Dołącz do czytelników
Brak wyników

Pomysł na lekcję

20 września 2021

NR 51 (Wrzesień 2021)

Powtórka na początek roku szkolnego

0 28

Zaczynamy nowy rok szkolny. Po długim okresie nauki zdalnej i wakacjach uczniowie wracają do szkolnych ławek. Prawdopodobnie wielu nauczycieli zadaje sobie dziś pytanie: czy muszę, z moimi klasami, powtórzyć wszystko, co robiliśmy w poprzednim roku szkolnym? Czy opanowane zostały wszystkie umiejętności zawarte w podstawie programowej? Co uczniom sprawia trudność, a co jest dla nich proste?

Matematyka to taka nauka, która potrzebuje solidnych fundamentów. Problemy wynikające ze słabego opanowania jednego z tematów mogą skutkować trudnościami w opanowaniu innego. Jako nauczyciele doskonale zdajemy sobie z tego sprawę. Dlatego chciałabym zaproponować sposób na szybkie powtórzenie tego, co robiliśmy z uczniami w roku ubiegłym, a jednocześnie sprawdzenie, co jest dla nich łatwe, a co wymaga doszlifowania.
W zależności od tego, w jakiej szkole pracujesz i w której klasie są Twoi uczniowie, na tę metodę poświęcisz od jednej do kilku godzin lekcyjnych. Prawdopodobnie zupełnie inaczej przebiegnie ona w klasie, gdzie uczniowie są wdrożeni do samodzielnej pracy i nauczyciela potrzebują bardziej w roli mentora, a zupełnie inaczej będzie to wyglądało w klasie, gdzie uczniowie wymagają ciągłej uwagi nauczyciela. W tym drugim przypadku czas nauki zdalnej był dla uczniów bardzo trudny.
Przejdźmy zatem do powtórki. Jak większość metod, również ta wymaga pewnego przygotowania. 

POLECAMY

Przygotowanie przed lekcją

Po pierwsze, wypisz wszystkie działy, które zostały zrealizowane w poprzednim roku szkolnym. Na przykład w II klasie liceum po szkole podstawowej, w której matematyka jest realizowana w zakresie rozszerzonym, byłyby to:

  • Przekształcenia wykresów funkcji,
  • Równania i nierówności z wartością bezwzględną i z parametrem,
  • Funkcja kwadratowa,
  • Geometria płaska,
  • Trygonometria,
  • Geometria analityczna,
  • Wielomiany.
     


Teraz w obrębie każdego z siedmiu wypisanych działów musimy przygotować zadania wymagające wykazania się różnymi umiejętnościami. To od nas zależy, ile tych zadań będzie. Ja jednak proponuję, aby było ich między 3 a 6. Uczniowie będą je rozwiązywać i określać, które z nich jest dla nich łatwe, a które trudne. Jeśli mamy powtórzyć dużo tematów, a możemy przeznaczyć na to tylko jedną lub dwie lekcje, to lepiej, żeby zadań było po trzy (łatwe, średnie, trudne). Jeżeli natomiast w poprzednim roku omawialiśmy mniej działów, to w ich obrębie możemy przygotować więcej zadań. Taka sytuacja może mieć miejsce, jeśli na przykład uczymy obecnie w drugiej klasie technikum w oparciu o podręcznik z wydawnictwa Nowa Era. Wówczas mamy do przygotowania zadania z czterech działów: Liczby rzeczywiste, Język matematyki, Układy równań i Funkcje. Przy większej liczbie zadań ich stopień trudności możemy określać w skali punktowej od 1 (zadanie łatwe) do 5 czy 6 (zadanie bardzo trudne). Ważne jest, aby liczba zadań w obrębie każdego tematu była taka sama oraz by ogólna ich liczba była taka, żebyśmy zdążyli wszystkie zadania omówić na zaplanowanych lekcjach. Optymalna liczba zadań to około 30. Wiem, że to całkiem sporo zadań do przygotowania, ale dużo z nich to będą zadania typowe, ze zbioru zadań. Liczba naprawdę trudnych czy skomplikowanych zadań nie będzie tak duża. Ja wybrałabym na przykład takie zadania.

Przekształcenia wykresów funkcji

Zadanie 1
Oblicz współrzędne wektora
 

Zadanie 2
Obrazem punktu B w przesunięciu równoległym 
o wektor u = [−7, 1] jest punkt B1(3, −2). Wyznacz współrzędne punktu B.

Zadanie 3
W prostokątnym układzie współrzędnych naszkicuj wykres funkcji g, opisanej wzorem g(x) = x2 − 1. Odczytaj z wykresu:
a) Miejsce zerowe funkcji g,
b) Zbiór wartości funkcji g,
c) Maksymalny przedział, w którym funkcja g jest malejąca.

Zadanie 4
Naszkicuj wykres funkcji f, jeśli f(x) = ||| √x2 − 1 | − 2 | − 4 |.

Równania i nierówności 

z wartością bezwzględną i z parametrem

Zadanie 1
Rozwiąż równanie | −1 − x | = 7.

Zadanie 2
Rozwiąż nierówność | √3 − x | − 2 | x − √3 | < 3(| −√3 + x | + 1).

Zadanie 3
Rozwiąż graficznie równanie | x − 3 | + 2x = 6.

Zadanie 4
Przeprowadź dyskusję liczby rozwiązań układu równań  ze względu na wartość parametru W przypadku istnienia rozwiązania wyznacz je.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 1
Dany jest wzór funkcji kwadratowej f(x) = −0,5x2 + x + 4.
a) Napisz wzór funkcji f w postaci kanonicznej.
b) Wyznacz miejsca zerowe funkcji f.
c) Rozwiąż graficznie równanie f(x) = x + 2.

Zadanie 2
Napisz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej, wiedząc, że dla argumentu 3 funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość, równą −2, a jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba 1.

Zadanie 3
Liczbę 30 przedstaw w postaci różnicy dwóch takich liczb, aby suma ich kwadratów była najmniejsza.

Zadanie 4
Dla jakich wartości parametru m różne rozwiązania: x1, x2 równania x2 + 2x + m − 1 = 0 spełniają warunek |x1| + |x2| ≤ 3?

Geometria płaska

Zadanie 1
W okręgu poprowadzono dwie cięciwy AB i CD, które przecinają się w punkcie P. Wiedząc, że |AP| = 10 cm, |BP| = 4 cm oraz |PD| = 2,5 cm, oblicz |CP|.

Zadanie 2
Dwa boki trójkąta ABC mają długości: |AB| = 7 cm, |BC| = 8 cm. Wiedząc, że |]C| = 60°, oblicz długość boku AC.

Zadanie 3
W trójkącie równoramiennym ramię jest dwa razy dłuższe od podstawy. Wykaż, że dwusieczna kąta przy podstawie przecina ramię w punkcie, którego odległość od podstawy jest równa  wysokości poprowadzonej na tę podstawę.

Zadanie 4
W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej. Oblicz stosunek pola koła wpisanego w ten trójkąt do pola koła opisanego na tym trójkącie.

Trygonometria

Zadanie 1
Wiedząc, że sinα + cosα =  , oblicz: 
a) sinα · cosα,
b) (cosα − sinα)2.

Zadanie 2
Wykaż, że dla dowolnego kąta ostrego α równość: 

jest tożsamością.

Zadanie 3
Oblicz:


Zadanie 4
Naszkicuj wykres funkcji y = tgx w przedziale  Następnie skorzystaj z okresowości funkcji f(x) = tgx i wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x, dla których:
a) Funkcja f przyjmuje wartość √3,
b) Funkcja f przyjmuje wartości ujemne.

Geometria analityczna

Zadanie 1
Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A(2, −3) i B(6, 7).

Zadanie 2
Napisz równanie ogólne prostej m prostopadłej do prostej k: 5x − y + 3 = 0 i przechodzącej przez punkt P(−1, 2).

Zadanie 3
Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkty  A(5, 10) i B(3, 12), jeśli jego środek należy do prostej k:
y = −2x − 2.

Zadanie 4
Dana jest parabola p: y = x2 − 3. Wyznacz współrzędne punktów C i D, będących punktami przecięcia się paraboli p z prostą m: y + 2x = 0.

Wielomiany

Zadanie 1
Dane są wielomiany: W(x) = −4x7 + 2x5 −3x2 + 6 
i P(x) = 4x7 −3x5 + 2x3 + 4x2 − 8. Wyznacz W(x) + P(x).

Zadanie 2
Wyznacz całkowite pierwiastki wielomianu: 
W(x) = 2x3 − 2x2 −2x −4.

Zadanie 3
Iloczyn trzech liczb całkowitych, z których druga jest o 3 większa od pierwszej, a trzecia o 1 mniejsza od drugiej, jest równa −30. Wyznacz te liczby.

Zadanie 4
Dane jest równanie x3 − px 2+ px − 1 = 0 z parametrem . Zbadaj liczbę rozwiązań tego równania ze względu na wartość parametru p.

Nie tylko my jako nauczyciele musimy przygotować się do lekcji – uczniowie również. Prosimy ich, aby powtórzyli sobie to, czego nauczyli się w poprzednim roku szkolnym. Niech spojrzą do zeszytu lub książki i przypomną sobie najważniejsze twierdzenia i typowe zadania. Dobrze będzie, jeśli się zastanowią, co było dla nich łatwe, a co sprawiało lub sprawia trudność, który z omawianych działów uważają za łatwy, a który był trudny.

Na lekcji w szkole

Najbardziej komfortowa sytuacja jest wówczas, gdy możemy na te zajęcia przeznaczyć dwie kolejne godziny lekcyjne. Nie trzeba będzie wówczas dzielić lekcji ani jej przerywać w połowie. Jeśli jednak taki układ nie jest możliwy, warto zadbać o to, by przerwa nastąpiła po zamknięciu jednego z omawianych działów.

Ponieważ uczniowie powinni byli w domu przynajmniej spojrzeć na omawiane tematy, możemy od razu przystąpić do pracy. 

  1. Dzielimy klasę na grupy. W każdej z nich powinno być tyle osób, ile zadań przygotowaliśmy w ramach powtórzenia każdego działu – czyli ja podzieliłabym klasę na czteroosobowe zespoły. Chodzi o to, by uczniowie mogli w tym samym czasie rozwiązywać zadania.
  2. Przypominamy uczniom, jakie działy/tematy poznali w ubiegłym roku, i prosimy, aby każdy zespół uszeregował je od najłatwiejszego do najtrudniejszego. 
  3. Podczas gdy uczniowie ustalają kolejność tematów, wręczamy każdej grupie (możemy również poprosić uczniów o narysowanie na kartce) tabelę zawierającą o jeden więcej wiersz niż liczba powtarzanych tematów i o jedną kolumnę więcej (która będzie zawierała opis) niż jest zadań w każdym temacie.
  4. Prosimy przedstawicieli grup o przedstawienie kolejności tematów. Możemy do tego celu zastosować ankietę lub metodę śnieżnej kuli. Naszym celem jest ustalenie, który dział większość grup uznała za najłatwiejszy, i od niego zacząć powtórkę. Jako kolejne będziemy omawiali te działy, które uczniowie uznają za łatwy, trochę trudniejszy, trudny, bardzo trudny. Kiedy uczniowie wspólnie ustalą preferencje dotyczące omawianych tematów, wpisujemy nazwy w pierwszej kolumnie tabeli w kolejnych wierszach. W ten sposób ustalamy, w jakiej kolejności będziemy powtarzali poszczególne działy. 
  5. Przechodzimy do rozwiązania zadań z najłatwiejszego działu. Prawdopodobnie uczniowie otrzymają wyniki szybko, gdyż sami stwierdzili, że nie jest to trudny temat. Każdej grupie wręczamy przygotowane zadania. Wyznaczamy czas na ich rozwiązanie. Pamiętajmy, aby było go wystarczająco na rozwiązanie pojedynczego zadania i krótką rozmowę uczniów, ale na tyle mało, aby grupa nie polegała na rozwiązaniu zadań tylko przez jednego ucznia. 
  6. Uczniowie rozwiązują zadania, a następnie ustalają, które z zadań uważają za najłatwiejsze, trochę...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy