Teselacje wielokątami foremnymi

Nie każdy z nas, kto zajmuje się teselacjami, zadaje sobie pytanie: teselacje – czy to jest matematyka, czy tylko rodzaj rozrywek matematycznych? Dla jednych z nas badanie teselacji to matematyka z dość poważnymi problemami do rozwiązania. Dla innych to po prostu rozrywka i w jakimś sensie rodzaj sztuki. Warto wspomnieć przy tej okazji, że istnieje ogromna liczba matematycznych puzzli wykorzystujących teselacje wielokątami, czasem foremnymi, a czasem zupełnie dowolnymi. Ta dwoistość zagadnienia sprawi, że czasem będziemy mówić o matematyce, zaś w wielu przypadkach będziemy schodzić na grunt rozrywek matematycznych, a dokładniej geometrycznych.

Wyobraźmy sobie, że mamy tylko kilka rodzajów płytek i z nich układamy teselację pewnego obszaru płaszczyzny. Oczywiście, nie jest to jedyna możliwość. Możemy przecież układać płytki na kuli, kolumnie w kształcie walca lub innej powierzchni. Naszym zbiorem kształtów mogą być np. trójkąt równoboczny i kwadrat. Zakładamy przy tym, że obie figury mają dokładnie tę samą długość boku, a teselacja jest teselacją krawędź do krawędzi. Jeśli będziemy mieć dostatecznie dużo płytek o takich kształtach, to możemy pokryć nimi dostatecznie duży fragment podłogi lub ściany – i to tak, aby płytki nie nakładały się na siebie i nie było pustych przestrzeni pomiędzy nimi. Byłaby to teselacja określonego, ale skończonego obszaru. Gdybyśmy mieli nieskończenie wiele płytek obu kształtów, to moglibyśmy pokryć całą płaszczyznę. Mielibyśmy wówczas teselację całej płaszczyzny. Jest to jednak tylko teoria, bo w praktyce nikt z nas nie posiada nieskończonej liczby płytek czy nieskończonej płaszczyzny, na której moglibyśmy takie płytki układać.

W tym miejscu doskonale widać dwa różne punkty widzenia. Przeciętny człowiek zadowoli się utworzeniem teselacji skończonego obszaru i nie będzie wnikał w to, czy można pokryć całą płaszczyznę takimi płytkami. Matematyk natomiast założy, że chociaż fizycznie problem pokrycia cał...