Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka w praktyce

19 stycznia 2021

NR 47 (Styczeń 2021)

Tabliczki działań. Wariactwo algorytmów, czyli po co nam dzielenie pisemne

0 228

Prawie 30 lat temu Dawid Fielker opublikował w piśmie „Nauczyciele i Matematyka” artykuł „Wariactwo pisemnego dzielenia”, pokazując bezsens wprowadzania tych algorytmów w szkole podstawowej. Zwraca uwagę na to, że dużo ważniejsze jest, byśmy wiedzieli i rozumieli, co mamy zrobić, a nie jak to wykonać w nadziei, że rozumienie przyjdzie samo. Jak widać, od tego czasu niewiele się nauczyliśmy: nie wprowadzamy powszechnie do szkoły podstawowej kalkulatorów.

Nikt o zdrowych zmysłach nie zgodziłby się na stosowanie XIX-wiecznych metod w rolnictwie czy przemyśle. Ale szkoła jest odporna na upływ czasu. Dalej dominuje przekonanie, że tradycyjne nauczanie jest najlepsze, a tabliczka mnożenia to podstawa matematyki. Bo ucznia, który nie zna tabliczki mnożenia ani dzielenia pisemnego, mogą oszukać w sklepie. Dzisiaj nie ma takich możliwości, ale kasjer może się pomylić, np. wpisać pewną pozycję dwa razy. Zwykle uczeń dba o swój telefon komórkowy, gdzie ma kalkulator, dużo bardziej niż o szkolne podręczniki, i poza szkołą nie rozstaje się z nim praktycznie ani na chwilę.
Uczeń z technologii korzysta na co dzień, niektórzy już bez niej nie bardzo potrafią się obejść. Nigdy w życiu nie spotkałem dorosłego człowieka, któremu w życiu przydałoby się pisemne mnożenie czy dzielenie, a w szkole podstawowej powinniśmy uczyć matematyki przydatnej i użytecznej.

POLECAMY

Tabliczki działań i działania pisemne

Zacznijmy od tabliczki dodawania, która niezbędna nam jest do stworzenia tabliczki. W szkole podstawowej działanie mnożenia poznajemy jako skrócone dodawanie. Zatem by poznać tabliczkę mnożenia, powinniśmy najpierw dobrze poznać tabliczkę dodawania. Aby to lepiej zobaczyć, posłużmy się innym systemem niż dziesiątkowy, który doskonale jest nam znany, którym posługujemy się od zawsze i dlatego wiele niuansów nam umyka. Do pokazania innych tabliczek wykonamy wszystkie działania w systemie siódemkowym. Użyjemy tego systemu, ponieważ mało kto w nim biegle liczy (my też go dobrze nie znamy) i można łatwo w nim pokazać wszystkie algorytmy, gdyż ma tylko siedem cyfr (a nie dziesięć, jak w systemie dziesiątkowym) – tabliczki dodawania i mnożenia są prostsze. Można też zauważyć trudności w posługiwaniu się algorytmami pisemnego mnożenia i dzielenia.
Aby powstała tabliczka dodawania, musimy najpierw nauczyć się dodawać 1, czyli liczyć w danym systemie. By nie myliło nam się liczenie w systemie siódemkowym i dziesiątkowym, będziemy zapisywali liczby w systemie siódemkowym (poza liczbami jednocyfrowymi) z indeksem dolnym, oznaczającym, w jakim systemie liczymy.
Cyfry systemu siódemkowego to {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} – jest ich, oczywiście, siedem i za ich pomocą możemy napisać dowolną liczbę.

Liczby systemu siódemkowego:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 – liczby jednocyfrowe
Kolejne liczby to: 6 + 1 = 107, 107 + 1 = 117, 127, 137, 147, 157, 167, 167 + 1 = 207, … 607, 617, 627, 637, 647, 657, 667 – największa liczba dwucyfrowa, 1007, 6667 – najmniejsza i największa liczba trzycyfrowa. 
Teraz, gdy już potrafimy liczyć (a dokładniej zapisywać liczby), możemy stworzyć tabliczkę dodawania (tab. 1).

Łamana grubsza linia oddziela liczby jednocyfrowe od dwucyfrowych. Niezależnie od systemu, w jakim liczymy, wszystkie tabliczki dodawania są podobne. Łatwo zauważymy, że w tabliczce dodawania występuje też tabliczka odejmowania, gdy 4 + 5 = 127, to również możemy odczytać wynik odejmowania 127 – 5 = 4, poruszając się po tabliczce od liczby 5 do 127, 
a następnie do 4.
 

 


Mając do dyspozycji tabliczkę dodawania (i odejmowania), możemy wykonać te działania pisemnie.
 

 

Otrzymaliśmy nie tylko tabliczkę mnożenia, ale również tabliczkę dzielenia. Iloczyn 5 × 5 = 347 odczytujemy z tabelki, ale możemy również odczytać 337 ÷ 4 = 6, poruszając się odpowiednio wzdłuż kolumn i wierszy po tabelce od 4 do 337, a następnie do liczby 6. 
A jak podzielić 417 ÷ 5?
Od 5 poruszmy się do 347 (427 to za dużo), odczytujemy 5 i resztę, którą obliczamy, odejmując 417 – 347 = 4 (odejmować już umiemy, patrz przykład 1), zatem 417 ÷ 5 daje wynik 5 i resztę 4. 
Tu celowo nie użyliśmy znaku „=”, gdyż z matematycznego punktu widzenia nie byłby on tu właściwy. Relacja „=” jest relacją równoważności, zatem jest zwrotna, symetryczna i przechodnia. 
7 ÷ 3 daje wynik 2 r 1 – w zbiorze liczb całkowitych to działanie jest niewykonalne, nie istnieje liczba, która by była wynikiem tego działania, a ułamki są jeszcze niedostępne.
5 ÷ 2 daje wynik 2 r 1 – po prawej stronie ewidentnie mamy wyrażenia takie same, a po lewej nie (wysta...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy