą trzy, w przeciwnym razie – cztery.
Z powodu tych błędów, popełnianych przy definiowaniu liczb złożonych, poniżej przytaczamy poprawną definicję również tych lic...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy