Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka dawniej i dziś

19 października 2018

NR 34 (Wrzesień 2018)

Wielokąty foremne i gereh (cz. 2)

0 206

W poprzedniej części tego szkicu pokazaliśmy, w jaki sposób, wypełniając wielokąty foremne – trójkąt, kwadrat, sześciokąt i dwunastokąt – różnego rodzaju wzorami, możemy skonstruować gereh. Omówiliśmy dwie grupy takich wzorów. Nazwaliśmy je umownie geometriami wzoru typu A i B. Wypełnienia w typie A były zależne od linii łączących środki boków trójkąta. Natomiast typ B otrzymaliśmy, łącząc liniami prostymi środki sąsiednich boków kwadratu. W tej części szkicu kontynuujemy nasze eksploracje.

Geometria wzoru typu C

Łącząc środki sąsiednich boków sześciokąta foremnego, otrzymamy kolejny, nieco mniejszy sześciokąt. Ten wzór zostawia wiele pustego miejsca w sześciokącie, w które można wstawić dodatkowe dekoracje. W dolnej części ryciny pokazałem wypełnienie sześciokąta, zaczerpnięte z mauzoleum Amir Sungur Sa’di z Kairu. Konstrukcje obu rozet w dwunastokątach zostały omówione w szkicu 7(„Matematyka” nr 1/2018)

Biorąc sześciokąt foremny jako figurę wyjściową do tworzenia gerehu, przechodzimy do nieco innego świata. Oto, co tym razem możemy otrzymać.

 

Projekt 3.6 – Gereh z meczetu Al Rifa’i z Kairu

W tym projekcie zabawimy się w detektywów. Naszym zadaniem będzie odtworzenie gerehu, mając tylko jego fragment.

Fragment wzoru z drzwi meczetu Al Rifa’i z Kairu

Pokazany tu fragment drzwi może posłużyć nam do wykonania gerehu, identycznego lub podobnego do pokazanego motywu. Zauważmy, że mamy tu rozetę dwunastoramienną oraz dwa sześciokąty foremne. Obie te figury są identyczne z tymi, które pokazaliśmy w geometrii typu C. Ponieważ mamy tylko niewielki fragment wzoru, nigdy nie będziemy mieć pewności, że nasza konstrukcja jest identyczna z tą na drzwiach, ale próbować warto.

Na rycinie mamy pokazany jeszcze raz wzór z drzwi oraz dorysowaną na nim teselację, a właściwie jej fragment. Tu możemy się domyślić, że mamy dwa dwunastokąty o wspólnym boku oraz dwa trójkąty przyległe do dwunastokątów. Pomiędzy trójkątami widoczny jest fragment figury, która może być kwadratem. Prawa strona teselacji jest prawdopodobnie symetryczna z lewą stroną.

Teselacja

Tu pokazana jest możliwie najprostsza teselacja, odpowiadająca pokazanemu wcześniej fragmentowi drzwi. Nie wykluczam, że Czytelnik znajdzie kilka innych teselacji zawierających pokazany tu fragment w czarnym kwadracie. Niemniej dla naszych potrzeb pokazana tu teselacja jest w pełni wystarczająca. Wypełniamy wzorem ćwiartki obu dwunastokątów, oba trójkąty oraz ćwiartki kwadratów. Do wypełnienia wielokątów wykorzystujemy wzory pokazane na rycinie z geometrią typu C. Jak pamiętamy, można to zrobić na dwa sposoby. My wybieramy rozetę pokazaną z prawej strony oraz proste wypełnienia kwadratu i trójkąta. To wystarczy do tego, aby odtworzyć wzór podobny do tego na drzwiach.

Rekonstrukcja wzoru z drzwi meczetu Al Rifa’i z Kairu

Pokazany tu gereh powstał z czterech kopii teselacji wypełnionej wzorem. Zauważmy, że użyliśmy tu dokładnie takiego samego wypełnienia wzorem jak na fotografii. Możemy jednak pokusić sięi wypełnić tę samą teselację zupełnie innymi wypełnieniami, spełniającymi warunki geometrii typu C. O tym jednak za chwilę

Pokazany przed chwilą wzór jest arcydziełem egipskiej sztuki snycerskiej. Jednakże jego bardziej kompletną strukturę możemy zobaczyć, pokrywając nim większy fragment płaszczyzny.

Wzór z drzwi meczetu Al. Rifa’i z Kairu

Tym razem mamy pokazany gereh pokrywający większy fragment płaszczyzny. Tu widać, jaki wpływ na wzór mają symetrie poszczególnych wielokątów foremnych. Szczególnie ciekawie wyglądają fragmenty zbudowane w dwunastokącie i w otoczeniu kwadratu.

Do gerehu z drzwi w meczecie Al Rifa’i wrócimy za chwilę, kiedy zbudujemy go, korzystając z innej interpretacji rozety. Zanim przejdziemy do kolejnych przykładów, przypomnijmy jeszcze pochodzenie nazwy meczetu, z którego pochodzi ten gereh.

Al-Rifa`i (1118–1181/2) urodził się w Iraku. Jego pełne imię jest równie malownicze jak okres, w którym przyszło mu żyć: Ahmad ibn `Ali ar-Rifa`i (أحمد بن علي الرفاعي), czyli Ahmad syn Alego ar Rifa’i. Al-Rifa’i jest znany jako twórca zakonu Rifa'i Sufi. Jego grób i sanktuarium znajdują się w pobliżu Tal Afar w północnym Iraku. Powszechnie uważa się go za jednego ze świętych islamu. Stąd nazwa meczetu w Kairze.

 

Projekt 3.7

Jak już zauważyliśmy, każda teselacja wielokątami foremnymi może posłużyć do stworzenia gerehu z użyciem dotychczas poznanych elementów. Pewne z tych teselacji są na tyle proste, że utworzenie gerehu wymaga niewiele pracy, inne zaś będą wymagały znacznie więcej czasu zarówno na skonstruowanie teselacji, jak i na wypełnienie jej wzorem. W naszym przypadku chcemy pokazać, jak wygląda duża rozeta w otoczeniu mniejszych elementów.

Teselacja do projektu 3.7

Tym razem nasza teselacja jest nieco bardziej złożona niż ta z poprzedniego projektu. Mamy tu dwie rozety, trzy kwadraty oraz osiem trójkątów. To wystarcza do tego, aby stworzyć stosunkowo złożony gereh, niewymagający jednak zbyt wiele pracy.

Wzór z wykorzystanie geometrii typu C

Na rycinie pokazany jest jeden z wielu możliwych wyników tego projektu. Tu użyliśmy 16 kopii naszego szablonu. Można wziąć ich więcej lub mniej. To zależy tylko od tego ile mamy czasu na ten projekt. Możemy użyć również drugiego typu rozety z geometrii typu C. Te eksperymenty pozostawiam Czytelnikom.

Gwiazda z mauzoleum Amir Sungur Sa’di

Ta gwiazda zbudowana jest na siatce trójkątów równobocznych. Zauważmy, że siatka ta może być wykorzystana do wykonania kilku innych deseni wypełniających sześciokąt foremny.

Tak skonstruowana gwiazda jest szczególnie przydatna do budowy ornamentów teselacji składającej się wyłącznie z sześciokątów foremnych. Aczkolwiek możemy skonstruować rozetę wykorzystującą ten sam motyw. Jej konstrukcja jest pokazana na kolejnej rycinie.

Tak utworzona rozeta prawdopodobnie nigdy nie została użyta, ale nic nie stoi na przeszkodzie, aby ją wykorzystać. W ten sposób otrzymany nową wersję gerehu z meczetu Al-Rifa’i oraz wielu innych.

 

Projekt 3.8

Wykonaj gereh wykorzystujący pokazaną tu teselację i gwiazdę z mauzoleum Amir Sungur Sa’di.

W Maghrebie istnieje pewien szczególny typ rozety, która może być bardzo prosto skonstruowana na dwunastokącie foremnym. Deseń tej rozety będziemy określać jako „młotkowy”, jako że jego elementy są nieco podobne do młotków. Rozety tego typu pojawiają się czasami w różnych mozaikach na ścianach budowli.

Schemat konstrukcji rozety młotkowej

Na rycinie mamy pokazany dwunastokąt foremny i motyw wpisany w jeden z trójkątów, na które podzieliliśmy dwunastokąt. Dwie ciągłe czarne linie oraz okrąg wyznaczają kształt płatka rozety. Zauważmy, że czarne ciągłe linie przechodzą odpowiednio przez dwa wierzchołki i środki dwóch boków dwunastokąta. Płatek rozety ma szerokość równą dwóm odległościom pomiędzy czarnymi ciągłymi liniami. Linie przerywane przechodzące przez czerwony duży punkt mogą przecinać się pod dowolnym kątem. Tu 60 stopni. Linie przerywane służą tylko jako siatka do narysowania płatka rozety. Powtarzając ten motyw w pozostałych częściach dwunastokąta, otrzymamy rozetę młotkową.

Rozeta młotkowa

Ten rodzaj rozety występuje głównie w Maroku, a w różnych albumach można znaleźć kilka jej wariantów. Jeden z nich zobaczymy na okładce książki, której autorem jest Bourgoin. Ciekawostką jest, że w samej książce tej rozety nie znajdziemy. Przypuszczalnie wydawca zdecydował o użyciu tej rozety, aby uatrakcyjnić jej szatę graficzną.

Podobną rozetę pokazuje Prisse d’Avennes w swojej książce na stronie 109. U niego jednak krawędzie płatków rozety nie są równoległe.

Rozeta młotkowa jest popularnym elementem wzorów geometrycznych zarówno w Maroku, jak i Andaluzji, czyli południowej Hiszpanii. Tam najczęściej występuje w postaci cerami...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy