Teselacje wielokątami foremnymi

Nie każdy z nas, kto zajmuje się teselacjami, zadaje sobie pytanie: teselacje – czy to jest matematyka, czy tylko rodzaj rozrywek matematycznych? Dla jednych z nas badanie teselacji to matematyka z dość poważnymi problemami do rozwiązania. Dla innych to po prostu rozrywka i w jakimś sensie rodzaj sztuki. Warto wspomnieć przy tej okazji, że istnieje ogromna liczba matematycznych puzzli wykorzystujących teselacje wielokątami, czasem foremnymi, a czasem zupełnie dowolnymi. Ta dwoistość zagadnienia sprawi, że czasem będziemy mówić o matematyce, zaś w wielu przypadkach będziemy schodzić na grunt rozrywek matematycznych, a dokładniej geometrycznych.

Wyobraźmy sobie, że mamy tylko kilka rodzajów płytek i z nich układamy teselację pewnego obszaru płaszczyzny. Oczywiście, nie jest to jedyna możliwość. Możemy przecież układać płytki na kuli, kolumnie w kształcie walca lub innej powierzchni. Naszym zbiorem kształtów mogą być np. trójkąt równoboczny i kwadrat. Zakładamy przy tym, że obie figury mają dokładnie tę samą długość boku, a teselacja jest teselacją krawędź do krawędzi. Jeśli będziemy mieć dostatecznie dużo płytek o takich kształtach, to możemy pokryć nimi dostatecznie duży fragment podłogi lub ściany – i to tak, aby płytki nie nakładały się na siebie i nie było pustych przestrzeni pomiędzy nimi. Byłaby to teselacja określonego, ale skończonego obszaru. Gdybyśmy mieli nieskończenie wiele płytek obu kształtów, to moglibyśmy pokryć całą płaszczyznę. Mielibyśmy wówczas teselację całej płaszczyzny. Jest to jednak tylko teoria, bo w praktyce nikt z nas nie posiada nieskończonej liczby płytek czy nieskończonej płaszczyzny, na której moglibyśmy takie płytki układać.

W tym miejscu doskonale widać dwa różne punkty widzenia. Przeciętny człowiek zadowoli się utworzeniem teselacji skończonego obszaru i nie będzie wnikał w to, czy można pokryć całą płaszczyznę takimi płytkami. Matematyk natomiast założy, że chociaż fizycznie problem pokrycia całej płaszczyzny nie jest wykonalny, to jednak warto sprawdzić rachunkowo, czy rozwiązanie takiego problemu istnieje. Tu pojawią się twierdzenia, kolejne pytania, hipotezy itd. Jednym słowem – powstanie jakaś teoria matematyczna. To, oczywiście, nie znaczy, że wspominany przeciętny człowiek nie ma o czym myśleć. Wyobraźmy sobie, że chcemy pokryć ścianę w łazience płytkami w kształcie kwadratu i trójkąta równobocznego. W takim przypadku musimy się zastanowić, czy te dwie figury pozwolą nam wykonać to zadanie. Jeśli tak, to na ile sposobów jest to możliwe? Pewne wzory są bardziej estetyczne niż inne. Ile płytek każdego rodzaju musimy kupić? Jeśli na dodatek jeden rodzaj płytek jest droższy od drugiego, to dochodzi nam problem minimalizacji wydatków. W przypadku ściany w łazience koszty są raczej niewielkie, ale już pokrycie teselacją z kilku płytek ściany na hali sportowej wymaga wielu obliczeń. Tam koszty mogą być znaczne.

Wspomniane tu dwa rodzaje płytek, trójkąt równoboczny i kwadrat, są dość proste i znamy wiele różnych teselacji płaszczyzny takimi płytkami. Jedną z nich pokazujemy na załączonej rycinie. Jest to teselacja oznaczona literą N u Keplera. Inne pojawią się na dalszych stronach tego szkicu. Zapytajmy w takim razie, czy możliwe jest pokrycie płaszczyzny płytkami mającymi kształt trójkąta równobocznego i pięciokąta foremnego? Zakładamy przy tym, że obie figury mają tę samą długość boku, a teselacja powinna być krawędź do krawędzi.
Proste eksperymenty pokażą, że w żaden sposób nie jesteśmy w stanie takiej teselacji stworzyć nawet na skończonej powierzchni. Cokolwiek byśmy nie robili, zawsze pomiędzy naszymi płytkami będą zostawały puste miejsca. Mamy więc hipotezę – nie można utworzyć teselacji płaszczyzny, mając tylko dwa wymienione powyżej kształty. Potrzebny jest jeszcze dowód tej hipotezy.

Przypuśćmy, że mamy zupełnie dowolny, ale skończony zestaw kształtów płytek, i próbujemy odpowiedzieć na to samo pytanie – czy możliwe jest, aby utworzyć teselację płaszczyzny, mając kolekcję płytek o takich kształtach? Okazuje się, że, jak dotychczas, matematycy nie stworzyli żadnej metody pozwalającej odpowiedzieć na to pytanie. Co więcej, nawet w przypadku, gdy nasz zbiór składa się tylko z jednego kształtu płytki, nie mamy żadnej ogólnej metody pozwalającej rozstrzygnąć, czy dany kształt pozwoli na zbudowanie teselacji całej płaszczyzny.

Istnieją trzy znane nam teselacje regularne. Omawia się je często w podręcznikach szkolnych. Są to teselacje zbudowane z trójkątów równobocznych, z kwadratów i sześciokątów foremnych. Teselacje te czasem określa się jako platońskie. Okazuje się, że nie ma więcej teselacji regularnych zbudowanych z jednego typu wielokątów foremnych. Dlaczego? O tym przekonamy się za chwilę.

Popatrzmy, dlaczego nie istnieją inne teselacje regularne. Na kolejnej rycinie mamy przykłady tego, co otrzymujemy przy próbie ułożenia teselacji monohedralnych z innych wielokątów foremnych. Zupełnie rozmyślnie użyliśmy tu terminu „monohedralnych”, a nie „regularnych”. To, co otrzymaliśmy, w żadnym przypadku regularne nie jest.

Choć żadna z pokazanych tu prób ułożenia teselacji regularnych z innych wielokątów foremnych nie powiodła się, to i tak mamy tu kilka ciekawych wniosków. Teselacja z pięciokątami foremnymi będzie możliwa do wykonania, jeśli dołożymy płytki w kształcie wydłużonych rombów. Nie będzie to dalej teselacja regularna ani nie będzie ona monohedralna, ale będzie to dość ładnie wyglądająca teselacja periodyczna, możliwa do wykorzystania w naszej łazience.

Pokazana tu teselacja z pięciokątami foremnymi nie jest jedyną teselacją wykorzystującą tę figurę. Proponuję, aby Czytelnik poszukał innych teselacji wykorzystujących pięciokąt foremny i pokazany tu romb.

Teselacja z siedmiokątami foremnymi da się również dość zręcznie poprawić przez dodanie wydłużonych ośmiokątów lub pięciokątów z jednym bokiem krótszym niż pozostałe. Proponuję Czytelnikowi sprawdzenie, czy istnieją inne teselacje płaszczyzny z siedmiokątem foremnym i pokazanym tu wydłużonym pięciokątem.

Pokazana wcześniej teselacja z ośmiokątami foremnymi, po dołożeniu kwadratów wypełniających puste przestrzenie pomiędzy ośmiokątami, będzie teselacją dihedralną. Mamy tu dwa rodzaje figur, przy czym obie są wielokątami foremnymi. Jest to jedna z teselacji występujących u Keplera. W jego dziele Harmonice Mundi, tom 2, jest ona oznaczona literą V.

Próby ułożenia teselacji regularnych z innymi wielokątami foremnymi również zakończą się niepowodzeniem, ale i tak warto zobaczyć, co otrzymamy za każdym razem. Eksperymenty takie mogą być bardzo interesujące. Na kolejnej stronie jest umieszczony szablon kilku ważniejszych wielokątów foremnych. Proponuję Czytelnikowi skopiowanie poszczególnych wielokątów na karton, wycięcie ich i sprawdzenie, co otrzyma, próbując wykonać teselacje np. z dziewięciokątem foremnym czy dziesięciokątem foremnym.

Zastanówmy się przez chwilę, dlaczego pewne wielokąty foremne pozwalają nam ułożyć teselację na płaszczyźnie, a inne nie, i kiedy ma to miejsce? Znany nam z matematyki szkolnej wzór podaje, że kąt wewnętrzny w wielokącie foremnym o n bokach wynosi 180(n−2)/n  stopni. To łatwo możemy udowodnić, korzystając z rysunku. Dzielimy nasz wielokąt foremny na trójkąty jak na rysunku załączonym poniżej. Suma kątów każdego trójkąta wynosi 180 stopni. To oznacza, że suma kątów wewnętrznych wielokąta wynosi 180n–360 stopni. Natomiast kąt wewnątrz wielokąta jest równy 180(n−2)/n stopni.

Wyobraźmy sobie teraz punkt, który jest wspólnym wierzchołkiem k wielokątów foremnych o bokach kolejno n1, n2, … , nk. Przy czym wielokąty te nie nakładają się na siebie i nie zostawiają pustych miejsc.
Korzystając z podanego przed chwilą wzoru, otrzymamy równanie:

\(\frac{n_{1}-2}{n_{1}}+...+\frac{n_{k}-2}{n_{k}}=2\)

Równanie to ma dokładnie 17 możliwych rozwiązań, np. {3, 3, 3, 3, 3, 3}, {3, 3, 3, 3, 6}, …, odpowiadających różnym typom wierzchołków. Aby ułatwić sobie rozważania, możemy oznaczyć te wierzchołki w odpowiedni sposób. Dla przykładu wierzchołek, w którym spotykają się trzy trójkąty i dwa kwadraty, oznaczymy wzorem 3.3.3.4.4 albo 33.42 i będziemy mówić, że dany wierzchołek ma typ 3.3.3.4.4. Podane tu liczby oznaczają liczby boków wielokąta wyliczane kolejno, poczynając od wielokąta o najmniejszej liczbie boków, i wypisywane są w kierunku odwrotnym do ruchu wskazówek zegara. Zauważmy, że rozwiązaniu {3, 3, 3, 4, 4} odpowiadają dwa różne ułożenia wielokątów wokół wspólnego wierzchołka – 3.3.3.4.4 lub 3.3.4.3.4. To oznacza, że pewne rozwiązania odpowiadają dwóm różnym typom wierzchołków. W sumie otrzymujemy dokładnie 21 możliwych typów wierzchołków.

Skoro już wiemy tak wiele o różnych typach wierzchołków, to sprawdźmy, jakie mamy możliwe typy wierzchołków i które z nich mogą występować w teselacjach z wielokątami foremnymi. W tabeli mamy wyliczone wszystkie rozwiązania równania i obok nich odpowiadające im typy wierzchołków. Zauważmy, którym rozwiązaniom odpowiadają dwa różne typy wierzchołków.

Na kolejnej rycinie pokażemy rysunki niektórych z wymienionych tu typów wierzchołków.

W matematyce znajdziemy różne klasyfikacje teselacji wielokątami foremnymi oraz wiele twierdzeń dotyczących tych teselacji. Już wcześniej wspomnieliśmy o trzech teselacjach określanych jako regularne lub platońskie. Wykorzystują one tylko jeden rodzaj wielokąta i każdy wierzchołek w tych teselacjach ma ten sam typ. Są to: teselacja trójkątami foremnymi, w której każdy wierzchołek ma typ 3.3.3.3.3.3, teselacja kwadratami z wierzchołkami typu 4.4.4.4 oraz teselacja sześciokątami foremnymi z wierzchołkami typu 6.6.6.

Jak można się domyślić, patrząc na rycinę z typami wierzchołków, powinniśmy mieć 11 teselacji archimedesowych. Trzy z nich, te platońskie, już pokazaliśmy wcześniej. Spróbujmy teraz narysować pozostałe 8 teselacji archimedesowych. Są one ważne z wielu powodów. Jednym z nich jest fakt, że korzystając z tych teselacji, możemy skonstruować między innymi niezliczoną grupę gerehów, czyli ornamentów geometrycznych występujących w sztuce islamu. Zauważmy przy tym, że wspomniane ornamenty geometryczne są niczym innym jak desenie, o których pisał prof. Jaśkowski.

Pozostałe teselacje półregularne wykorzystują dwunastokąt foremny lub ośmiokąt również foremny. Oto one.

Pokazane na rycinach teselacje, włącznie z pokazanymi wcześniej teselacjami platońskimi, tworzą grupę teselacji archimedesowych, czyli mają tylko jeden typ wierzchołka. Te pokazane tu są zbudowane z dwóch lub więcej wielokątów foremnych, podczas gdy teselacje platońskie wykorzystują tylko jeden wielokąt foremny.

Matematycy rozważają wiele innych typów teselacji wielokątami foremnymi. Dla przykładu możemy mówić o teselacjach z dwoma typami wierzchołków, trzema i więcej. Tu nasz świat teselacji rozrasta się błyskawicznie. Okazuje się, że i tu mamy wielkie białe plamy i wiele pracy dla matematyków – zarówno tych zawodowych, jak i amatorów. Popatrzmy, jak to wygląda. Załóżmy, że k oznacza liczbę różnych typów wierzchołków w teselacji, natomiast T(k) liczbę teselacji z dokładnie k różnymi typami wierzchołków. Policzono lub odwodniono, że:

T(1) = 11; T (2) = 20, T(3) = 61, T (4) = 151, 
T(5) = 332, T(6) = 673.

Na tym kończy się nasza wiedza. Nie znamy wartości funkcji T(k) dla wartości k większych niż 6. To, oczywiście, nie zmienia faktu, że wśród teselacji o dużej liczbie różnych typów wierzchołków są teselacje o niezwykłej urodzie. Na kolejnych rycinach pokażę tylko kilka wybranych teselacji dla k o wartości 2 lub więcej. Czytelnik zainteresowany tematem może znaleźć więcej zarówno informacji, jak i przykładów na stronie Wikipedii w angielskiej wersji (Euclidean). Niestety, polska wersja tej strony nie istnieje. Wiele przykładów teselacji dla niższych wartości k zamieszcza Darel Chavey (1989).

Na załączonych rycinach pokazałem kilka z ciekawszych teselacji wielokątami foremnymi wypukłymi z więcej niż jednym typem wierzchołka. Prostokąty oznaczone jasną linią są wystarczające do tego, aby utworzyć teselację całej płaszczyzny za pomocą odbić lustrzanych względem ich krawędzi. Każda z opisanych w tym szkicu teselacji może być użyta jako teselacja gerehu (Majewski 2017).
Na zamieszczonej powyżej rycinie pokazałem gereh wykonany na jednej z teselacji opisanych w tym szkicu. Czytelnikowi pozostawiam odgadnięcie, na której. Takimi właśnie gerehami zajmiemy się w kolejnym szkicu.

Bibliografia:

1. Euclidean Tilings by convex regular polygons, dostęp 2.02.2018, //en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_tilings_by_convex_regular_polygons.
2. Chavey D., Tilings by Regular Polygons – II, „Computers Math. Applications”. 17(1–3)/1989, s. 147–165.
3. Grunbaum B., Shephard G.C., Tilings and Patterns, an introduction, Freeman and Company, New York 1989.
4. Jaśkowski S., O symetrii w zdobnictwie i przyrodzie, PZWS, Warszawa 1952.
5. Majewski M., Szkice o geometrii i sztuce: gereh – geometria w sztuce islamu, Wydawnictwo Aksjomat, Toruń 2017.