Wokół sześciokąta… i to dosłownie

Na początku zajęć dzielimy uczniów na sześć grup. Każda z grup otrzymuje modele trójkątów, czworokątów, pięciokątów i sześciokątów foremnych o tej samej długości boków. Wykorzystałam klocki Reko System, ale równie dobrze można samemu wykonać modele z kartonu.

Ćwiczenie 1

Każda z grup w centrum umieszcza sześciokąt foremny. Zadanie polega na tym, aby połączyć klocki w taki sposób, aby wokół każdego wierzchołka sześciokąta znajdował się dokładnie taki sam zestaw klocków i aby zapełnić szczelnie powierzchnię wokół każdego z wierzchołków.
 

  Ryc. 1

Jeżeli chcemy zaoszczędzić czas, tak aby już przy pierwszym podejściu każda z grup wykonała inną mozaikę, wystarczy zaingerować w liczbę poszczególnych elementów w grupach, uniemożliwiając wykonanie takich samych układów. Natomiast jeżeli mamy dostateczną liczbę elementów i wystarczająco dużo czasu, możemy pozwolić grupom na ułożenie kilku lub nawet wszystkich możliwych kombinacji.

Układy, które otrzymamy, mogą być takie jak na ryc. 2–7.

Ćwiczenie 2

Każda grupa opisuje to, co otrzymała, uzupełniając tabelę 1.

 Tab. 1

Ćwiczenie 3

Znajdźmy odpowiedzi na pytania:
1. Czy przy wierzchołku sześciokąta foremnego mogły znaleźć się kwadrat i sześciokąt foremny albo kwadrat i dwa trójkąty równoboczne?
2. Dlaczego w żadnej grupie nie zostały wykorzystane pięciokąty foremne?

Zanim uczniowie znajdą odpowiedź i matematyczne uzasadnienie tego faktu, warto, żeby spróbowali utworzyć kilka takich niemożliwych kombinacji (ryc. 8, 9).

Dlaczego taki dobór figur nie pozwala na połączenie ich w jednej płaszczyźnie?

To dobry moment, aby przypomnieć, w jaki sposób obliczamy miarę kąta w wielokącie foremnym. Wykorzystamy w tym celu program GeoGebra, który umożliwia wykonanie dynamicznej karty pracy (ryc. 10).

Jest to symulacja, która pokazuje, jak zmienia się miara kąta wielokąta foremnego wraz ze zmianą liczby boków i przypomina, skąd bierze się zależność między liczbą boków wielokąta foremnego a miarą jego kąta wewnętrznego. Moi uczniowie, którzy w ramach innowacji mieli dodatkowe zajęcia z GeoGebry, bez trudu wykonali go sami. Tym, którzy dopiero zgłębiają tajniki tego programu, przybliżę, w jaki sposób powstał taki aplet.

Z Widoku Grafiki usuwamy osie i linie siatki. Tworzymy suwak (za pomocą narzędzia o tej samej nazwie), dzięki któremu będziemy mogli zmieniać liczbę boków wielokąta foremnego. Wybieramy liczbę całkowitą n i przedział od 3 do 30.Pierwszą figurą, którą otrzymamy, będzie trójkąt równoboczny, a ostatnią trzydziestokąt foremny. Następnie posługujemy się narzędziem Wielokąt foremny. W Widoku Grafiki zaznaczamy dwa punkty A i B – będą one kolejnymi wierzchołkami wielokąta. Po pojawieniu się okna wpisujemy n jako liczbę boków. W ten sposób powstanie wielokąt foremny o takiej liczbie boków, co wskazuje suwak. Przez trzy kolejne wierzchołki wielokąta A, B, C przeprowadzamy okrąg – korzystając z narzędzia Okrąg przez 3 punkty. Za pomocą narzędzia Środek wyznaczamy środek powstałego okręgu. Ustawiamy suwak na maksymalną wartość (w omawianym przypadku jest to 30) i, korzystając z narzędzia Odcinek, łączymy każdy wierzchołek ze środkiem okręgu. Wybieramy narzędzie Kąt i kreślimy kąt przez punkty A, środek okręgu i B oraz C, B i A – będą to odpowiednio kąt środkowy okręgu (α) i kąt wewnętrzny wielokąta (β). Otwieramy Widok Arkusza. Wpisujemy z klawiatury górny wiersz tabelki (α, β, i º uzyskujemy, wpisując a, b, 0 z prawym Altem). W polach dolnego wiersza wpisujemy odpowiednio: n, 360/n, 180 − 360/n. Pojawią się wartości zgodne z tym, co pokazują suwak i kąty zaznaczone w wielokącie foremnym. Wybieramy obramowanie i kolorowanie, a następnie zaznaczamy wszystkie sześć pól i po przyciśnięciu prawego przycisku myszy wybieramy polecenie Utwórz Tabela. Tabela pokaże się w Widoku Grafiki. Możemy wyłączyć Widok Arkusza. W Widoku Algebry odznaczamy punkty, w Widoku Grafiki ustalamy kolorystykę według własnego uznania. Aplet jest gotowy. Możemy z niego korzystać. Zwykle korzystam tylko z jednego Widoku Grafiki – jeżeli ktoś woli, może umieścić Suwak i tabelkę w Widoku Grafiki 2.

Ryc. 2. Grupa 1

 Ryc. 3. Grupa 2

 Ryc. 4. Grupa 3

 Ryc. 5. Grupa 4

 Ryc. 6. Grupa 5

 Ryc. 7. Grupa 6

  Ryc. 8

 Ryc. 9

Ryc. 10

Ryc. 11

Tak przygotowany aplet przypomni uczniom zależność pomiędzy liczbą boków wielokąta foremnego i miarą kąta wewnętrznego. Miary kątów zostały przybliżone do części setnych – nie wpłynie to w sposób znaczący na nasze rozważania.
 

Tab. 2. Wielokąt foremny

W Arkuszu Kalkulacyjnym Excela lub Widoku Arkusza w GeoGebrze możemy dodatkowo wykonać tabelę prezentującą miary kątów wielokątów foremnych (tab. 2). Ponieważ moi uczniowie byli zaznajomieni z programem GeoGebra, wykonali tę tabelkę na zajęciach.

Powróćmy zatem do pytania zasadniczego: Dlaczego taki dobór figur nie pozwala na połączenie ich w jednej płaszczyźnie?

Weźmy sześciokąt foremny połączony z kwadratem i pięciokątem foremnym. Miara kąta wewnętrznego sześciokąta foremnego to 120º. A zatem na pozostałe kąty wielokątów foremnych pozostaje nam kwadrat ma 90º, a pięciokąt foremny 108º. Razem daje to 198º, czyli do wykorzystania mamy jeszcze 42º – żaden wielokąt foremny nie ma takiej miary kąta wewnętrznego (ryc. 11). Analogicznie uzasadnimy pozostałe rozważane przypadki.

Ćwiczenie 4

Sprawdź graficznie (aplet GeoGebry) i algebraicznie (wiedząc, że suma miar kątów wewnętrznych wielokątów przy jednym wierzchołku wynosi 360º), jakimi wielokątami foremnymi można wypełnić powierzchnię wokół sześciokąta foremnego.

Wiemy już, że suma kątów wielokątów foremnych znajdujących się wokół jednego wierzchołka sześciokąta foremnego wynosi 240º. Zauważmy, że w jednym wierzchołku sześciokąta można dorysować co najmniej dwa i co najwyżej cztery wielokąty foremne – przy czym, żeby były to cztery wielokąty, muszą to być trójkąty równoboczne (żaden inny wielokąt foremny nie ma mniejszej miary kąta wewnętrznego).

Metodą prób i błędów oraz analizy tabeli z wartościami kątów otrzymamy następujące możliwości:

• 4 trójkąty równoboczne,
• 2 trójkąty równoboczne i sześciokąt foremny,
• 2 kwadraty i trójkąt równoboczny,
• 2 sześciokąty foremne,
• kwadrat i dwunastokąt foremny.

 Ryc. 12

Dodatkowo przygotowujemy aplet w programie GeoGebra, który będzie pomocny przy wyciąganiu powyższego wniosku. Przedstawia on sześciokąt foremny i wielokąty foremne wokół niego, których liczbę boków możemy zmieniać za pomocą suwaka. Ponadto, jeżeli ustawiona zostanie liczba boków dwóch wielokątów, widoczny będzie kąt, który pozostał do wypełnienia – porównując go z kątami wielokątów foremnych, można ocenić, czy zmieści się trzeci wielokąt foremny (ryc. 12).

Ryc. 13

Jak powstaje taki aplet?

Za pomocą narzędzia Wielokąt foremny rysujemy sześciokąt foremny, wpisując liczbę boków 6. Korzystając z narzędzia Suwak, wstawiamy trzy suwaki (podobnie jak w poprzednim przypadku będą to liczby całkowite), wartości dwóch pierwszych suwaków zaczynamy od 3, ostatni od 2 (trzeciego wielokąta może w ogóle nie być, przy wartości 2 nie pojawi się w Widoku Grafiki). Przez jeden z boków sześciokąta (może to być AB) rysujemy wielokąt foremny, wpisując liczbę boków taką jak oznaczenie pierwszego suwaka (u mnie to było m).

Jeśli nie poruszaliśmy suwakiem, powinien pojawić się trójkąt równoboczny. Jeżeli nie pojawi się on na zewnątrz, tylko wewnątrz sześciokąta, należy cofnąć operację i wziąć wierzchołki A, B w odwrotnej kolejności. Poruszając suwakiem, otrzymamy wielokąty foremne o większej liczbie boków. Zauważmy, że oprócz A i B jest jeszcze druga para wierzchołków, która przy zmianie liczby boków nadal ze sobą sąsiaduje (u mnie to było A i G) – na boku o końcach A i G (zaczynając od wierzchołka G, który nie jest wspólny z sześciokątem) budujemy kolejny wielokąt foremny o liczbie boków l. Analogicznie na boku ostatniego wielokąta budujemy wielokąt foremny o n bokach (przy suwaku ustawionym na wartości 2 będzie on niewidoczny). Zmieniając wartości na suwakach, otrzymamy już pożądany efekt – będziemy wypełniać powierzchnię wokół wierzchołka sześciokąta i widzieć, czy dane wielokąty się tam zmieszczą. Za pomocą narzędzia Kąt zaznaczamy kąt, który pozostaje do wypełnienia po ustaleniu dwóch pierwszych wielokątów i trzecim niewidocznym (n = 2). Zaznaczamy trzy sąsiadujące punkty: wierzchołek sześciokąta (u mnie było to F), wspólny wierzchołek wszystkich wielokątów (u mnie to było A) i wierzchołek drugiego wielokąta foremnego ustalonego przez suwak (u mnie to było D1) w podanej kolejności. Otrzymamy następujący widok (ryc. 13).

Teraz popracujemy nad estetyką. Za pomocą polecenia Pokaż obiekt (bądź też odznaczenia w Widoku Algebry) usuwamy z Widoku Grafiki krawędzie i wierzchołki wielokątów, a także (za pomocą Pokaż etykietę) nazwy wielokątów oraz zmieniamy kolorystykę figur i suwaków. Dodajemy (za pomocą Wstaw tekst) tytuł i opisy suwaków. Aplet jest gotowy.

Ćwiczenie 5
(do wykonania przez uczniów lub nauczyciela)

Wykonaj aplet w GeoGebrze, pokazujący wypełnienie powierzchni wokół sześciokąta foremnego przez kwadrat i dwunastokąt foremny (ryc. 14).

Punkt, w którym spotykają się wierzchołki wielokątów, nazywamy wierzchołkiem. Typy wierzchołków otrzymujemy poprzez podanie liczby boków każdego z wielokątów w danym wierzchołku. Ustalmy, że zaczniemy od wielokąta o najmniejszej liczbie boków, obok którego znajduje się wielokąt o mniejszej liczbie boków. Kolejność liczb odczytujemy zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

Ćwiczenie 6

Każda z grup uzupełnia swoje układy o klocki tak, aby wypełnić szczelnie powierzchnię, a następnie odpowiada na pytanie: czy da się utworzyć konstrukcję tak, aby wokół każdego wierzchołka występowały te same układy wielokątów? Jakie typy wierzchołków możemy otrzymać?

Można też wykonać grafiki w programie GeoGebra lub innym.

Grupa 1 – w każdym wierzchołku są trzy sześciokąty foremne. Typ wierzchołka (6, 6, 6) (ryc. 15).

Grupa 2 – w każdym wierzchołku znajdują się dwa trójkąty i dwa sześciokąty występujące na przemian. Typ wierzchołka (3, 6, 3, 6) (ryc. 16).

Grupa 3 – w każdym wierzchołu są 4 trójkąty równoboczne i sześciokąt w takiej samej kolejności. Typ wierzchołka (3, 3, 3, 3, 6) (ryc. 17).

Grupa 4 – zanim dołożymy jakiekolwiek klocki, widzimy, że mamy dwie kolejności figur: w niektórych wierzchołkach mamy trójkąt równoboczny, dwa kwadraty i sześciokąt foremny, w pozostałych trójkąt, sześciokąt i dwa kwadraty. Pomiędzy kwadraty należy wstawić sześciokąt foremny lub dwa trójkąty równoboczne (do wypełnienia pozostaje nam kąt 120 – żadna inna kombinacja wielokątów foremnych nie daje nam takiej sumy kątów). W ten sposób uzyskamy dwa nowe typy wierzchołków. Możemy więc mieć 4 typy wierzchołków: (3, 4, 4, 6), (3, 6, 4, 4), (3, 4, 6, 4), (3, 3, 4, 3, 4) (ryc. 18).

Grupa 5 – można zbudować konstrukcję, w której w każdym wierzchołku są kolejno trójkąt, kwadrat, sześciokąt i kwadrat. A zatem wierzchołki są typu (3, 4, 6, 4) (ryc. 19).

Grupa 6 – początkowo każdy wierzchołek sześciokąta jest typu (3, 3, 6, 6). Bez trudu zauważymy jednak, że nie otrzymamy takiego typu, chociażby uzupełniając wierzchołek na styku trzech trójkątów. W zależności od inwencji uczniów i zakładając, że uzupełniamy jedynie wielokątami, które już mamy (trójkątami równobocznymi i sześciokątami foremnymi), możemy otrzymać wierzchołki typu (6, 6, 6), (3, 3, 3, 3, 6), (3, 3, 3, 3, 3, 3), (3, 6, 3, 6) (ryc. 20).

Podsumowując – w przypadku układu z grup 1, 2, 3 i 5 możemy otrzymać konstrukcję, w której każdy wierzchołek jest tego samego typu, w przypadku grup 4 i 6 jest to niemożliwe.

Takie wypełnienie powierzchni nazywamy parkietażami. W zależności od tego, czy wszystkie wierzchołki są tego samego typu, czy też nie, dokonujemy klasyfikacji parkietaży… 
ale to już temat na kolejne zajęcia.
 

 Ryc. 14

 Ryc. 15

 Ryc. 16

 Ryc. 17

 Ryc. 18

 Ryc. 19

 Ryc. 20