Dołącz do czytelników
Brak wyników

Koło matematyczne

18 listopada 2019

NR 41 (Listopad 2019)

Wokół sześciokąta… i to dosłownie

0 21

Wielokąty foremne i ich własności to popularny temat na zajęciach dodatkowych z matematyki. Wśród nich prym wiodą parkietaże, czyli szczelne wypełnienie powierzchni wielokątami przylegającymi, ale nienachodzącymi na siebie. Zabawę klockami w kształcie wielokątów foremnych bądź kolorowanie parkietaży polecam w klasie IV czy V – pomaga to rozwijać myślenie geometryczne i przestrzenne. Wstępem do zajęć na temat własności geometrycznych parkietaży w klasie VII lub VIII i utrwaleniem wiedzy o wielokątach foremnych poprzez samodzielne wyciąganie wniosków mogą być rozważania na temat sześciokąta foremnego. Na zajęciach o tej właśnie tematyce wykorzystamy klocki Reko System i program GeoGebra.

Na początku zajęć dzielimy uczniów na sześć grup. Każda z grup otrzymuje modele trójkątów, czworokątów, pięciokątów i sześciokątów foremnych o tej samej długości boków. Wykorzystałam klocki Reko System, ale równie dobrze można samemu wykonać modele z kartonu.

Ćwiczenie 1


Każda z grup w centrum umieszcza sześciokąt foremny. Zadanie polega na tym, aby połączyć klocki w taki sposób, aby wokół każdego wierzchołka sześciokąta znajdował się dokładnie taki sam zestaw klocków i aby zapełnić szczelnie powierzchnię wokół każdego z wierzchołków.
 

  Ryc. 1

Jeżeli chcemy zaoszczędzić czas, tak aby już przy pierwszym podejściu każda z grup wykonała inną mozaikę, wystarczy zaingerować w liczbę poszczególnych elementów w grupach, uniemożliwiając wykonanie takich samych układów. Natomiast jeżeli mamy dostateczną liczbę elementów i wystarczająco dużo czasu, możemy pozwolić grupom na ułożenie kilku lub nawet wszystkich możliwych kombinacji.

Układy, które otrzymamy, mogą być takie jak na ryc. 2–7.

Ćwiczenie 2


Każda grupa opisuje to, co otrzymała, uzupełniając tabelę 1.

  Liczba 
trójkątów
Liczba 
kwadratów
Liczba 
sześciokątów
Liczba 
pięciokątów
Jakie wielokąty są przy każdym z wierzchołków sześciokąta?
Grupa 1 0 0 7 0 2 sześciokąty
Grupa 2 7 0 7 0 2 trójkąty i sześciokąt
Grupa 3 18 0 1 0 4 trójkąty
Grupa 4 3 9 1 0 2 kwadraty i trójkąt
Grupa 5 6 6 1 0 2 kwadraty i trójkąt
Grupa 6 9 0 4 0 2 trójkąty i sześciokąt

 Tab. 1

Ćwiczenie 3


Znajdźmy odpowiedzi na pytania:
1. Czy przy wierzchołku sześciokąta foremnego mogły znaleźć się kwadrat i sześciokąt foremny albo kwadrat i dwa trójkąty równoboczne?
2. Dlaczego w żadnej grupie nie zostały wykorzystane pięciokąty foremne?

Zanim uczniowie znajdą odpowiedź i matematyczne uzasadnienie tego faktu, warto, żeby spróbowali utworzyć kilka takich niemożliwych kombinacji (ryc. 8, 9).

Dlaczego taki dobór figur nie pozwala na połączenie ich w jednej płaszczyźnie?

To dobry moment, aby przypomnieć, w jaki sposób obliczamy miarę kąta w wielokącie foremnym. Wykorzystamy w tym celu program GeoGebra, który umożliwia wykonanie dynamicznej karty pracy (ryc. 10).

Jest to symulacja, która pokazuje, jak zmienia się miara kąta wielokąta foremnego wraz ze zmianą liczby boków i przypomina, skąd bierze się zależność między liczbą boków wielokąta foremnego a miarą jego kąta wewnętrznego. Moi uczniowie, którzy w ramach innowacji mieli dodatkowe zajęcia z GeoGebry, bez trudu wykonali go sami. Tym, którzy dopiero zgłębiają tajniki tego programu, przybliżę, w jaki sposób powstał taki aplet.

Z Widoku Grafiki usuwamy osie i linie siatki. Tworzymy suwak (za pomocą narzędzia o tej samej nazwie), dzięki któremu będziemy mogli zmieniać liczbę boków wielokąta foremnego. Wybieramy liczbę całkowitą n i przedział od 3 do 30.Pierwszą figurą, którą otrzymamy, będzie trójkąt równoboczny, a ostatnią trzydziestokąt foremny. Następnie posługujemy się narzędziem Wielokąt foremny. W Widoku Grafiki zaznaczamy dwa punkty A i B – będą one kolejnymi wierzchołkami wielokąta. Po pojawieniu się okna wpisujemy n jako liczbę boków. W ten sposób powstanie wielokąt foremny o takiej liczbie boków, co wskazuje suwak. Przez trzy kolejne wierzchołki wielokąta A, B, C przeprowadzamy okrąg – korzystając z narzędzia Okrąg przez 3 punkty. Za pomocą narzędzia Środek wyznaczamy środek powstałego okręgu. Ustawiamy suwak na maksymalną wartość (w omawianym przypadku jest to 30) i, korzystając z narzędzia Odcinek, łączymy każdy wierzchołek ze środkiem okręgu. Wybieramy narzędzie Kąt i kreślimy kąt przez punkty A, środek okręgu i B oraz C, B i A – będą to odpowiednio kąt środkowy okręgu (α) i kąt wewnętrzny wielokąta (β). Otwieramy Widok Arkusza. Wpisujemy z klawiatury górny wiersz tabelki (α, β, i º uzyskujemy, wpisując a, b, 0 z prawym Altem). W polach dolnego wiersza wpisujemy odpowiednio: n, 360/n, 180 − 360/n. Pojawią się wartości zgodne z tym, co pokazują suwak i kąty zaznaczone w wielokącie foremnym. Wybieramy obramowanie i kolorowanie, a następnie zaznaczamy wszystkie sześć pól i po przyciśnięciu prawego przycisku myszy wybieramy polecenie Utwórz Tabela. Tabela pokaże się w Widoku Grafiki. Możemy wyłączyć Widok Arkusza. W Widoku Algebry odznaczamy punkty, w Widoku Grafiki ustalamy kolorystykę według własnego uznania. Aplet jest gotowy. Możemy z niego korzystać. Zwykle korzystam tylko z jednego Widoku Grafiki – jeżeli ktoś woli, może umieścić Suwak i tabelkę w Widoku Grafiki 2.

Ryc. 2. Grupa 1

 

 Ryc. 3. Grupa 2

 

 Ryc. 4. Grupa 3

 

 Ryc. 5. Grupa 4

 

 Ryc. 6. Grupa 5

 

 Ryc. 7. Grupa 6

 

  Ryc. 8

 

 Ryc. 9

 

Ryc. 10

 

Ryc. 11

 

Tak przygotowany aplet przypomni uczniom zależność pomiędzy liczbą boków wielokąta foremnego i miarą kąta wewnętrznego. Miary kątów zostały przybliżone do części setnych – nie wpłynie to w sposób znaczący na nasze rozważania.
 

Tab. 2. Wielokąt foremny

Liczba trójkątów Miara kąta w stopniach
3 60
4 90
5 108
6 120
7 128,58
8 135
9 140
10 144
11 147,27
12 150
13 152,31
14 154,29
15 156
16 157,5
17 158,82
18 160
19 167,05
20 162


W Arkuszu Kalkulacyjnym Excela lub Widoku Arkusza w GeoGebrze możemy dodatkowo wykonać tabelę prezentującą miary kątów wielokątów foremnych (tab. 2). Ponieważ moi uczniowie byli zaznajomieni z programem GeoGebra, wykonali tę tabelkę na zajęciach.

Powróćmy zatem do pytania zasadniczego: Dlaczego taki dobór figur nie pozwala na połączenie ich w jednej płaszczyźnie?

Weźmy sześciokąt foremny połączony z kwadratem i pięciokątem foremnym. Miara kąta wewnętrznego sześciokąta foremnego to 120º. A zatem na pozostałe kąty wielokątów foremnych pozostaje nam kwadrat ma 90º, a pięciokąt foremny 108º. Razem daje to 198º, czyli do wykorzystania mamy jeszcze 42º – żaden wielokąt foremny nie ma takiej miary kąta wewnętrznego (ryc. 11). Analogicznie uzasadnimy pozostałe rozważane przypadki.

Ćwiczenie 4


Sprawdź graficznie (aplet GeoGebry) i algebraicznie (wiedząc, że suma miar kątów wewnętrznych wielokątów przy jednym wierzchołku wynosi 360º), jakimi wielokątami foremnymi można wypełnić powierzchnię wokół sześciokąta foremnego.

Wiemy już, że suma kątów wielokątów foremnych znajdujących się wokół jednego wierzchołka sześciokąta foremnego wynosi 240º. Zauważmy, że w jednym wierzchołku sześciokąta można dorysować co najmniej dwa i co najwyżej cztery wielokąty foremne – przy czym, żeby były to cztery wielokąty, muszą to być trójkąty równoboczne (żaden inny wielokąt foremny nie ma mniejszej miary kąta wewnętrznego).

Metodą prób i błędów oraz analizy tabeli z wartościami kątów otrzymamy następujące możliwości:

  • 4 trójkąty równoboczne,
  • 2 trójkąty równoboczne i sześciokąt foremny,
  • 2 kwadraty i trójkąt równoboczny,
  • 2 sześciokąty foremne,
  • kwadrat i dwunastokąt foremny.

 

 Ryc. 12

Dodatkowo przygotowujemy aplet w programie GeoGebra, który będzie pomocny przy wyciąganiu powyższego wniosku. Przedstawia on sześciokąt foremny i wielokąty foremne wokół niego, których liczbę boków możemy zmieniać za pomocą suwaka. Ponadto, jeżeli ustawiona zostanie liczba boków dwóch wielokątów, widoczny będzi...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy