Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka dawniej i dziś

8 lipca 2019

NR 39 (Lipiec 2019)

Wielokąty foremne i gereh (cz. 4)

0 7

W poprzednich częściach tego cyklu artykułów pokazaliśmy, w jaki sposób, wypełniając wielokąty foremne – trójkąt, kwadrat, sześciokąt i dwunastokąt – różnego rodzaju wzorami, możemy skonstruować gereh. Omówiliśmy pięć grup takich wzorów. Nazwaliśmy je umownie geometriami wzoru typu A, B, C, D i E. Wypełnienia wzorem w każdej z tych grup otrzymaliśmy, rysując linie wychodzące ze środków boków każdego z wymienionych wielokątów. Na zakończenie tych rozważań postawiliśmy pytanie – czy można konstruować wzory gerehu na teselacjach wielokątów foremnych w inny sposób? O tym opowiemy w tym właśnie artykule.

Możemy sobie wyobrazić, że linie wzoru budowanego na wielokącie foremnym wychodzą z innego punktu niż środek boku wielokąta. W takim razie, ze względu na konieczność zachowania symetrii wzoru wewnątrz wielokąta, powinniśmy założyć, że na krawędzi wielokąta mamy co najmniej dwa takie punkty i są one położone w tej samej odległości od środka boku. Takie założenie daje nam wiele swobody w wyborze punktów i konstrukcji wzoru. Oczywiście, wiele z tak skonstruowanych wzorów będziemy musieli odrzucić ze względów estetycznych. Tylko niektóre z nich będą odpowiadały naszym odczuciom estetycznym. W szczególności te wzory, w których mamy jednocześnie bardzo duże i bardzo małe puste przestrzenie, muszą być albo odrzucone, albo dodatkowo udekorowane tak, aby zmniejszyć różnice wielkości figur. Ponadto wybór punktów na krawędzi wielokąta może mieć wpływ na kształt figur występujących we wzorze. Mogą one być bardzo wąskie lub zbyt szerokie. Zanim zrobimy systematyczną analizę naszych możliwości, popatrzmy na jeden przykład, który pozwoli nam zrozumieć, o co tu chodzi. 

Rozpatrzmy prostą teselację z sześciokątów foremnych, kwadratów i trójkątów równobocznych. Użyliśmy jej w jednym z projektów w tej serii artykułów. 
 

Prosta teselacja
Czerwony punkt na krawędzi kwadratu został wybrany zupełnie dowolnie. Może on być bliżej środka krawędzi lub dalej od niego. Takie położenie pierwszego punktu wymusza położenie wszystkich pozostałych punktów na krawędzi kwadratu. Zobaczmy teraz, co się stanie, gdy zaczniemy konstruować 

 

 

 

prosty wzór wykorzystujący te właśnie punkty.

Różne wersje wzoru
Tu mamy pokazane przykładowe wypełnienie wzorem kwadratu i konsekwencje wyboru punktu na brzegu kwadratu. W każdym przypadku wzór wypełniający trójkąt jest dość trudny do zaakceptowania. Jeśli wybrane punkty są zbyt bliskie wierzchołków wielokątów, to we wzorze tworzą się długie i wąskie „korytarze”, których wolelibyśmy uniknąć.Ten przykład pokazuje również, że nie wszystkie teselacje wielokątami foremnymi będą się nadawały do zaprojektowania na nich wzoru.
 

Omówiony tu przykład ani nie wyczerpuje niedogodności związanych z takim podejściem do konstrukcji wzoru w teselacji wielokątów foremnych, ani też nie pokazuje zalet tej metody, aczkolwiek bez wątpienia mamy tu również pewne zalety.

Jednym z ważnych problemów do rozstrzygnięcia jest to, jak wzór będzie się kształtował na dużych wielokątach, czyli na dwunastokącie foremnym oraz sześciokącie. Tym właśnie zajmiemy się za chwilę.

Do naszego drugiego eksperymentu wykorzystamy dwunastokąt foremny. Na każdym z jego boków zaznaczymy punkty dzielące bok na części 1/4, 2/4 oraz 1/4. Podział boku na cztery równe części (środkowego punktu nie pokazujemy) jest stosunkowo wygodny dla wielu dalszych przykładów. Pamiętajmy, że punkty na boku wielokąta zawsze możemy wybrać inaczej i w paru przypadkach może to być również wygodne.

Na tak spreparowanym dwunastokącie poprowadzimy odcinki łączące punkty podstawy AB z punktami na bokach wielokąta, ale tak, aby się przecinały nad podstawą kolejno w punktach C, D, E, F oraz G. Dość łatwo można policzyć, że kąty w punktach przecięcia będą wynosiły, kolejno od dołu, 150, 120, 90, 60 oraz 30 stopni. Dalsze rysowanie odcinków już niewiele wnosi, bo zaczniemy otrzymywać duże puste przestrzenie wewnątrz dwunastokąta. Na rycinie dorysowaliśmy dwa odcinki równoległe wychodzące z podstawy. Wprawdzie one się nie przecinają, ale taki przypadek również warto rozważyć, gdyż możemy go wykorzystać do paru interesujących przykładów. 

Elementy wzoru w dwunastokącie foremnym
Odcinki pokazane na tej rycinie mogą służyć jako schemat do konstrukcji kilku różnych wzorów w dwunastokącie foremnym. Te tworzące duże kąty w miejscu przecięcia odcinków będą zostawiały wewnątrz dwunastokąta duże puste przestrzenie, które będziemy mogli użyć do wpisania tam odpowiednio dużej rozety.

W każdym z pokazanych tu przypadków musimy w odpowiedni sposób skonstruować wzór w pozostałych wielokątach foremnych teselacji lub wzór w tych wielokątach uprościć tak, jak to tylko możliwe.

 

Oznaczenia pokazane na rycinie wykorzystamy do nazwania kolejnych wzorów w dwunastokącie foremnym. Będziemy więc mówić o geometrii XC (dla kąta 150 stopni) i dalej kolejno XD, XE, XF, XG oraz XH (dla odcinków równoległych).

Każdy z tych kątów będzie miał swoisty wpływ na estetykę wzoru. Pewne z nich będą bardziej atrakcyjne, a inne mniej. To wszystko będzie zależało od tego, jaki mamy układ wielokątów w teselacji. Na początek zajmiemy się geometrią XC, czyli tą, która wykorzystuje kąt 150 stopni. To oznacza, że pewne kształty we wzorze będą bardzo spłaszczone. Dla przykładu, romb, w którym dwa przeciwległe kąty mają 150 stopni, będzie miał dwa pozostałe kąty równe 30 stopni. Dlaczego? Przypomnijmy – suma kątów w wielokącie o n bokach wynosi 180(n − 2). Dla rombu jest to 360 stopni. Mamy 360 − 2 ∙ 150 = 60 stopni, a to daje nam dwa kąty po 30 stopni.
 

Projekt 3.17. Rozeta w geometrii XC (kąt 150 stopni)

 

Geometria do rozety w dwunastokącie
Zaczniemy od dwunastokąta foremnego. Początek jest prosty. Rysujemy wszystkie możliwe odcinki łączące odpowiednie punkty sąsiednich krawędzi. Gdybyśmy pozostali tylko z tym, co widzimy na rycinie, to otrzymalibyśmy niezbyt interesujący wzór z dużą pustą przestrzenią w środku. Musimy zatem wypełnić środek dwunastokąta typową rozetą, jakie zazwyczaj widzimy na gerehu z lokalnymi symetriami D12. Taką rozetę konstruowaliśmy już co najmniej raz. Warto ją jednak pokrótce powtórzyć.

Konstrukcja elementu rozety
Jak zawsze, wystarczy skonstruować niewielki fragment rozety, a następnie go skopiować we wszystkie odpowiednie miejsca. W naszym przypadku konstruujemy fragment rozety znajdujący się w zaznaczonym trójkącie. Podstawa tego trójkąta przechodzi przez punkt przecięcia się odcinków łączących sąsiednie boki. Linie kreskowane są dwusiecznymi kątów trójkąta. Dwa okręgi przechodzące przez środek podstawy trójkąta służą do tego, aby otrzymać cztery równe krawędzie płatka rozety i, oczywiście, aby odpowiednie kąty były równe. To tyle. Teraz wystarczy skopiować tak otrzymany płatek rozety do pozostałych trójkątów.

 

Najtrudniejsze już za nami. Teraz musimy skonstruować wzory dla sześciokąta foremnego, kwadratu i trójkąta. To już będzie proste do wykonania.

Wzory w pozostałych wielokątach

 

 

 

Tu mamy pokazaną konstrukcję wzoru w sześciokącie foremnym. Wykorzystujemy dużą przestrzeń wewnątrz sześc...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy