Geometria wzoru typu C
Łącząc środki sąsiednich boków sześciokąta foremnego, otrzymamy kolejny, nieco mniejszy sześciokąt. Ten wzór zostawia wiele pustego miejsca w sześciokącie, w które można wstawić dodatkowe dekoracje. W dolnej części ryciny pokazałem wypełnienie sześciokąta, zaczerpnięte z mauzoleum Amir Sungur Sa’di z Kairu. Konstrukcje obu rozet w dwunastokątach zostały omówione w szkicu 7(„Matematyka” nr 1/2018)
POLECAMY
Biorąc sześciokąt foremny jako figurę wyjściową do tworzenia gerehu, przechodzimy do nieco innego świata. Oto, co tym razem możemy otrzymać.
Projekt 3.6 – Gereh z meczetu Al Rifa’i z Kairu
W tym projekcie zabawimy się w detektywów. Naszym zadaniem będzie odtworzenie gerehu, mając tylko jego fragment.
Pokazany tu fragment drzwi może posłużyć nam do wykonania gerehu, identycznego lub podobnego do pokazanego motywu. Zauważmy, że mamy tu rozetę dwunastoramienną oraz dwa sześciokąty foremne. Obie te figury są identyczne z tymi, które pokazaliśmy w geometrii typu C. Ponieważ mamy tylko niewielki fragment wzoru, nigdy nie będziemy mieć pewności, że nasza konstrukcja jest identyczna z tą na drzwiach, ale próbować warto.
Na rycinie mamy pokazany jeszcze raz wzór z drzwi oraz dorysowaną na nim teselację, a właściwie jej fragment. Tu możemy się domyślić, że mamy dwa dwunastokąty o wspólnym boku oraz dwa trójkąty przyległe do dwunastokątów. Pomiędzy trójkątami widoczny jest fragment figury, która może być kwadratem. Prawa strona teselacji jest prawdopodobnie symetryczna z lewą stroną.
Tu pokazana jest możliwie najprostsza teselacja, odpowiadająca pokazanemu wcześniej fragmentowi drzwi. Nie wykluczam, że Czytelnik znajdzie kilka innych teselacji zawierających pokazany tu fragment w czarnym kwadracie. Niemniej dla naszych potrzeb pokazana tu teselacja jest w pełni wystarczająca. Wypełniamy wzorem ćwiartki obu dwunastokątów, oba trójkąty oraz ćwiartki kwadratów. Do wypełnienia wielokątów wykorzystujemy wzory pokazane na rycinie z geometrią typu C. Jak pamiętamy, można to zrobić na dwa sposoby. My wybieramy rozetę pokazaną z prawej strony oraz proste wypełnienia kwadratu i trójkąta. To wystarczy do tego, aby odtworzyć wzór podobny do tego na drzwiach.
Pokazany tu gereh powstał z czterech kopii teselacji wypełnionej wzorem. Zauważmy, że użyliśmy tu dokładnie takiego samego wypełnienia wzorem jak na fotografii. Możemy jednak pokusić sięi wypełnić tę samą teselację zupełnie innymi wypełnieniami, spełniającymi warunki geometrii typu C. O tym jednak za chwilę
Pokazany przed chwilą wzór jest arcydziełem egipskiej sztuki snycerskiej. Jednakże jego bardziej kompletną strukturę możemy zobaczyć, pokrywając nim większy fragment płaszczyzny.
Tym razem mamy pokazany gereh pokrywający większy fragment płaszczyzny. Tu widać, jaki wpływ na wzór mają symetrie poszczególnych wielokątów foremnych. Szczególnie ciekawie wyglądają fragmenty zbudowane w dwunastokącie i w otoczeniu kwadratu.
Do gerehu z drzwi w meczecie Al Rifa’i wrócimy za chwilę, kiedy zbudujemy go, korzystając z innej interpretacji rozety. Zanim przejdziemy do kolejnych przykładów, przypomnijmy jeszcze pochodzenie nazwy meczetu, z którego pochodzi ten gereh.
Al-Rifa`i (1118–1181/2) urodził się w Iraku. Jego pełne imię jest równie malownicze jak okres, w którym przyszło mu żyć: Ahmad ibn `Ali ar-Rifa`i (أحمد بن علي الرفاعي), czyli Ahmad syn Alego ar Rifa’i. Al-Rifa’i jest znany jako twórca zakonu Rifa'i Sufi. Jego grób i sanktuarium znajdują się w pobliżu Tal Afar w północnym Iraku. Powszechnie uważa się go za jednego ze świętych islamu. Stąd nazwa meczetu w Kairze.
Projekt 3.7
Jak już zauważyliśmy, każda teselacja wielokątami foremnymi może posłużyć do stworzenia gerehu z użyciem dotychczas poznanych elementów. Pewne z tych teselacji są na tyle proste, że utworzenie gerehu wymaga niewiele pracy, inne zaś będą wymagały znacznie więcej czasu zarówno na skonstruowanie teselacji, jak i na wypełnienie jej wzorem. W naszym przypadku chcemy pokazać, jak wygląda duża rozeta w otoczeniu mniejszych elementów.
Tym razem nasza teselacja jest nieco bardziej złożona niż ta z poprzedniego projektu. Mamy tu dwie rozety, trzy kwadraty oraz osiem trójkątów. To wystarcza do tego, aby stworzyć stosunkowo złożony gereh, niewymagający jednak zbyt wiele pracy.
Na rycinie pokazany jest jeden z wielu możliwych wyników tego projektu. Tu użyliśmy 16 kopii naszego szablonu. Można wziąć ich więcej lub mniej. To zależy tylko od tego ile mamy czasu na ten projekt. Możemy użyć również drugiego typu rozety z geometrii typu C. Te eksperymenty pozostawiam Czytelnikom.
Ta gwiazda zbudowana jest na siatce trójkątów równobocznych. Zauważmy, że siatka ta może być wykorzystana do wykonania kilku innych deseni wypełniających sześciokąt foremny.
Tak skonstruowana gwiazda jest szczególnie przydatna do budowy ornamentów teselacji składającej się wyłącznie z sześciokątów foremnych. Aczkolwiek możemy skonstruować rozetę wykorzystującą ten sam motyw. Jej konstrukcja jest pokazana na kolejnej rycinie.
Tak utworzona rozeta prawdopodobnie nigdy nie została użyta, ale nic nie stoi na przeszkodzie, aby ją wykorzystać. W ten sposób otrzymany nową wersję gerehu z meczetu Al-Rifa’i oraz wielu innych.
Projekt 3.8
Wykonaj gereh wykorzystujący pokazaną tu teselację i gwiazdę z mauzoleum Amir Sungur Sa’di.
W Maghrebie istnieje pewien szczególny typ rozety, która może być bardzo prosto skonstruowana na dwunastokącie foremnym. Deseń tej rozety będziemy określać jako „młotkowy”, jako że jego elementy są nieco podobne do młotków. Rozety tego typu pojawiają się czasami w różnych mozaikach na ścianach budowli.
Na rycinie mamy pokazany dwunastokąt foremny i motyw wpisany w jeden z trójkątów, na które podzieliliśmy dwunastokąt. Dwie ciągłe czarne linie oraz okrąg wyznaczają kształt płatka rozety. Zauważmy, że czarne ciągłe linie przechodzą odpowiednio przez dwa wierzchołki i środki dwóch boków dwunastokąta. Płatek rozety ma szerokość równą dwóm odległościom pomiędzy czarnymi ciągłymi liniami. Linie przerywane przechodzące przez czerwony duży punkt mogą przecinać się pod dowolnym kątem. Tu 60 stopni. Linie przerywane służą tylko jako siatka do narysowania płatka rozety. Powtarzając ten motyw w pozostałych częściach dwunastokąta, otrzymamy rozetę młotkową.
Ten rodzaj rozety występuje głównie w Maroku, a w różnych albumach można znaleźć kilka jej wariantów. Jeden z nich zobaczymy na okładce książki, której autorem jest Bourgoin. Ciekawostką jest, że w samej książce tej rozety nie znajdziemy. Przypuszczalnie wydawca zdecydował o użyciu tej rozety, aby uatrakcyjnić jej szatę graficzną.
Podobną rozetę pokazuje Prisse d’Avennes w swojej książce na stronie 109. U niego jednak krawędzie płatków rozety nie są równoległe.
Rozeta młotkowa jest popularnym elementem wzorów geometrycznych zarówno w Maroku, jak i Andaluzji, czyli południowej Hiszpanii. Tam najczęściej występuje w postaci ceramicznej mozaiki, tzw. zillij lub zellige. Technikę wykonania takiej mozaiki pokazujemy na kolejnej rycinie.
Tu mamy rozetę młotkową ze starych drzwi z obszaru Maroka.
Na zdjęciu mamy pokazaną pracownię zellige w miejscowości Fez w Maroku. Artyści wycinają poszczególne elementy mozaiki z ceramicznych płytek uprzednio pokrytych glazurą i wypalonych. Następnie takie elementy są układane na płaskiej powierzchni stroną glazurowaną na dół i całość jest zalewana masą cementową. Po wyschnięciu masy otrzymujemy panele gotowe do przymocowania do ściany. Takie panele widoczne są za plecami rzemieślników na fotografii. Zauważmy, jak prymitywne narzędzia są wykorzystywane w tej pracy. Fot. Jadcooper – Own work, CC BY-SA 4.0, //commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=53998472
Na rycinie mamy dokładnie tę samą teselację co w projekcie 3.6, ale tym razem dwunastokąty zostały wypełnione rozetą młotkową. Desenie w trójkątach i kwadratach pozostały dokładnie te same co poprzednio. Kolorowy fragment jest tym, co tworzy szablon wzoru. Tylko tyle potrzeba, aby powstał jeden z bardziej interesujących wzorów, łączący motywy geometryczne z Egiptu i Maghrebu. Na kolejnej rycinie pokazujemy wariant wzoru z meczetu Al-Rifa’i wykorzystujący rozetę młotkową. Ten gereh powstał z wykorzystaniem 4 x 4 kopii szablonu.
Projekt 3.9
Powtórz projekt 3.7, wykorzystując tym razem rozetę młotkową.
Wypełnienie trójkąta i kwadratu w geometrii wzoru typu C jest trochę mało interesujące. Możemy wypełnić je inaczej, zachowując kąty wzoru na brzegach wielokątów. Najprościej jest rozpocząć od trójkąta. Wiemy, że w przypadku tego typu deseń w trójkącie tworzy sześciokąt foremny, tak jak to pokazujemy na kolejnej rycinie z lewej strony. Dzieląc każdy z kątów trójkąta na 4 równe części i dalej łącząc odpowiednie punkty, otrzymamy deseń pokazany na prawej części ryciny. Takie rozwiązanie pokazuje Bourgoin (1973) na planszy 96. Jest to wzór pochodzący z domu Kritiya w Kairze. Obecnie jest tam muzeum Gayer-Andersona. Ten pomysł wystarcza nam do tego, aby skonstruować deseń w pozostałych wielokątach foremnych używanych w tym szkicu.
Konstrukcja tych deseni jest dość prosta. Sześciokąt foremny składa się z 6 trójkątów równobocznych. Wystarczy zatem wypełnić deseniem każdy z nich.
Konstrukcja desenia wewnątrz kwadratu opiera się dokładnie na tym samym pomyśle jak w przypadku trójkąta.
Skoro już poprawiliśmy tyle, to możemy pokusić się jeszcze o zrobienie rozety pasującej do wzoru na trójkącie i kwadracie.
Dzielimy dwunastokąt na trójkąty, a następnie w jeden z nich wstawiamy deseń z trójkąta równoramiennego (zacieniony obszar). Następnie przedłużamy pewne jego boki tak, jak to pokazano na rysunku. W celu otrzymania kompletnej rozety wystarczy skopiować wzór z długiego trójkąta na pozostałe.
To, co otrzymaliśmy do tej pory, ma dla nas bardzo ciekawe konsekwencje. Możemy skonstruować setki wzorów o bardzo interesującej i trudnej do odkrycia strukturze. Dodając do tych elementów kolor, nawet najbardziej podstawowy, np. odcienie szarości, tworzymy coś, co jest atrakcyjną formą wzoru. Oto jeden z wzorów możliwych do wykorzystania z elementami stworzonymi na tej i poprzedniej stronie.
Rodzaje rozet spełniających wymogi geometrii typu C są niezliczone. Mamy tu ogromne bogactwo motywów i zastosowań.
Na kolejnej rycinie pokazuję rozety, które omówiliśmy w tej części szkicu. Przestrzeń pomiędzy rozetami wypełniliśmy motywami z domu Kritiya w Kairze. Przypuszczam, że Czytelnik z łatwością odtworzy teselację tego wzoru i wskaże te elementy gerehu, które pochodzą z domu Kritiya.
Zauważmy, że o konstrukcji dwóch rozet widniejących na rysunku nie powiedzieliśmy ani słowa. Proponuję, aby Czytelnik wskazał te rozety na rysunku i odtworzył ich konstrukcję samodzielnie. Będzie to z pewnością interesujące zajęcie.
W tym szkicu, tej i poprzedniej części, omówiliśmy dotychczas zaledwie trzy typy geometrii wzorów wypełniających teselacje z wielokątami foremnymi – dwunastokątem, sześciokątem, kwadratem i trójkątem – oraz kilka wariantów tych wypełnień.
Zasadniczo poszczególne typy różnią się tylko tym, w jaki sposób linie wzoru wchodzą do wielokąta. Mieliśmy kolejno: 30 stopni pomiędzy liniami (typ A), 90 stopni (typ B) oraz 120 stopni (typ C). Zauważmy, że nie operowaliśmy bezpośrednio kątami. Nasze kąty zależały od figury, którą jako pierwszą użyliśmy do wypełniania wzorem. Pokazaliśmy to na kolejnej rycinie. To, oczywiście, nie koniec tej historii. Dotychczas nie powiedzieliśmy nic o tym, co się stanie, gdy nasz kąt będzie inny. Rycina kończąca ten tekst pokazuje, że co najmniej dwie możliwości powinniśmy jeszcze wziąć pod uwagę. Są to kąt 150 stopni oraz kąt 30 stopni, niemający odpowiednika w żadnym z wielokątów foremnych.
W kolejnych częściach tego szkicu pokażemy dalsze możliwości wypełnienia wielokątów foremnych deseniem spełniającym reguły gerehu.
Bibliografia:
- d’Avennes P, Islamic Art In Cairo – from Seventh to the eighteenth Centuries, with introduction by George T. Scanlon, A Zeitouna Book, The American University in Cairo Press, Kair – Nowy Jork 1999.
- Bourgoin J., Arabic Geometrical Pattern and Design, Dover Publications Inc, Nowy Jork 1973.
- Clevenot D., Degeorge G., Ornament and decoration in Islamic Architecture, Thames & Hudson, Nowy Jork 2000.
- Jaśkowski S., O symetrii w zdobnictwie i przyrodzie, PZWS, Warszawa 1952.
- Majewski M., Szkice o geometrii i sztuce: gereh – geometria w sztuce islamu, Wydawnictwo Aksjomat, Toruń 2017.
