Sto lat, sto lat…

Obecne lata, te bezpośrednio przed i bezpośrednio po roku 2018, sprzyjają pojawianiu się takich rocznic. Niewątpliwie najważniejszą z nich było ubiegłoroczne stulecie odzyskania niepodległości przez nasze państwo. Z kolei w roku obecnym obchodzimy stulecie powstania Towarzystwa Matematycznego w Krakowie, bezpośredniego poprzednika Polskiego Towarzystwa Matematycznego. Ta rocznica okazała się być na tyle istotna, że Senat RP ogłosił rok 2019 „Rokiem Matematyki”2. Ponadto, tak się złożyło, że również sto lat temu urodził się jeden z naszych kolegów, dobrze znany w środowisku nauczycieli matematyki, ich nauczyciel – prof. Bolesław Gleichgewicht. To jemu przede wszystkim chciałbym poświęcić niniejszy artykuł. Przede wszystkim, ale nie tylko…

Oczywiście, nie miejsce tu na opisywanie (po raz kolejny) historii PTM-u czy też historii matematyki polskiej po roku 1918 w ogóle. Takie opisy można znaleźć gdzie indziej, np. w dwóch znanych książkach poświęconych tym zagadnieniom, które ukazały się w latach siedemdziesiątych XX w. przy okazji 50-lecia PTM-u3, 4. Poza tym bieżące artykuły okolicznościowe niewątpliwie (będzie) można znaleźć w oficjalnym czasopiśmie Towarzystwa, tzn. w „Wiadomościach Matematycznych”.

Z drugiej strony, „Matematyka” jest całkiem właściwym miejscem do uhonorowania jubileuszu Towarzystwa, gdyż należy pamiętać, że nasze czasopismo zostało powołane do życia w 1948 r. przez PTM właśnie5, jako drugie z kolei (po „Annales de la Société Polonaise de Mathématique”) czasopismo Towarzystwa i było prowadzone i wydawane przez PTM (początkowo z podtytułem „Czasopismo dla nauczycieli Polskiego Towarzystwa Matematycznego wydawane na zlecenie Ministerstwa Oświaty”) do roku 1953, kiedy to „Matematyka” została przejęta przez Ministerstwo Oświaty6. Nawet pobieżna lektura indeksów wczesnych numerów „Matematyki” pokazuje, że związki „Matematyki” z PTM-em nie były wcale fasadowe. Wśród autorów tekstów artykułów (i zadań) znajdujemy liczne grono czołowych (i wybitnych) matematyków 

polskich, członków Towarzystwa, np. S. Hartmana, B. Knastera, J. Mikusińskiego, J. Mycielskiego, W. Sierpińskiego, H. Steinhausa, A. Schinzla, A. Tarskiego czy K. Zarankiewicza (zbiorczy indeks autorów za lata 1948–1957 można znaleźć w 11. roczniku „Matematyki” z 1958 r. Niestety, później „Matematyka” publikowała już tylko indywidualne indeksy do poszczególnych roczników, rezygnując, jak się zdaje, ze zbiorczych indeksów).
Od pewnego momentu wśród autorów tych pojawia się również drugi jubilat (pierwszym jest PTM), tzn. prof. B. Gleichgewicht. I rzeczywiście, jakkolwiek nie znajdziemy żadnego tekstu jego autorstwa w pierwszych 12 tomach (za lata 1948–1959), to już od tomu nr 13 z roku 1960 Gleichgewicht zaczyna pojawiać się dość regularnie – przynajmniej do tomu nr 20 z 1967 r. – jako autor zarówno artykułów, jak i zadań7. Przy czym należy tu zauważyć, że tylko niektóre jego teksty (głównie artykuły) są podpisane pełnym nazwiskiem; znaczna większość z nich (zwłaszcza zadania) są podpisane tylko inicjałami „B.G.”, do których czasami dodawano dopisek określający miejsce, tzn. „(Wrocław)”.
I tak jak zostało to wspomniane wyżej, Gleichgewicht zadebiutował w „Matematyce” w roku 1960, w jej 13. tomie. Zadebiutował wtedy, ukryty właśnie pod inicjałami „B.G.”, jako autor jednego z Zadań Konkursowych. Wtedy od pewnego czasu funkcjonował już słynny później Konkurs Zadaniowy „Matematyki”. Zadanie, o którym tu mowa, ukazało się jako Zadanie nr 613 tego Konkursu w „Matematyce” 13(2)/1960, na str. 122. Pod tymi samymi inicjałami opublikował również wtedy swój pierwszy dłuższy tekst – była to relacja z działalności wrocławskiego oddziału PTM-u8. W końcu także wtedy miał miejsce jego debiut pod pełnym nazwiskiem – był to z kolei artykuł dotyczący jednego z klasycznych zagadnień starożytności, a mianowicie kwadratury koła9.
W sumie w pierwszych 20 rocznikach (tomach) „Matematyki” – a w istocie w jej tomach 13–20 z lat 1959–1967 (patrz wyżej) – Gleichgewicht opublikował ok. 40 tekstów jako „B.G.”., w tym ponad 30 różnych zadań, i ok. 10 tekstów jako „B. Gleichgewicht”, w tym dwa zadania. Zadania te pojawiały się zasadniczo w dwóch działach – jednym zatytułowanym „Zadania Konkursowe”, drugim zatytułowanym „Zadania dla Uczniów Kółek Matematycznych w Klasach Licealnych”. Ponadto kilka zadań zostało opublikowanych w kąciku „Zadania dla Uczniów Kółek Matematycznych w Klasach Podstawowych”.
Ponieważ niniejszy artykuł ukazuje się w dziale „Koło Matematyczne”, poniżej przyjrzymy się bliżej zadaniom Gleichgewichta również przeznaczonym dla kółek. Ponieważ ponadto tekst ten ukazuje się w lipcowym, a więc wakacyjnym numerze „Matematyki”, nie będę więc „męczył” Czytelników dogłębną analizą rozwiązań tych zadań. To odłożymy sobie na kiedy indziej, po wakacjach. Krótko mówiąc, poniżej przytoczę tylko treść kilku „kółkowych” zadań autorstwa Gleichgewichta w nadziei, że brak ich rozwiązań zachęci przynajmniej niektórych z Czytelników do samodzielnego zastanowienia się nad tymi rozwiązaniami, co, moim zdaniem, można uznać za jakąś formę „relaksu dla matematyka” – a więc zajęcie w sam raz na wakacje. Zaczniemy od zadań prostych, a więc tych przeznaczonych dla uczniów szkół podstawowych. I tak, pierwsze z nich brzmi następująco:

Zadanie 1
Zamieszczony niżej rysunek przedstawia staw w formie kwadratu; cztery kółeczka (w jego wierzchołkach) wyobrażają drzewa rosnące nad jego brzegiem. Należy dwukrotnie zwiększyć powierzchnię stawu tak, by powiększony staw również miał kształt kwadratu. Drzew ścinać przy tym nie wolno10.
 

Zadanie 2
Rozpatruję dowolną liczbę naturalną trzycyfrową. Dowieść, że zachodzi przynajmniej jedno z trojga: 1) ta liczba podzielna jest przez 3; 2) któraś z jej cyfr podzielna jest przez 3; 3) któraś z liczb utworzona z dwóch cyfr tej liczby podzielna jest przez 311.

Powyższe zadania są bardzo łatwe i rozwiązanie ich nie powinno sprawić żadnych trudności także dzisiejszym uczniom szkół podstawowych, a dla nauczycieli mogą stanowić elementarną rozrywkę. Również refleksja nad możliwymi ich uogólnieniami może być potraktowana jako rodzaj wakacyjnej rozrywki dla nauczycieli.

Jednak Gleichgewicht nie był specjalistą kształcącym nauczycieli matematyki szkół podstawowych, więc o ile zdążyłem się zorientować, w pierwszych 20 tomach „Matematyki” nie sformułował żadnych dalszych zadań na tym poziomie edukacji. Kolejnych kilka zadań to są już zadania dla kółek matematycznych w liceach. I tak, pierwsze z nich brzmiało następująco:

Zadanie 3
Za znaczek pocztowy w cenie 1,15 zł klient zapłacił ośmioma monetami, wśród których były pięcio-, dziesięcio- i dwudziestogroszówki. Ile było monet każdej wartości?12

Poniżej – dalsze zadania dla takich kółek.

Zadanie 4
Spytano jednego chłopca, ilu ma braci i ile sióstr. Odpowiedział: „Mam tylu braci ile sióstr”! Wówczas spytano jego siostrę, ilu ma ona braci i ile sióstr. Dziewczynka odpowiedziała: „Mam dwa razy więcej braci niż sióstr”. Jak to jest możliwe?13

Zadanie 5
Obliczyć część całkowitą liczby \( 1+{\frac{1}{\sqrt2}}+{\frac{1}{\sqrt3}}+{\frac{1}{\sqrt4}}+{\frac{1}{\sqrt5}}^{14}\)

Zadanie 6
Udowodnić nierówność \({1\over2} {3\over4} {5\over6} {7\over8}...{99\over100}<{1\over10}^{15}\)

Zadanie 7
W daną kulę wpisać walec o największym polu powierzchni bocznej\(^{16}\)

Zadanie 8
W dany stożek wpisać walec o największym polu powierzchni bocznej\(^{16}\)

Zadanie 9
Udowodnić, że cos α + cos 3α + cos 5α + … + cos (2n – 1)α =
=  (α ≠ kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą)\(^{16}\)

Zadanie 10
Liczba wyrażająca obecny rok, 1961, ma tę własność (nie licząc „ogonka” w cyfrze 1), że obrócona o 180° daje znowu tę samą liczbę. Jaki będzie najbliższy rok o tej samej własności; jaki był ostatni rok poprzedzający obecny o wymienionej własności?\(^{17}\)

Zadanie 11
W rozwinięciu dwumianu (p + q)n, gdzie p i q są liczbami dodatnimi spełniającymi warunek p + q = 1, znaleźć największy składnik\(^{18}\)

Zadanie 12
Udowodnić, że jeśli a, b, c są liczbami rzeczywistymi dodatnimi i dla każdego n naturalnego cn ≤ na + b, to c ≤ 1\(^{19}\).

Zadanie 13
Stare zadanie chińskie. Znaleźć wszystkie liczby całkowite, które przy dzieleniu przez 4 dają resztę 2, przy dzieleniu przez 5 dają resztę 3, przy dzieleniu przez 7 dają resztę 2\(^{20}\).

Zadanie 14
Na kostce sześciennej do gry umieszcza się zwykle liczby tak, by sumy liczb na przeciwległych ścianach były równe. Jak należy wybrać pary tych liczb? Czy istnieje jeden tylko taki wybór, czy więcej?\(^{21}\)

Zadanie 15
Dwie kostki do gry będziemy nazywali jednakowo zorientowanymi, jeśli można je tak ustawić, że na odpowiadających sobie ścianach (patrz rysunek poniżej) znajdują się jednakowe numery. Czy dwie kostki mające sumy liczb na przeciwległych ścianach równe (patrz poprzednie zadanie) muszą być jednakowo zorientowane? Jeśli nie, to iloma sposobami można narysować na kostce oczka, by spełniały one warunek poprzedniego zadania i były różnie zorientowane?\(^{21}\)
 

Zadanie 16
Podać przybliżoną konstrukcję linijką i cyrklem liczby π z dokładnością do 0,005. Wskazówka: \(\sqrt{2} + \sqrt{3} \approx\) 3,14622.

Zadanie 17
Roztargniony uczeń obliczając objętość kuli zastosował zamiast właściwego wzoru – wzór na pole kuli i – o dziwo – otrzymał właściwy wynik. Jaki był promień kuli?\(^{23}\)

Zadanie 18
Znana jest następująca sztuka: osoba A proponuje osobie B napisać liczbę trzycyfrową, w której liczba setek jest większa od liczby dziesiątek, ta zaś – od liczby jednostek (np. 742). B ma zachować wybraną liczbę w tajemnicy. Potem A prosi o napisanie liczby trzycyfrowej otrzymanej z poprzedniej przez odwrócenie porządku cyfr (w podanym przykładzie 247) i odjąć od pierwszej drugą. Potem A prosi B, żeby wymieniła cyfrę oznaczającą jednostki. Po jej wymienieniu A potrafi odgadnąć różnicę. Zawsze bowiem zachodzi następująca własność: środkową cyfrą jest 9, pozostałe dwie zaś dają w sumie również 9 (tak więc A mógłby zażądać, by B podał mu cyfrę oznaczającą setki). Udowodnić to24.

I to już wszystkie zadania przeznaczone dla uczniów z licealnych kółek matematycznych autorstwa prof. Gleichgewichta, pochodzące z roczników 13–20 „Matematyki”. Gdyby jednak któryś z Czytelników poczuł się znudzony niezbyt wymagającym poziomem intelektualnym powyższych zadań, to na koniec niniejszego jubileuszowo-wakacyjnego tekstu podaję jeszcze kilka zadań Gleichgewichta z naszego „Konkursu Zadaniowego”, a więc potencjalnie – i chyba również rzeczywiście – zadań bardziej ambitnych.

Zadanie 19
Pięć odważników. Aptekarz ma tylko pięć odważników odpowiednio po 1, 3, 9, 27 i 81 g oraz wagę dwuszalkową (może ważyć na obu szalkach wagi). Dowieść, że może on zważyć każdy ciężar do 121 g\(^{25}\).

Zadanie 20
Ułamek właściwy. Dowieść, że dla dowolnej liczby naturalnej n istnieje ułamek właściwy p/q > 0, którego nie można przedstawić jako sumę nie więcej niż n składników postaci 1/k, gdzie k jest liczbą naturalną\(^{26}\).

Zadanie 21
Liczby na kole. Pierwszy krok polega na napisaniu na końcach średnicy koła (patrz rysunek) liczb 1, 1. Dzielimy następnie półkola oparte na tej średnicy na połowy i wpisujemy w punktach podziału liczby, będące sumami poprzednio wpisanych, a więc 2, 2; jest to drugi krok. Dzieląc łuki 1,2; 2,1; 1,2; 2,1 na połowy, napiszemy w punktach podziału sumy liczb najbliższych sąsiadów, a więc 3, 3, 3, 3, jest to trzeci krok. Postępując tak dalej, napiszemy po czwartym kroku liczby 4, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 4 itd. Jaka jest suma wszystkich liczb napisanych w ciągu pierwszych n kroków?\(^{27}\)

Zadanie 22
Domino. Cztery osoby mogą grać w domino sposobem „brydżowym”, tzn. dwaj partnerzy grają przeciwko dwóm. Jedna rozgrywka kończy się, gdy ktoś z grających pozostanie bez kamieni albo gdy po wyłożeniu kamienia przez któregoś z grających nikt już nie może wyłożyć kamienia. Udowodnić, że w tym drugim przypadku suma punktów, które pozostały u partnerów A–B, ma tę samą parzystość co suma punktów partnerów X–Y28.

Zadanie 23
Dowieść, że dla każdego a naturalnego, spełniającego nierówność a ≤ n – 1\(^{29}\),  \( n\\ \sum (-1) ^{k} \binom{n}{k} k^{a} = 0 \\k=1\)

W ten sposób dotarliśmy do końca tego artykułu, w którym z okazji przypadających w tym roku setnych urodzin prof. Bolesława Gleichgewichta przytoczyłem treści wszystkich zadań jego autorstwa opublikowanych w pierwszych rocznikach „Matematyki”. Metodycznym omówieniem rozwiązań tych zadań zajmiemy się zapewne w jednym z jesiennych numerów „Matematyki”. Do tego czasu życzę wszystkim przyjemnego wypoczynku; z powyższymi zadaniami, oczywiście.

Bibliografia:

1. Morawiec A., Dziwne uroki matematyki – „mutacje” w świecie liczb, „Matematyka” 6/2018, str. 22–25.
2. Tekst odnośnej uchwały Senatu z 20 grudnia 2018, opublikowanej w „Monitorze Polskim” z 3 stycznia 2019 r., można znaleźć np. tu – www.jrm2109.pl.
3. Kuratowski K., Pół wieku matematyki polskiej 1920–1970, Wiedza Powszechna, Warszawa 1973.
4. Iwiński T., Ponad pół wieku działalności matematyków polskich. Zarys historii Polskiego Towarzystwa Matematycznego 1919–1973, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1975.
5. Ibidem, s. 114.
6. Ibidem, s. 118.
7. „Matematyka” 11/1958.
8. Pięćset posiedzeń oddziału wrocławskiego Polskiego Towarzystwa 
9. Matematycznego, „Matematyka” 13(3)/1960, s. 164.
10. Jeszcze o kwadraturze koła, „Matematyka” 13(3)/1960, s. 138.
11. „Matematyka” 15(5)/1962, s. 302.
12. „Matematyka” 16(4)/1963, s. 171.
13. „Matematyka” 13(5)/1960, s. 294.
14. „Matematyka” 13(5)/1960, s. 295.
15. „Matematyka” 13(6)/1960, s. 359.
16. „Matematyka” 13(6)/1960, s. 360.
17. „Matematyka” 14(2)/1961, s. 111.
18. „Matematyka” 14(3)/1961, s. 179.
19. „Matematyka” 15(1)/1962, s. 52.
20. „Matematyka” 15(1)/1962, s. 52.
21. „Matematyka” 18(2)/1965, s. 84.
22. „Matematyka” 18(3)/1965, s. 137.
23. „Matematyka” 18(4)/1965, s. 188.
24. „Matematyka” 19(3)/1966, s. 141.
25. „Matematyka” 19(4)/1966, s. 183.
26. „Matematyka” 15(2)/1962, s. 166.
27. „Matematyka” 18(1)/1965, s. 39.
28. „Matematyka” 18(2)/1965, s. 87.
29. „Matematyka” 19(3)/1966, s. 142.