Dołącz do czytelników
Brak wyników

Koło matematyczne

12 września 2019

NR 40 (Wrzesień 2019)

O przejmowaniu liścików przez nauczycieli, czyli zajęcia dodatkowe z matematyki z elementami kryptografii

0 31

Matematyka jest przedmiotem trudnym. Części uczniom kojarzy się wyłącznie z wykonywaniem setek nieprzydatnych w życiu obliczeń. Dlatego też bardzo ważne jest, aby pokazać uczniom, w jaki sposób matematykę wykorzystuje się w życiu codziennym.

Inspiracją do poprowadzenia przeze mnie zajęć, podczas których pokazałam uczniom gimnazjum zastosowanie matematyki w kryptografii, były wiadomość ukryta na karteczce przekazywanej przez uczniów, a przechwyconej przeze mnie na lekcji matematyki, oraz praca licencjacka mojego studenta, zatytułowana „Elementy algebry i teorii liczb w szyfrowaniu”.
Poniżej przedstawię dwie najprostsze pod względem algorytmicznym techniki szyfrowania, które z powodzeniem można wykorzystać na zajęciach dodatkowych w najstarszych klasach szkoły podstawowej. Przy omawianiu niniejszych zagadnień utrwalona zostanie wiedza dotycząca dzielenia z resztą i liczb pierwszych, a także poszerzone zostaną umiejętności kryptograficzne, które przyprawią o ból głowy niejednego nauczyciela czy rodzica przechwytującego korespondencję swoich podopiecznych.
Metody mające na celu utajnienie tekstu znane były już w starożytności. Juliusz Cezar w I w. p.n.e. do szyfrowania swoich rozkazów, zabezpieczając je przed przejęciem przez wroga, stosował szyfr polegający na zamianie liter – dzięki temu tekst wydawał się pozbawiony sensu. Nie była to, oczywiście, przypadkowa zamiana – polegała na zastąpieniu każdej litery w tekście literą, która znajduje się trzy pozycje dalej. Jeżeli zastosujemy klasyczny alfabet składający się z 26 liter, od A do Z, to np. A zostanie zastąpione przez D, E przez H itd. Do dzisiejszego dnia szyfr oparty na powyższym algorytmie nazywany jest szyfrem Cezara.
 

Ćwiczenie 1

Zaszyfruj podany tekst, stosując szyfr Cezara dla klasycznego
alfabetu składającego się z 26 liter:

  1. ALA MA KOTA,
  2. MATEMATYKA JEST CIEKAWA


Oczywiście, możemy zastosować inny klucz i przesunąć litery o inną liczbę miejsc do przodu lub do tyłu. Taki szyfr nazywamy szyfrem podstawieniowym. Aby odszyfrować podaną wiadomość, wystarczy zastosować klucz deszyfrujący, który polega na przesunięciu liter w przeciwnym kierunku o tyle samo znaków, co w kluczu szyfrującym.
 

Ćwiczenie 2

Odczytaj podany tekst, wiedząc, że zastosowane zostało
przesunięcie w alfabecie składającym się z 26 znaków:
a) o 5 liter do przodu:
                 IENXNFO OJXY BYTWJP,
b) o 4 litery do tyłu:
                 FZNOZM NKMTOIT.


Liczenie liter nie jest zajęciem zbyt trudnym, jednakże dość uciążliwym. Co więcej, w takiej postaci zastosowanie matematyki wydaje się być raczej symboliczne. Aby odszyfrowywanie przebiegało sprawniej, a Czytelnik przekonał się o wkładzie matematyki w omawiane zagadnienie, zastąpmy litery liczbami.
Zastosujmy klasyczny alfabet składający się z 26 znaków i zacznijmy numerowanie liter od 0 (Tab. 1).
Weźmy słowo MATEMATYKA. Zaszyfrujmy je szyfrem podstawieniowym o kluczu 7. Pierwotnie mamy więc ciąg liczb 12 0 19 4 12 0 19 24 10 0. Jeżeli do każdej liczby dodamy 7, otrzymamy ciąg 19 7 26 11 19 7 26 31 17 7. Nie wszystkie z podanych liczb mają swoje odpowiedniki w literach. Ponieważ zastosowaliśmy alfabet składający się z 26 znaków, wystarczy wziąć resztę z dzielenia podanych liczb przez 26. Ostatecznie otrzymujemy więc: 19 7 0 11 19 7 0 5 17 7. Co odpowiada zaszyfrowanemu ciągowi liter THALTHAFRH.
Oczywiście, liczba 7 może zostać zastąpiona praktycznie każdą liczbą całkowitą (choć po kilku próbach łatwo zorientujemy się, że przesunięcia powtarzają się cyklicznie co 26 i tak naprawdę mamy 25 różnych przesunięć, które dadzą nam tekst inny od utajnionego). Liczba 26 jest tu również symboliczna, bo może być zastąpiona inną w zależności od wyboru alfabetu, a także uwzględnienia (bądź nie) spacji, znaków specjalnych i interpunkcyjnych. Dla odczytania informacji ważne jest to, aby osoba, do której trafia wiadomość, wiedziała, jakim alfabetem się posługujemy i jaki jest klucz.
 

Ćwiczenie 3

Alfabet polski składa się z 32 znaków. Stwórz tabelę przypisującą poszczególnym literom liczby od 0 do 31 i zaszyfruj zdanie MATEMATYKA JEST KRÓLOWĄ NAUK, stosując szyfr podstawieniowy o kluczu 27.


Tab. 1

 

Ryc. 1. Częstość występowania liter w języku polskim – według IPI PAN


Odkąd zaczęto szyfrować rozkazy wojskowe, ambicją wroga było przechwycenie wiadomości i złamanie szyfru zastosowanego przez przeciwnika. Naukę, która zajmuje się przełamywaniem szyfrów bez znajomości klucza deszyfrującego, nazywamy kryptoanalizą. Pierwsze informacje o złamaniu szyfru Cezara pochodzą z IX w. od arabskiego matematyka o imieniu Al-Kindi.
Z pomocą kryptoanalizie przychodzą statystyka i rachunek prawdopodobieństwa oraz własności języka, którym posługuje się osoba pisząca wiadomość. Jeżeli przeanalizujemy słowotwórstwo danego języka, to możemy wyciągnąć wnioski co do tego, które litery alfabetu występują najczęściej. Każdy język ma swój własny, przypisany tylko jemu, rozkład częstości występowania poszczególnych liter – taki swoisty odcisk palca danego języka.
Według IPI PAN, częstość występowania liter w języku polskim jest taka, jak na rycinie 1.
Pozwala to przypuszczać, że w losowo wybranym tekście napisanym w języku polskim najczęściej występującą literą będzie a. Oczywiście, pamiętajmy, iż jest to jedynie rachunek prawdopodobieństwa, a im krótszy tekst, tym mniej dokładnie dane statystyczne mogą go dotyczyć. Niemniej jednak analiza częstości występowania liter pozwala nam na ograniczenie liczby prób deszyfrujących dany tekst.
Weźmy tekst, o którym wiemy, że został napisany w języku polskim, wraz ze znakami zapożyczonymi (V, X, Q). Mamy wówczas 35 znaków (Tab. 2).

Spróbujemy odgadnąć klucz szyfrujący do zdania JV IDSV LV LVŚĄ. Na wejściu mamy 34 możliwości. Zauważmy, że w tekście najczęściej pojawia się litera V. W języku polskim najczęstszą lit...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy