Modelowanie matematyczne (cz. 1)

O modelowaniu matematycznym rzadko mówi się w polskiej szkole i mało kto z nauczycieli wie, o co tu chodzi. Tymczasem na świecie w różnych ośrodkach zajmujących się badaniami dydaktyki nauczania matematyki naukowcy i nauczyciele starają się na różne sposoby połączyć matematykę szkolną z otaczającą nas rzeczywistością oraz pokazać, jak proste elementy matematyki – funkcje liniowe, kwadratowe, ciągi i inne – mogą być użyte do badania otaczającego nas świata. Przoduje w tych badaniach National Institute of Education w Singapurze. Ich badania w wybranych szkołach Singapuru pokazują, jak bardzo modelowanie matematyczne jest istotne w nowoczesnym nauczaniu nie tylko matematyki.
Profesor Arnold Neumaier z Uniwersytetu w Wiedniu określa modelowanie matematyczne jako sztukę tłumaczenia problemów z danej aplikacji do formy matematycznej w celu uzyskania odpowiedzi na nurtujące nas pytania odnoszące się do tej aplikacji. O tej to sztuce będziemy dyskutować i pokazywać, jak można ją wykorzystać w szkole na lekcji matematyki.

CO TO JEST MODEL MATEMATYCZNY?

Proces modelowania matematycznego składa się z kilku etapów:

1. Analizy wstępnej i budowy modelu matematycznego: zbadanie danej sytuacji i określenie, z jakim rodzajami danych mamy do czynienia, jakich zmiennych będziemy używać oraz jakie związki, czyli relacje i funkcje, zachodzą pomiędzy naszymi danymi. O ile to możliwe, na tym etapie musimy zdefiniować cały aparat matematyczny możliwy do zastosowania w danej sytuacji.
2. Matematycznej analizy problemu: rozwiązanie odpowiednich równań, zastosowanie odpowiedniego aparatu matematycznego, manipulacja danymi wejściowymi itp.
3. Oceny: porównanie otrzymanych wyników z naszymi hipotezami i oczekiwaniami, analiza, co się stanie, jeśli niektóre z danych wejściowych ulegną zmianie.
4. Ewentualnego powrotu na początek procesu modelowania, jeśli uznamy, że nie otrzymaliśmy wyników, które nas satysfakcjonują, lub chcemy sprawdzić inne możliwości sformułowania danych wejściowych i użytego aparatu matematycznego. Tak zdefiniowany proces modelowania może być powtarzany wielokrotnie, aż do otrzymania zadowalających nas wyników albo rozstrzygnięcia, czy warto dalej operować na danym modelu.

NARZĘDZIA

Na różnych poziomach zastosowań możemy używać różnych narzędzi wspomagających modelowanie matematyczne. Do naszych szkolnych celów wystarczy dowolna wersja programu Excel. Jeśli nie mamy Excela, to wystarczy dowolny inny arkusz kalkulacyjny, np. ten z Open Office (//www.openoffice.org/) lub aplikacja Google Docs, którą znajdziemy pod adresem //docs.google.com/spreadsheets/.
Niewiele mamy programów komputerowych tak bardzo użytecznych i tak mało docenianych przez nauczycieli matematyki jak Excel. Mamy go prawie na każdym komputerze, jest zawsze dostępny do użycia, a stosujemy go niezmiernie rzadko lub wcale.
Jednym z celów tego tekstu jest pokazanie, jak Excel może być wykorzystany w modelowaniu matematycznym w szkole lub na uczelni wyższej i do jakich problemów możemy go stosować. Tekst ten nie jest przewodnikiem po Excelu czy samouczkiem Excela. Nie pokazuję tu, jak używać programu. Pokazuję natomiast, jaką matematykę możemy w nim uprawiać i jak z jej pomocą modelować różne zjawiska, gdzie możemy operować na danych liczbowych.
Innym, niejako ubocznym celem tego tekstu jest pokazanie pewnych zagadnień matematyki stosowanej, które zyskują w zachodnich szkołach dużą popularność jako tzw. quantitative reasoning, czyli umiejętność wnioskowania ilościowego. W wielu szkołach na średnim poziomie, gdzie uczniowie są bardzo słabi lub ze względu na ich specjalność nie potrzebują tradycyjnej matematyki, wnioskowanie ilościowe uważa się za najbardziej niezbędny i bardzo praktyczny kawałek matematyki, którą uczeń powinien opanować. 

SŁÓW KILKA O EXCELU

Excel jest narzędziem o dość wyrafinowanej i zarazem przedziwnej koncepcji. Mamy tu kolumny i wiersze komórek, z których każda może służyć do przechowania liczb, wzorów lub po prostu tekstu. Jeśli komórka zawiera wzór, to to, co widzimy na ekranie, nie jest wzorem, ale wartością tego wzoru obliczoną dla aktualnych wartości jego składników. Tu warto zwrócić uwagę na to, że w Excelu mamy zawsze do czynienia z obliczeniami na liczbach, a nigdy z operacjami symbolicznymi.
Każda z komórek w Excelu ma swój adres jak na gigantycznej szachownicy, np. A7, B34, HH1245, co oznacza odpowiednio komórkę w kolumnie A i 7 wierszu, komórkę w kolumnie B i wierszu o numerze 34 oraz komórkę w kolumnie HH i wierszu 1245. Adresy komórek mogą być używane we wzorach, np. w komórce A1 możemy mieć wzór =(A2+B3)*D4, co oznacza dodaj zawartość komórek A2 i B3, a otrzymany wynik mamy pomnożyć przez to, co jest w komórce D4. Wynik otrzymany z użyciem tego wzoru będzie pokazany w komórce A1, czyli tam, gdzie jest nasz wzór. Jeśli takowy wynik nie istnieje, gdyż np. zawartość jednej z komórek jest tekstem, to pokazane zostanie wyrażenie #ARG!, sugerujące, że coś nie dało się policzyć. Domyślamy się już, że komórki, do których odnosi się nasz wzór w A1, mogą zawierać odniesienia do innych komórek, tamte do jeszcze dalszych itd. Odniesienia często nazywa się referencjami. W ten sposób mogą się tworzyć nawet bardzo długie łańcuchy odniesień. Istotne jest jednak to, że za każdym razem, gdy zmienimy wartość lub wzór w jednej z komórek takiego łańcucha, to Excel przelicza zawartość wszystkich komórek, aby uwzględnić poczynione zmiany. Ta bardzo interesująca własność pozwala na prowadzenie interaktywnych eksperymentów, co za chwilę zobaczymy w dalszych częściach tego artykułu.
Drugą niezwykle ważną cechą Excela jest to, w jaki sposób program wykonuje kopiowanie zawartości jednej komórki do innej. Jeśli kopiowana komórka zawiera odniesienia do innych komórek, to Excel nie zachowuje adresów tych komórek, a zamiast tego zachowuje kierunki i odległości. Przypuśćmy dla przykładu, że nasz wzór zawierał odniesienie do komórki znajdującej się o dwa rzędy powyżej i trzy kolumny w lewo. Po skopiowaniu takiego wzoru na inne miejsce ten sam wzór w nowym miejscu będzie odwoływał się dalej do komórki znajdującej się o dwa rzędy powyżej i trzy kolumny w lewo względem nowego miejsca. Przykładowo wzór =A23+A17 po przeniesieniu go o dwa rzędy w dół i dwie kolumny w prawo będzie miał następującą postać: =C25+C19. Ta ważna własność pozwala utworzyć wzór i potem go skopiować w inne miejsca, ale tak, aby cały czas zachowywał relacje z otoczeniem. Dla przykładu, jeśli nasz wzór jest sumą liczb z jakiejś kolumny tabeli, to skopiowanie go do sąsiednich komórek utworzy wzory sumujące inne kolumny tej samej tabeli.

STAŁE I ZMIENNE W EXCELU

We wzorach tworzonych w Excelu możemy mówić o dwóch typach podstawowych składników: stałe i zmienne. Stała jest niczym innym jak odwołaniem do komórki posiadającej własną nazwę lub wtedy, gdy odwołujemy się z użyciem znaku $, np. $A$23. Każde odwołanie do innej komórki bez użycia znaku $ tworzy zmienną. Możemy również mówić o zmiennych częściowo ograniczonych, czyli sytuacjach, kiedy używany tylko jednego znaku $, np. $A23 lub A$23. Co to wszystko znaczy? Wzór zawierający odniesienie z podwójnym znakiem $ zachowa to odniesienie, bez względu na to, gdzie go skopiujemy. Dla przykładu wzory =3*x+2*y lub =3*$A$2+2*$C$5 pozostaną tymi samymi wzorami po skopiowaniu. Tu „x” i „y” są nazwami odpowiednich komórek.
Natomiast wzór bez użycia nazw lub niezawierający odwołania z podwójnym $ zmieni odwołania tak, aby zachować relacje z otoczeniem, czyli zachowa kierunki i odległości. Odwołania z jednym znakiem $ są zmiennymi o ograniczonej swobodzie.
Oto kilka przykładów:

• =A1+B1 – w tym przypadku A1 i B1 są zmiennymi, po przeniesieniu tego wzoru do innej komórki A1 i B1 zostaną zastąpione przez adresy innych komórek,
• =x+A1 – w tym przypadku x jest stałą, a A1 zmienną, natomiast x zawsze będzie przyjmować wartości z komórki o nazwie x,
• =$A1+B$1 – w tym przypadku $A1 jest zmienną, która może przyjmować dowolne odwołania w zakresie kolumny A, natomiast B$1 może przyjmować odwołania do komórek znajdujących się w rzędzie o numerze 1.

Rycina 1 pokazuje, jak to wygląda w praktyce. Pokazano tu trzy wzory zdefiniowane z użyciem stałych i zmiennych oraz ich kopie w dwóch różnych miejscach – obok z prawej strony i poniżej. W ten sposób możemy sprawdzić, jak się zachowują stałe i zmienne o ograniczonej swobodzie. Na tymże rysunku komórka C1 została nazwana jako „x”. To do niej kierują się wszystkie odwołania zawierające tę nazwę, np. =x+A1.

MODELUJEMY CIĄGI I FUNKCJE

Zanim zajmiemy się rzeczami, które zostały zapowiedziane we wstępie, przyjrzyjmy się jeszcze przez chwilę koncepcji ciągów i funkcji w Excelu. Na początek zauważmy, że będziemy rozróżniać pomiędzy obiektami matematycznymi, takimi jak ciągi czy funkcje, i ich implementacjami w Excelu. To, co reprezentuje obiekt matematyczny w Excelu, nazywać będziemy modelem danego obiektu. A więc będziemy mówić o modelu ciągu czy funkcji. Dlaczego tak jest, zaraz zobaczymy na przykładach.

Przykład 1
Model zarobków i wydatków rodzinnych
W rodzinie Jasia Malutkiego rodzice analizują ich roczne zarobki, wydatki oraz oszczędności. Po wpisaniu danych z każdego miesiąca otrzymali następujący model swoich przychodów i rozchodów (ryc. 2 i ryc. 3).

Na rycinie 2 mamy dwie rzeczy – dane i obliczenia dotyczące tych danych. Dane to miesięczne zarobki, czyli przychody rodziny Jasia Malutkiego, natomiast wydatki to rozchody rodziny. Mamy również wyliczone miesięczne oszczędności. Zauważmy, że tak zrobiony model nie pokazuje poprawnie miesięcznych zasobów finansowych rodziny. Kolumna oszczędności nie uwzględnia oszczędności z poprzedniego miesiąca. W tym celu powinniśmy zmodyfikować wzory w tej kolumnie. Zauważmy, że w poprawionym modelu oszczędności z poprzedniego miesiąca przechodzą na kolejny miesiąc (ryc. 4).

Mamy więc comiesięczną realną sytuację finansową rodziny. Czy efekt jest taki sam jak w poprzednim modelu? Sprawdźmy to teraz. Z ryciny 5 wnioskujemy, że rodzina Jasia musiała gdzieś pożyczyć pieniądze, aby opłacić niezbędne wydatki w maju. W następnych miesiącach ten dług maleje i na koniec roku mamy
te same oszczędności, jak w poprzednim modelu. Ten przykład pokazuje, że nawet tak prosty model może mieć wiele wersji i ulepszeń obejmujących liczne dodatkowe opcje. Tu zabrakło choćby informacji o dodatkowej pożyczce i sposobach jej spłacania. Możemy również podzielić wydatki na poszczególne kategorie – elektryczność, woda, gaz itp. W ten sposób będziemy mieli więcej wglądu w sytuację i możemy przeprowadzić analizę – co by było, gdyby.

Przykład 2
Modele ciągów i funkcji
Ciągi i funkcje są podstawowymi elementami naszego życia ekonomicznego. Pensje i wydatki są niczym innym jak ciągami, których argumenty to poszczególne jednostki czasu, a wartości to pieniądze zarabiane lub wydawane.
Zauważmy, że ponieważ Excel zawsze operuje na wartościach liczbowych dyskretnych, to funkcja w Excelu jest reprezentowana przez dyskretny ciąg swoich wartości dla wybranych elementów z dziedziny funkcji. W ten sposób modele funkcji w Excelu będą bardzo podobne do modeli ciągów. Jedyna subtelna różnica
może polegać na tym, że modele ciągów będą zawsze używały jako argumentów liczb całkowitych, podczas gdy modele funkcji mogą używać jako argumentów dowolnych liczb wymiernych przedstawionych w postaci dziesiętnej. Rycina 6 pokazuje przykład modelu ciągu a n n = 2oraz funkcji y = sin2x+cos3x w Excelu. Natomiast na rycinie 7 pokazano wzory użyte do stworzenia tych modeli.

Możemy również zrobić wykres dla obu modeli. Zrobienie takiego wykresu w obu przypadkach jest identyczną procedurą. Rycina 8 przedstawia wykres ciągu. Ze względu na to, że wyrazy ciągu szybko osiągają duże wartości, wykres został ograniczony do przedziału 0 ≤ n ≤ 10. O modelowaniu ciągów i funkcji w Excelu można powiedzieć dużo więcej i zrobimy to za chwilę, ale na konkretnych zastosowaniach.

ZARABIAMY I WYDAJEMY

Zacznijmy na początek od prostego przykładu.

Przykład 3
Pewnego dnia Jaś Malutki, uczeń szkoły podstawowej, zastanawiał się, jak zdobyć pieniądze na smakołyki. Zauważył w klasie, że różni uczniowie używają zakładek do książek. Mama poradziła Jasiowi, aby zaczął robić takie zakładki i sprzedawać je w klasie. W ten sposób Jaś mógłby zarobić na łakocie. Tu pojawił
się jednak problem – czy takie zakładki to rzeczywiście dobry interes? Jak to sprawdzić?
Jaś wziął się systematycznie do analizy przedsięwzięcia. Oczywiście, robił to w Excelu, bo tam są takie wygodne kratki.
Mamy na początek wydatki, tzw. koszty stałe:

• Nożyczki: 6 zł,
• Kredki do malowania zakładek: 12 zł.

Dalej następują koszty zmienne:

• Karton na wyprodukowanie 10 zakładek: 0,8 zł.

Dalej następuje to, co dobre, czyli zyski:

• Sprzedaż 10 zakładek: 5 zł.

A teraz pojawia się najważniejsze pytanie – od jakiego momentu Jaś zacznie rzeczywiście zarabiać? W tym celu Jaś stworzył dwa wzory:

• wzór funkcji kosztów: y1 = koszty stałe + koszty zmienne = (6 + 12) + 0,8n, gdzie n jest liczbą wykonanych zakładek liczonych w dziesiątkach,
• wzór funkcji przychodu: y2 = 5n, gdzie n jest liczbą wykonanych zakładek liczonych w dziesiątkach.

Różnica y2 − y1 to tzw. funkcja strat i zysku. Teraz wystarczy zrobić wykres i zobaczyć, jak wyglądają obie funkcje. 

Teraz Jaś wiedział już, że po wykonaniu około 40 zakładek przychody będą większe niż wydatki i zacznie się zarabianie pieniędzy. No dobrze, a dokładnie, kiedy? A ile trzeba zrobić zakładek, aby została kwota 5,5 zł potrzebna na lody? Tu Jaś poszperał w Excelu i znalazł dość ciekawe narzędzie – „Szukaj wyniku” (szukaj w menu Dane i dalej Analiza Warunkowa). Należało gdzieś na boku utworzyć sobie pomocniczy warsztat i zastosować to narzędzie. Wynik pokazuje, że po wykonaniu 43 (4,29*10) zakładek wytwarzanie zakładek zacznie przynosić zysk. Wartość x = 43 to jest tzw. próg rentowności. Od tego miejsca przychody przewyższają straty. Po wykonaniu 56 zakładek jego zysk będzie już 5,5 zł. No a dalej już same przyjemności.

KOMENTARZ

Zauważmy, ilu rzeczy uczniowie nauczą się z tak prostego przykładu. Mamy tu umiejętności zarówno natury ekonomicznej – poznajemy, co to są koszty stałe, koszty zmienne, funkcja kosztów, funkcja przychodów i funkcja zysku. Poznajemy również bardzo istotne pojęcie ekonomiczne, tzw. punkt rentowności, czyli punkt,
w którym zaczyna się rzeczywisty zysk.
Z umiejętności matematycznych uczniowie dowiedzą się, jak zbudować model funkcji w Excelu oraz jak znaleźć punkt przecięcia się dwóch takich funkcji.
Do tego dochodzą jeszcze umiejętności innej natury – model utworzony w Excelu, w zależności od tego, jak zostanie skonstruowany, może posłużyć do wielu ciekawych eksperymentów. W naszym przykładzie Jaś może sprawdzić, co się stanie, gdy uda mu się kupić tańsze nożyczki, lepszy, ale droższy karton czy kredki
innej firmy. Każda taka zmiana w modelu pokaże, co się stanie z obiema funkcjami, gdzie przetną się w nowych warunkach. Tylko obliczenia wykonane za pomocą narzędzia „Szukaj wyniku” trzeba będzie powtórzyć, bo Excel nie przeliczy ich ponownie.
Z dydaktycznego punktu widzenia możemy zaobserwować funkcjonowanie zasady białej i czarnej skrzynki, tym razem nawet w różnych odcieniach. To, co się dzieje w Excelu, gdy tworzymy funkcje i eksperymentujemy z nimi, jest bardzo przezroczystą skrzynką – możemy obserwować mechanizmy działania procesów obliczeniowych. Gdybyśmy tu zastosowali zwykłe matematyczne rozwiązanie równania (6+12)+0,5n= 5n, to otrzymamy znacznie mniej przezroczystą skrzynkę niż model w Excelu. Wreszcie to, co zrobi dla nas narzędzie „Szukaj wyniku”, jest już typową czarną skrzynką, ale w tej sytuacji raczej nie ma lepszego rozwiązania, jeśli nie chcemy wyjść z obliczeniami poza Excel. Tu zdecydowanie warto zaznaczyć, że z dydaktycznego punktu widzenia Excel jest znacznie mniej kłopotliwy dla nauczyciela w użyciu niż np. dowolny CAS. Tam większość poleceń to typowe czarne skrzynki i nauczyciel musi się nieźle napracować, aby proces nauczania nie stracił na wartości.

Bibliografia:

1. Keng ChengA., Mathematical Modeling in the Secondary and Junior College Classroom, Prentice Hall, Pearson Education South Asia, Singapur 2009.
2. Neumaier A., Mathematical Modeling, //www.mat.univie.ac.at/»- neum/, 2003.
3. Sevilla A., Somers K., Quantitative Reasoning – tools for today’s informed citizen, Key College Publishing, Emerville 2007.
4. Tomastik E.C., Epstein J.L., Applied Finite Mathematics, Brooks/Cole, CENGAGE Learning, USA, 2008.