Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka dawniej i dziś

8 lipca 2019

NR 39 (Lipiec 2019)

Wielokąty foremne i gereh (cz. 4)

0 91

W poprzednich częściach tego cyklu artykułów pokazaliśmy, w jaki sposób, wypełniając wielokąty foremne – trójkąt, kwadrat, sześciokąt i dwunastokąt – różnego rodzaju wzorami, możemy skonstruować gereh. Omówiliśmy pięć grup takich wzorów. Nazwaliśmy je umownie geometriami wzoru typu A, B, C, D i E. Wypełnienia wzorem w każdej z tych grup otrzymaliśmy, rysując linie wychodzące ze środków boków każdego z wymienionych wielokątów. Na zakończenie tych rozważań postawiliśmy pytanie – czy można konstruować wzory gerehu na teselacjach wielokątów foremnych w inny sposób? O tym opowiemy w tym właśnie artykule.

Możemy sobie wyobrazić, że linie wzoru budowanego na wielokącie foremnym wychodzą z innego punktu niż środek boku wielokąta. W takim razie, ze względu na konieczność zachowania symetrii wzoru wewnątrz wielokąta, powinniśmy założyć, że na krawędzi wielokąta mamy co najmniej dwa takie punkty i są one położone w tej samej odległości od środka boku. Takie założenie daje nam wiele swobody w wyborze punktów i konstrukcji wzoru. Oczywiście, wiele z tak skonstruowanych wzorów będziemy musieli odrzucić ze względów estetycznych. Tylko niektóre z nich będą odpowiadały naszym odczuciom estetycznym. W szczególności te wzory, w których mamy jednocześnie bardzo duże i bardzo małe puste przestrzenie, muszą być albo odrzucone, albo dodatkowo udekorowane tak, aby zmniejszyć różnice wielkości figur. Ponadto wybór punktów na krawędzi wielokąta może mieć wpływ na kształt figur występujących we wzorze. Mogą one być bardzo wąskie lub zbyt szerokie. Zanim zrobimy systematyczną analizę naszych możliwości, popatrzmy na jeden przykład, który pozwoli nam zrozumieć, o co tu chodzi. 

Rozpatrzmy prostą teselację z sześciokątów foremnych, kwadratów i trójkątów równobocznych. Użyliśmy jej w jednym z projektów w tej serii artykułów. 
 

Prosta teselacja
Czerwony punkt na krawędzi kwadratu został wybrany zupełnie dowolnie. Może on być bliżej środka krawędzi lub dalej od niego. Takie położenie pierwszego punktu wymusza położenie wszystkich pozostałych punktów na krawędzi kwadratu. Zobaczmy teraz, co się stanie, gdy zaczniemy konstruować 

 

 

 

prosty wzór wykorzystujący te właśnie punkty.

Różne wersje wzoru
Tu mamy pokazane przykładowe wypełnienie wzorem kwadratu i konsekwencje wyboru punktu na brzegu kwadratu. W każdym przypadku wzór wypełniający trójkąt jest dość trudny do zaakceptowania. Jeśli wybrane punkty są zbyt bliskie wierzchołków wielokątów, to we wzorze tworzą się długie i wąskie „korytarze”, których wolelibyśmy uniknąć.Ten przykład pokazuje również, że nie wszystkie teselacje wielokątami foremnymi będą się nadawały do zaprojektowania na nich wzoru.
 

Omówiony tu przykład ani nie wyczerpuje niedogodności związanych z takim podejściem do konstrukcji wzoru w teselacji wielokątów foremnych, ani też nie pokazuje zalet tej metody, aczkolwiek bez wątpienia mamy tu również pewne zalety.

Jednym z ważnych problemów do rozstrzygnięcia jest to, jak wzór będzie się kształtował na dużych wielokątach, czyli na dwunastokącie foremnym oraz sześciokącie. Tym właśnie zajmiemy się za chwilę.

Do naszego drugiego eksperymentu wykorzystamy dwunastokąt foremny. Na każdym z jego boków zaznaczymy punkty dzielące bok na części 1/4, 2/4 oraz 1/4. Podział boku na cztery równe części (środkowego punktu nie pokazujemy) jest stosunkowo wygodny dla wielu dalszych przykładów. Pamiętajmy, że punkty na boku wielokąta zawsze możemy wybrać inaczej i w paru przypadkach może to być również wygodne.

Na tak spreparowanym dwunastokącie poprowadzimy odcinki łączące punkty podstawy AB z punktami na bokach wielokąta, ale tak, aby się przecinały nad podstawą kolejno w punktach C, D, E, F oraz G. Dość łatwo można policzyć, że kąty w punktach przecięcia będą wynosiły, kolejno od dołu, 150, 120, 90, 60 oraz 30 stopni. Dalsze rysowanie odcinków już niewiele wnosi, bo zaczniemy otrzymywać duże puste przestrzenie wewnątrz dwunastokąta. Na rycinie dorysowaliśmy dwa odcinki równoległe wychodzące z podstawy. Wprawdzie one się nie przecinają, ale taki przypadek również warto rozważyć, gdyż możemy go wykorzystać do paru interesujących przykładów. 

Elementy wzoru w dwunastokącie foremnym
Odcinki pokazane na tej rycinie mogą służyć jako schemat do konstrukcji kilku różnych wzorów w dwunastokącie foremnym. Te tworzące duże kąty w miejscu przecięcia odcinków będą zostawiały wewnątrz dwunastokąta duże puste przestrzenie, które będziemy mogli użyć do wpisania tam odpowiednio dużej rozety.

W każdym z pokazanych tu przypadków musimy w odpowiedni sposób skonstruować wzór w pozostałych wielokątach foremnych teselacji lub wzór w tych wielokątach uprościć tak, jak to tylko możliwe.

 

Oznaczenia pokazane na rycinie wykorzystamy do nazwania kolejnych wzorów w dwunastokącie foremnym. Będziemy więc mówić o geometrii XC (dla kąta 150 stopni) i dalej kolejno XD, XE, XF, XG oraz XH (dla odcinków równoległych).

Każdy z tych kątów będzie miał swoisty wpływ na estetykę wzoru. Pewne z nich będą bardziej atrakcyjne, a inne mniej. To wszystko będzie zależało od tego, jaki mamy układ wielokątów w teselacji. Na początek zajmiemy się geometrią XC, czyli tą, która wykorzystuje kąt 150 stopni. To oznacza, że pewne kształty we wzorze będą bardzo spłaszczone. Dla przykładu, romb, w którym dwa przeciwległe kąty mają 150 stopni, będzie miał dwa pozostałe kąty równe 30 stopni. Dlaczego? Przypomnijmy – suma kątów w wielokącie o n bokach wynosi 180(n − 2). Dla rombu jest to 360 stopni. Mamy 360 − 2 ∙ 150 = 60 stopni, a to daje nam dwa kąty po 30 stopni.
 

Projekt 3.17. Rozeta w geometrii XC (kąt 150 stopni)

 

Geometria do rozety w dwunastokącie
Zaczniemy od dwunastokąta foremnego. Początek jest prosty. Rysujemy wszystkie możliwe odcinki łączące odpowiednie punkty sąsiednich krawędzi. Gdybyśmy pozostali tylko z tym, co widzimy na rycinie, to otrzymalibyśmy niezbyt interesujący wzór z dużą pustą przestrzenią w środku. Musimy zatem wypełnić środek dwunastokąta typową rozetą, jakie zazwyczaj widzimy na gerehu z lokalnymi symetriami D12. Taką rozetę konstruowaliśmy już co najmniej raz. Warto ją jednak pokrótce powtórzyć.

Konstrukcja elementu rozety
Jak zawsze, wystarczy skonstruować niewielki fragment rozety, a następnie go skopiować we wszystkie odpowiednie miejsca. W naszym przypadku konstruujemy fragment rozety znajdujący się w zaznaczonym trójkącie. Podstawa tego trójkąta przechodzi przez punkt przecięcia się odcinków łączących sąsiednie boki. Linie kreskowane są dwusiecznymi kątów trójkąta. Dwa okręgi przechodzące przez środek podstawy trójkąta służą do tego, aby otrzymać cztery równe krawędzie płatka rozety i, oczywiście, aby odpowiednie kąty były równe. To tyle. Teraz wystarczy skopiować tak otrzymany płatek rozety do pozostałych trójkątów.

 

Najtrudniejsze już za nami. Teraz musimy skonstruować wzory dla sześciokąta foremnego, kwadratu i trójkąta. To już będzie proste do wykonania.

Wzory w pozostałych wielokątach

 

 

 

Tu mamy pokazaną konstrukcję wzoru w sześciokącie foremnym. Wykorzystujemy dużą przestrzeń wewnątrz sześciokąta, aby zbudować tam rzadko spotykaną rozetę. Wzory w kwadracie i trójkącie nie wymagają specjalnych wyjaśnień. Wystarczy poprowadzić odcinki wychodzące z odpowiednich punktów na krawędzi wielokąta i przecinające się pod kątem 150 stopni, a następne pogrubić ich odpowiednie fragmenty. Zauważmy, że wzór w sześciokącie składa się z sześciu kopii wzoru z trójkąta.

 

 Skoro mamy już gotowe elementy gerehu dla poszczególnych wielokątów, to możemy je wykorzystać do zrobienia kompletnego wzoru wykorzystującego te elementy.

 

Projekt 3.18. Gereh z geometrią XC (kąt 150 stopni)

Teselacja z czterema trójkątami
Tu mamy pokazaną dość skomplikowaną teselację z dwoma dużymi dwunastokątami oraz sześcioma małymi wielokątami i, oczywiście, dwa sześciokąty foremne. Nas będzie interesowało, jak będzie kształtował się wzór na pograniczu tych wielokątów. Ponieważ znamy już wszystkie elementy potrzebne do tego projektu, wystarczy wstawić je w odpowiednie miejsca i zobaczyć, co otrzymamy.

 

 

Konstrukcja wzoru na teselacji z czterema trójkątami
Wypełnienie teselacji wzorem pokazuje estetykę otrzymanego wzoru. Płaskie romby widoczne pomiędzy większymi elementami nie sprawiają najlepszego wrażenia. Sam wzór wygląda, jakby został wykonany z drutu kolczastego. To, oczywiście, można naprawić, dodając odpowiednie dekoracje, tak jak to zrobiliśmy na wzorze pokazanym na kolejnej rycinie.

 

Po tych rozważaniach możemy przystąpić do omawiania gerehów zbudowanych na wielokątach foremnych wykorzystujących pozostałe geometrie. Postępując systematycznie, będziemy w stanie obserwować, jak zmieniają się figury w centrum każdego wielokąta i co się dzieje na jego obrzeżu.


Projekt 3.19. Rozeta w geometrii XD (kąt 120 stopni)

Geometria typu XD pozwala nam na tworzenie znacznie ciekawszych wzorów niż ta poprzednia. Kąt 120 stopni daje nam bardziej wypukłe romby. Mamy tu bowiem kąt 360 – 2 ∙ 120 = 120, czyli dwa kąty po 60 stopni. Taki romb jest często wykorzystywany w konstrukcjach rozmaitych wzorów. Jak łatwo możemy się domyślić, rozeta wewnątrz dwunastokąta będzie nieco dalej odsunięta od brzegu. Zmieni się, niestety, wzór w pozostałych figurach – i to nie zawsze na lepszy.
 

 

 
Konstrukcja elementu rozety dla XD
Konstrukcja tej rozety jest bardzo podobna do tej z poprzedniego projektu. Zmienia się tylko kąt nachylenia linii łączących odpowiednie boki dwunastokąta. To sprawia, że otrzymujemy zupełnie inny kształt płatków rozety. Tym razem wyjątkowo brzegi płatków rozety nie są równoległe. To sprawia, że rozeta ma dość rzadko spotykany kształt przypominający kwiaty astrów. Ten kształt rozety był bardzo popularny wśród projektantów wzorów w Azji Centralnej1. Zwoje architektów z tego regionu zawierają liczne przykłady takich lub bardzo podobnych rozet. W przypadku gdy teselacja wzoru jest stosunkowo prosta, np. zawiera dwa dwunastokąty o wspólnej krawędzi i niewiele innych figur, to możemy dość łatwo uzupełnić wzór w pozostałych wielokątach. W takim przypadku możemy zrobić to, o czym już wspomniałem – zignorować te wielokąty zupełnie lub częściowo. Oznacza to, oczywiście, złamanie jednej z reguł budowy gerehu2. Na kolejnym przykładzie pokażemy, jak taki wzór można skonstruować.
 

 

 Projekt 3.20. Prosty wzór z dwoma rozetami W GEOMETRII XD

Teselacja do projektu
Tu mamy jedną z najprostszych teselacji z ćwiartkami dwóch stycznych dwunastokątów foremnych. Pozostałe figury to połówki dwóch trójkątów równobocznych. W związku z brakiem innych figur projekt wzoru można uprościć do absolutnego minimum.
 

Konstrukcja wzoru
Na kolejnych rycinach pokazuję kolejne kroki konstrukcji wzoru. Mamy tu kolejno:

  • teselację, w której dwunastokąty zostały wypełnione wzorem rozety. To jest dokładnie ta sama rozeta, którą skonstruowaliśmy w poprzednim projekcie;
  • wypełnienie trójkątów wzorem. Tu widać, co miałem na myśli, pisząc, że można zignorować pewne figury. Krawędzie trójkątów nie zachowują się tu jak lustra, a raczej jak przejrzyste szyby – bez załamania linii i bez ugięcia się. Takie postępowanie jest wygodne w sytuacjach, gdy mamy trudne do wypełnienia wzorem wielokąty;
  • kompletny szablon. Zauważmy, że na górnej i dolnej krawędzi pojawiły się połówki sześciokątów foremnych. To nie był zamierzony efekt.
     

Na ostatniej...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy