Możemy sobie wyobrazić, że linie wzoru budowanego na wielokącie foremnym wychodzą z innego punktu niż środek boku wielokąta. W takim razie, ze względu na konieczność zachowania symetrii wzoru wewnątrz wielokąta, powinniśmy założyć, że na krawędzi wielokąta mamy co najmniej dwa takie punkty i są one położone w tej samej odległości od środka boku. Takie założenie daje nam wiele swobody w wyborze punktów i konstrukcji wzoru. Oczywiście, wiele z tak skonstruowanych wzorów będziemy musieli odrzucić ze względów estetycznych. Tylko niektóre z nich będą odpowiadały naszym odczuciom estetycznym. W szczególności te wzory, w których mamy jednocześnie bardzo duże i bardzo małe puste przestrzenie, muszą być albo odrzucone, albo dodatkowo udekorowane tak, aby zmniejszyć różnice wielkości figur. Ponadto wybór punktów na krawędzi wielokąta może mieć wpływ na kształt figur występujących we wzorze. Mogą one być bardzo wąskie lub zbyt szerokie. Zanim zrobimy systematyczną analizę naszych możliwości, popatrzmy na jeden przykład, który pozwoli nam zrozumieć, o co tu chodzi.
Rozpatrzmy prostą teselację z sześciokątów foremnych, kwadratów i trójkątów równobocznych. Użyliśmy jej w jednym z projektów w tej serii artykułów.
POLECAMY
Prosta teselacja
Czerwony punkt na krawędzi kwadratu został wybrany zupełnie dowolnie. Może on być bliżej środka krawędzi lub dalej od niego. Takie położenie pierwszego punktu wymusza położenie wszystkich pozostałych punktów na krawędzi kwadratu. Zobaczmy teraz, co się stanie, gdy zaczniemy konstruować
prosty wzór wykorzystujący te właśnie punkty.
Różne wersje wzoru
Tu mamy pokazane przykładowe wypełnienie wzorem kwadratu i konsekwencje wyboru punktu na brzegu kwadratu. W każdym przypadku wzór wypełniający trójkąt jest dość trudny do zaakceptowania. Jeśli wybrane punkty są zbyt bliskie wierzchołków wielokątów, to we wzorze tworzą się długie i wąskie „korytarze”, których wolelibyśmy uniknąć.Ten przykład pokazuje również, że nie wszystkie teselacje wielokątami foremnymi będą się nadawały do zaprojektowania na nich wzoru.
Omówiony tu przykład ani nie wyczerpuje niedogodności związanych z takim podejściem do konstrukcji wzoru w teselacji wielokątów foremnych, ani też nie pokazuje zalet tej metody, aczkolwiek bez wątpienia mamy tu również pewne zalety.
Jednym z ważnych problemów do rozstrzygnięcia jest to, jak wzór będzie się kształtował na dużych wielokątach, czyli na dwunastokącie foremnym oraz sześciokącie. Tym właśnie zajmiemy się za chwilę.
Do naszego drugiego eksperymentu wykorzystamy dwunastokąt foremny. Na każdym z jego boków zaznaczymy punkty dzielące bok na części 1/4, 2/4 oraz 1/4. Podział boku na cztery równe części (środkowego punktu nie pokazujemy) jest stosunkowo wygodny dla wielu dalszych przykładów. Pamiętajmy, że punkty na boku wielokąta zawsze możemy wybrać inaczej i w paru przypadkach może to być również wygodne.
Na tak spreparowanym dwunastokącie poprowadzimy odcinki łączące punkty podstawy AB z punktami na bokach wielokąta, ale tak, aby się przecinały nad podstawą kolejno w punktach C, D, E, F oraz G. Dość łatwo można policzyć, że kąty w punktach przecięcia będą wynosiły, kolejno od dołu, 150, 120, 90, 60 oraz 30 stopni. Dalsze rysowanie odcinków już niewiele wnosi, bo zaczniemy otrzymywać duże puste przestrzenie wewnątrz dwunastokąta. Na rycinie dorysowaliśmy dwa odcinki równoległe wychodzące z podstawy. Wprawdzie one się nie przecinają, ale taki przypadek również warto rozważyć, gdyż możemy go wykorzystać do paru interesujących przykładów.
Elementy wzoru w dwunastokącie foremnym
Odcinki pokazane na tej rycinie mogą służyć jako schemat do konstrukcji kilku różnych wzorów w dwunastokącie foremnym. Te tworzące duże kąty w miejscu przecięcia odcinków będą zostawiały wewnątrz dwunastokąta duże puste przestrzenie, które będziemy mogli użyć do wpisania tam odpowiednio dużej rozety.
W każdym z pokazanych tu przypadków musimy w odpowiedni sposób skonstruować wzór w pozostałych wielokątach foremnych teselacji lub wzór w tych wielokątach uprościć tak, jak to tylko możliwe.
Oznaczenia pokazane na rycinie wykorzystamy do nazwania kolejnych wzorów w dwunastokącie foremnym. Będziemy więc mówić o geometrii XC (dla kąta 150 stopni) i dalej kolejno XD, XE, XF, XG oraz XH (dla odcinków równoległych).
Każdy z tych kątów będzie miał swoisty wpływ na estetykę wzoru. Pewne z nich będą bardziej atrakcyjne, a inne mniej. To wszystko będzie zależało od tego, jaki mamy układ wielokątów w teselacji. Na początek zajmiemy się geometrią XC, czyli tą, która wykorzystuje kąt 150 stopni. To oznacza, że pewne kształty we wzorze będą bardzo spłaszczone. Dla przykładu, romb, w którym dwa przeciwległe kąty mają 150 stopni, będzie miał dwa pozostałe kąty równe 30 stopni. Dlaczego? Przypomnijmy – suma kątów w wielokącie o n bokach wynosi 180(n − 2). Dla rombu jest to 360 stopni. Mamy 360 − 2 ∙ 150 = 60 stopni, a to daje nam dwa kąty po 30 stopni.
Projekt 3.17. Rozeta w geometrii XC (kąt 150 stopni)
Geometria do rozety w dwunastokącie
Zaczniemy od dwunastokąta foremnego. Początek jest prosty. Rysujemy wszystkie możliwe odcinki łączące odpowiednie punkty sąsiednich krawędzi. Gdybyśmy pozostali tylko z tym, co widzimy na rycinie, to otrzymalibyśmy niezbyt interesujący wzór z dużą pustą przestrzenią w środku. Musimy zatem wypełnić środek dwunastokąta typową rozetą, jakie zazwyczaj widzimy na gerehu z lokalnymi symetriami D12. Taką rozetę konstruowaliśmy już co najmniej raz. Warto ją jednak pokrótce powtórzyć.
Konstrukcja elementu rozety
Jak zawsze, wystarczy skonstruować niewielki fragment rozety, a następnie go skopiować we wszystkie odpowiednie miejsca. W naszym przypadku konstruujemy fragment rozety znajdujący się w zaznaczonym trójkącie. Podstawa tego trójkąta przechodzi przez punkt przecięcia się odcinków łączących sąsiednie boki. Linie kreskowane są dwusiecznymi kątów trójkąta. Dwa okręgi przechodzące przez środek podstawy trójkąta służą do tego, aby otrzymać cztery równe krawędzie płatka rozety i, oczywiście, aby odpowiednie kąty były równe. To tyle. Teraz wystarczy skopiować tak otrzymany płatek rozety do pozostałych trójkątów.
Najtrudniejsze już za nami. Teraz musimy skonstruować wzory dla sześciokąta foremnego, kwadratu i trójkąta. To już będzie proste do wykonania.
Wzory w pozostałych wielokątach
Tu mamy pokazaną konstrukcję wzoru w sześciokącie foremnym. Wykorzystujemy dużą przestrzeń wewnątrz sześciokąta, aby zbudować tam rzadko spotykaną rozetę. Wzory w kwadracie i trójkącie nie wymagają specjalnych wyjaśnień. Wystarczy poprowadzić odcinki wychodzące z odpowiednich punktów na krawędzi wielokąta i przecinające się pod kątem 150 stopni, a następne pogrubić ich odpowiednie fragmenty. Zauważmy, że wzór w sześciokącie składa się z sześciu kopii wzoru z trójkąta.
Skoro mamy już gotowe elementy gerehu dla poszczególnych wielokątów, to możemy je wykorzystać do zrobienia kompletnego wzoru wykorzystującego te elementy.
Projekt 3.18. Gereh z geometrią XC (kąt 150 stopni)
Teselacja z czterema trójkątami
Tu mamy pokazaną dość skomplikowaną teselację z dwoma dużymi dwunastokątami oraz sześcioma małymi wielokątami i, oczywiście, dwa sześciokąty foremne. Nas będzie interesowało, jak będzie kształtował się wzór na pograniczu tych wielokątów. Ponieważ znamy już wszystkie elementy potrzebne do tego projektu, wystarczy wstawić je w odpowiednie miejsca i zobaczyć, co otrzymamy.
Konstrukcja wzoru na teselacji z czterema trójkątami
Wypełnienie teselacji wzorem pokazuje estetykę otrzymanego wzoru. Płaskie romby widoczne pomiędzy większymi elementami nie sprawiają najlepszego wrażenia. Sam wzór wygląda, jakby został wykonany z drutu kolczastego. To, oczywiście, można naprawić, dodając odpowiednie dekoracje, tak jak to zrobiliśmy na wzorze pokazanym na kolejnej rycinie.
Po tych rozważaniach możemy przystąpić do omawiania gerehów zbudowanych na wielokątach foremnych wykorzystujących pozostałe geometrie. Postępując systematycznie, będziemy w stanie obserwować, jak zmieniają się figury w centrum każdego wielokąta i co się dzieje na jego obrzeżu.
Projekt 3.19. Rozeta w geometrii XD (kąt 120 stopni)
Geometria typu XD pozwala nam na tworzenie znacznie ciekawszych wzorów niż ta poprzednia. Kąt 120 stopni daje nam bardziej wypukłe romby. Mamy tu bowiem kąt 360 – 2 ∙ 120 = 120, czyli dwa kąty po 60 stopni. Taki romb jest często wykorzystywany w konstrukcjach rozmaitych wzorów. Jak łatwo możemy się domyślić, rozeta wewnątrz dwunastokąta będzie nieco dalej odsunięta od brzegu. Zmieni się, niestety, wzór w pozostałych figurach – i to nie zawsze na lepszy.
Konstrukcja elementu rozety dla XD
Konstrukcja tej rozety jest bardzo podobna do tej z poprzedniego projektu. Zmienia się tylko kąt nachylenia linii łączących odpowiednie boki dwunastokąta. To sprawia, że otrzymujemy zupełnie inny kształt płatków rozety. Tym razem wyjątkowo brzegi płatków rozety nie są równoległe. To sprawia, że rozeta ma dość rzadko spotykany kształt przypominający kwiaty astrów. Ten kształt rozety był bardzo popularny wśród projektantów wzorów w Azji Centralnej1. Zwoje architektów z tego regionu zawierają liczne przykłady takich lub bardzo podobnych rozet. W przypadku gdy teselacja wzoru jest stosunkowo prosta, np. zawiera dwa dwunastokąty o wspólnej krawędzi i niewiele innych figur, to możemy dość łatwo uzupełnić wzór w pozostałych wielokątach. W takim przypadku możemy zrobić to, o czym już wspomniałem – zignorować te wielokąty zupełnie lub częściowo. Oznacza to, oczywiście, złamanie jednej z reguł budowy gerehu2. Na kolejnym przykładzie pokażemy, jak taki wzór można skonstruować.
Projekt 3.20. Prosty wzór z dwoma rozetami W GEOMETRII XD
Teselacja do projektu
Tu mamy jedną z najprostszych teselacji z ćwiartkami dwóch stycznych dwunastokątów foremnych. Pozostałe figury to połówki dwóch trójkątów równobocznych. W związku z brakiem innych figur projekt wzoru można uprościć do absolutnego minimum.
Konstrukcja wzoru
Na kolejnych rycinach pokazuję kolejne kroki konstrukcji wzoru. Mamy tu kolejno:
- teselację, w której dwunastokąty zostały wypełnione wzorem rozety. To jest dokładnie ta sama rozeta, którą skonstruowaliśmy w poprzednim projekcie;
- wypełnienie trójkątów wzorem. Tu widać, co miałem na myśli, pisząc, że można zignorować pewne figury. Krawędzie trójkątów nie zachowują się tu jak lustra, a raczej jak przejrzyste szyby – bez załamania linii i bez ugięcia się. Takie postępowanie jest wygodne w sytuacjach, gdy mamy trudne do wypełnienia wzorem wielokąty;
- kompletny szablon. Zauważmy, że na górnej i dolnej krawędzi pojawiły się połówki sześciokątów foremnych. To nie był zamierzony efekt.
Na ostatniej rycinie mamy już większy wzór wykonany z użyciem tego szablonu. Tym razem efekty graficzne sprawiły, że wzór wygląda bardziej atrakcyjnie. Tu możliwości dekoracji jest znacznie więcej, ale to już jest temat do zupełnie innego opracowania.
Obszar pomiędzy rozetami w tym projekcie jest marginalny. Można jednak inaczej skonstruować nasze rozety – tak aby były mniejsze – i w ten sposób rozszerzyć przestrzeń znajdującą się pomiędzy nimi. Oto, jak to możemy zrobić.
Projekt 3.21. Geometria XD inaczej (kąt 120 stopni)
Konstrukcja innej rozety w geometrii XD
Konstrukcja tej rozety wymaga użycia innego trójkąta wewnątrz dwunastokąta. Zauważmy, przez który punkt przechodzi podstawa zaznaczonego tu trójkąta. Jest to punkt położony bliżej środka dwunastokąta niż ten, którego użyliśmy w poprzedniej konstrukcji. Sama konstrukcja płatka rozety jest identyczna jak w wielu innych przypadkach. Na kolejnej rycinie mamy już kompletną rozetę wraz z obszarem ją otaczającym.
Projekt 3.22. Inny prosty wzór w geometrii XD
W tym projekcie pokażemy, jak będzie wyglądał wzór, w którym użyto tej drugiej rozety. Aby nie powtarzać teselacji z poprzedniego projektu, wykorzystamy teselację, w której mamy już wszystkie możliwe do wykorzystania wielokąty foremne. W związku z tym musimy zastanowić się, jak możemy wypełnić wzorem pozostałe figury.
Konstrukcja wzoru dla kwadratu i sześciokąta
W obu przypadkach wystarczy zaznaczyć odpowiednie punkty na brzegach obu figur oraz poprowadzić linie wychodzące z tych punktów i przecinające się pod kątem 120 stopni. Wzór w trójkątach będzie identyczny jak w poprzednim projekcie.
Teselacja i wzór w teselacji
W tej teselacji mamy, jak zazwyczaj, ćwiartki dwóch dwunastokątów, sześciokąty oraz kwadraty. Połówki dwóch trójkątów leżą na brzegu, więc możemy wypełniający je wzór znacznie uprościć.
Na kolejnej rycinie mamy pokazane, w jaki sposób wzór wypełnia poszczególne wielokąty. Zauważmy, że wzór w sześciokącie ma zbyt duże puste wnętrze. Można spróbować w jakiś sposób wzbogacić ten wzór. Ale to za chwilę.Wreszcie warto zauważyć, że w miejscach, gdzie są połówki trójkątów, pojawią się małe sześciokąty. Mamy więc sytuację podobną do tej z poprzedniego projektu.
Na następnej stronie mamy udekorowaną wersję wzoru zbudowanego z użyciem szablonu z tego projektu.
Duże puste przestrzenie wewnątrz sześciokątów mogą być trochę niepokojące dla osób o dużej wrażliwości estetycznej. Dlatego warto pomyśleć o tym, jak zapełnić je dodatkową dekoracją tak, aby uzyskać w miarę poprawny balans pustych elementów we wzorze, czyli zmniejszyć różnicę pola powierzchni pomiędzy elementami największymi i najmniejszymi. Ta obecnie może wydawać się zbyt duża. Oto prosty sposób na zapełnienie wzorem sześciokąta.
Nowa konstrukcja wzoru dla sześciokąta
Dzielimy na trzy części każdy bok wewnętrznego sześciokąta, rysujemy siatkę trójkątów i sześciokątów, usuwamy stare krawędzie sześciokąta i rysujemy nowy wzór.
Projekt 3.23. Duże i małe sześciokąty
W zasadzie trudno jest znaleźć teselację do geometrii XD taką, aby wszystkie elementy wzoru wykonanego na niej miały przynajmniej jedną oś symetrii. We wszystkich dotychczasowych projektach wzór końcowy miał jakieś elementy nieposiadające przynajmniej jednej osi symetrii lustrzanej. W tym projekcie zbudujemy wzór, w którym każdy element ma co najmniej jedną oś symetrii. Będzie to również pierwszy projekt w tym szkicu, w którym nie wykorzystujemy dwunastokąta foremnego z dużą rozetą w środku. Na początek teselacja. W tym projekcie wykorzystamy fragment teselacji zaznaczony na rycinie prostokątem o pogrubionych krawędziach. Ponieważ mamy już wykonane wszystkie elementy potrzebne do wypełnienia jej wzorem, za wyjątkiem trójkąta, to w gruncie rzeczy mamy niewiele do zrobienia. Kolejne ryciny pokazują kolejne kroki tworzenia wzoru.
Teselacja Ti Keplera
Pokazana tu teselacja jest jedną z najczęściej rozważanych przez matematyków. Składa się ona z nakładających się na siebie dwunastokątów foremnych tak, aby w ich częściach wspólnych można było wpisać kwadrat i dwa trójkąty. Każdy jej wierzchołek ma dokładnie ten sam typ 3.4.6.4. Rozważał ją również Kepler w swojej księdze Harmonices Mundi z 1619 r., gdzie oznaczył ją symbolem Ti. Własności tej teselacji były również badane w czasach późniejszych, a w matematyce szkolnej występuje ona jako jedna z teselacji archimedesowych. Zauważmy, że cała ta teselacja może być odtworzona z fragmentu, który zaznaczyliśmy tu prostokątem.
Na załączonych tu rycinach mamy pokazane wszystkie kroki na drodze do otrzymania wzoru w geometrii XD, w którym wszystkie elementy są symetryczne. Rycina poniżej pokazuje nam większy wzór zbudowany z teselacji Keplera Ti. Proponuję, aby Czytelnik policzył, ile kopii szablonu zostało użyte do otrzymania wzoru.
Projekt 3.24. Gereh na teselacji bez trójkątów
Zauważmy, że przy tworzeniu wzoru w geometrii XD najbardziej newralgicznym elementem jest trójkąt. Jak dotychczas, ignorowaliśmy trójkąt, traktując jego krawędzie jak kompletnie przezroczyste, czyli bez załamania „światła”. Znacznie trudniej jest tworzyć wzór, gdy mamy w teselacji dwa styczne trójkąty. Powstaje więc pytanie – czy mamy teselacje z wielokątów foremnych, w których nie ma trójkątów? Owszem, są takie, np. teselacja archimedesowa zbudowana z ośmiokątów foremnych i kwadratów. U Keplera jest to teselacja oznaczona literą V. Inną taką teselacją jest teselacja oznaczona u Keplera symbolem Ii. Jest to również teselacja archimedesowa z jednym typem wierzchołka, 4.6.12. Jak łatwo się domyślić z tego oznaczenia, składa się ona wyłącznie z dwunastokątów foremnych, sześciokątów foremnych i kwadratów. Celem tego projektu będzie wykonanie pokazanego tu gerehu zbudowanego na teselacji Ii Keplera.
Teselacja archimedesowa Ii
Na rycinie powyżej mamy pokazaną teselację archimedesową o jednym typie wierzchołka, 4.6.12. Proponuję, aby Czytelnik sprawdził, że rzeczywiście każdy wierzchołek ma tu ten typ. To taka powtórka o typach wierzchołków w teselacjach. Ciekawostką jest fakt, że jest to jedna z bardzo nielicznych teselacji wielokątami foremnymi bez trójkątów. Jakie są pozostałe? Na kolejnej rycinie mamy teselację Ii wypełnioną wzorem gerehu w geometrii XD. Tym razem zabrakło trójkątów, więc wypełniamy wielokąty, posługując się standardowymi motywami, które w tej chwili znamy już doskonale. Większy wzór wykonany z użyciem tego szablonu pokazaliśmy na początku tego projektu.
Projekt 3.25. Tym razem zagadka
W wielu narodach ozdobne kraty na oknach są traktowane jako forma sztuki. Tak było w Chinach, gdzie tzw. chińska krata była najczęściej skomplikowanym geometrycznym arcydziełem. Niestety, to już raczej historia. W krajach muzułmańskich dość często jeszcze spotykamy ozdobne kraty w oknach z jakimś motywem geometrycznym. Zazwyczaj nie mają one rozet. Mają natomiast proste elementy, powtarzające się rytmicznie. Zadaniem Czytelnika będzie samodzielne odtworzenie wzoru 2017.
- Wade D., Pattern in Islamic Art, The Overlook Press Woodstock, Nowy Jork 1976.
- Bourgoin J., Arabic Geometrical Pattern and Design, Dover Publications Inc., Nowy Jork 1973.
- Wade D., Pattern in Islamic Art, 1976 (//patterninislamicart.com/)
