Przypomnijmy krótko geometrie gerehów zbudowanych na wielokątach foremnych i omówionych w poprzednich częściach tego szkicu. Każda z tych geometrii wykorzystywała inny wielokąt foremny. To pokazujemy na załączonej
rycinie. Zauważyliśmy również, że poszczególne typy różnią się tylko tym, w jaki sposób linie wzoru wchodzą do wielokąta. Mieliśmy kolejno: 60 stopni pomiędzy liniami (typ A), 90 stopni (typ B) oraz 120 stopni (typ C). Zauważmy, że nie operowaliśmy bezpośrednio kątami. Nasze kąty zależały od figury, której jako pierwszej użyliśmy do wypełniania wzorem. To też pokazane zostało na rycinie.
Dotychczas omówiliśmy zaledwie niewielki fragment tematu gerehów na wielokątach foremnych. Warto zbadać, co się stanie, gdy nasz kąt będzie inny niż te wymienione. Kolejna rycina pokazuje, że powinniśmy wziąć pod uwagę jeszcze co najmniej dwie możliwości. Są to kąt 150 stopni
oraz kąt 30 stopni, niemający odpowiednika w żadnym z wielokątów foremnych. Te dwa przypadki postaramy się zbadać w tej części szkicu.
POLECAMY
Kąty pomiędzy poszczególnymi siecznymi wyznaczają sposoby tworzenia gerehu w wielokątach foremnych. Dotychczas omówiliśmy gerehy otrzymane w wyniku użycia kątów 60, 90 i 120 stopni. Kąt 150 stopni, pomiędzy odcinkami BI oraz BJ, jest bardzo szeroki, ale stosunkowo wygodny do tworzenia wzoru. Natomiast kąt 30 stopni będzie znacznie trudniejszy w użyciu.
Geometria wzoru typu D
Kontynuując dotychczasowe oznaczania, geometrią typu D dla gerehu zbudowanego na wielokątach foremnych będziemy określać rodzaj wzoru powstający przez połączenie odcinkami środków sąsiednich boków dwunastokąta foremnego.
Na rycinie mamy pokazane cztery wielokąty foremne i najprostsze sposoby wypełnienia ich wzorem zgodnym z linią łączącą środki sąsiednich boków dwunastokąta foremnego.
Zauważmy, że każdy z pokazanych na rycinie wielokątów foremnych ma w środku dużą pustą przestrzeń. Aby wzór miał jakieś walory estetyczne, należy wypełnić ją drobniejszymi elementami. To otwiera nam drogę do wielu ciekawych improwizacji geometrycznych. Niektóre z nich omówimy za chwilę. Zaczniemy od najważniejszego wielokąta, czyli dwunastokąta foremnego.
Na rycinie mamy pokazaną konstrukcję jednego płatka rozety. Zauważmy, że wielokąt został podzielony na trójkąty równoramienne. Proste, o kolorze niebieskim, przechodzą przez środki sąsiednich boków dwunastokąta. Dwa okręgi odkładają połowę długości boku dwunastokąta na krawędziach trójkąta. Półproste przerywane są dwusiecznymi odpowiednich kątów. Dzięki takiej konstrukcji kąty BAD i BCD są równe i odcinki AD oraz DC również są równe.
Tu mamy pokazaną kompletną rozetę. Jej poszczególne płatki mają równoległe brzegi i tworzą w części wewnętrznej kąty proste. To sprawia, że poszczególne elementy mają ładne proporcje.Tak zbudowana rozeta często jest wykorzystywana przy projektowaniu gerehu z wielokątami foremnymi w tle. Zauważmy, że ta rozeta może być z łatwością rozbudowana w części środkowej. Wystarczy przedłużyć odcinki wzoru zbiegające się wewnątrz. Jest to jednak rozwiązanie rzadko stosowane ze względu na zbyt małe elementy wewnątrz rozety.
Kolejnymi elementami wymagającymi korekty są sześciokąt foremny i kwadrat. Trójkąt, ze względu na jego niewielką powierzchnię w stosunku do innych wielokątów o tej samej długości boku, może być pozostawiony bez zmian. Wzory w sześ-
ciokącie i kwadracie możemy uzupełnić tak, aby otrzymać małe rozety o symetriach odpowiednio D6 i D4.
Wzory w sześciokącie foremnym i kwadracie konstruujemy identycznie jak w dwunastokącie. W obu przypadkach konstrukcja jest przeprowadzona przy założeniu, że kąt pomiędzy linią wchodzącą do wielokąta (niebieska) i krawędzią wielokąta tworzy kąt 15 stopni ((180-150)/2). Pokazana tu rozeta w kwadracie jest rzadko stosowana, ale warto o niej pamiętać.
Niektórzy artyści tworzą wzory, wykorzystując tylko trójkąt i kwadrat wypełniony prostym wzorem, bez dodatkowych dekoracji czy modyfikacji. Kolejna rycina pokazuje właśnie taki wzór.
Boris Aldrige w swojej kompozycji wykorzystuje tylko trójkąty i kwadraty z bardzo prostym wypełnieniem. Zwróćmy uwagę na specyficzne przeplatanie się linii wzoru.
Jest to znakomita okazja do tego, aby spróbować odtworzyć wzór z płytki wraz z pokazanym tam przeplotem.
Na rycinie mamy pokazaną płytkę ceramiczną wykonaną przez angielskiego artystę, Borysa Aldrige’a. Płytka jest wykonana techniką lusterware, polegającą na stosowaniu metalicznej polewy na porcelanie. W wyniku tego procesu powierzchnia ceramiki mieni się tęczowymi barwami. Ten proces czasem określa się mianem iryzacja lub tęczowanie. Nazwa ta pochodzi z mitologii greckiej – od imienia bogini Iris, posłanki bogów, będącej personifikacją tęczy. Zdjęcie Borisa Aldrige’a użyte tu za zgodą autora.
Projekt 3.10 – wzór z płytki Borisa Aldrige’a
Celem tego projektu będzie odtworzenie wzoru z płytki pokazanej na poprzedniej rycinie. Na początek musimy wykonać kontur i teselację, a następnie wypełnić teselację odpowiednim wzorem.
Kontur ma tę samą proporcję, C(2/3), jak w wielu innych projektach z poprzednich szkiców. Teselacja powstaje dzięki podzieleniu przeciwległych kątów na 6 równych części, co pozwala na utworzenie ćwiartek dwóch dwunastokątów foremnych.
Wzór wykonany z kilkudziesięciu kopii szablonu wykonanego w tym projekcie. Zdumiewające jest, ile różnych kształtów możemy odkryć w tym wzorze.
Projekt 3.11 – wzór z płytki Borisa Aldrige’a z przeplotem
Cechą specyficzną wzoru na płytce Borisa Aldrige’a jest przeplot linii. Ponieważ wiele innych wzorów może być wykonanych dokładnie w taki sam sposób, warto popatrzeć, jak wygląda geometria takiego przeplotu i jak możemy go sobie zrobić.
Na początek popatrzmy, jak możemy skonstruować poszczególne elementy tego gerehu tak, aby otrzymać odpowiedni efekt na małą skalę.
Rysujemy w trójkącie równobocznym linie wzoru dokładnie tak, jak to zrobiliśmy w poprzednim projekcie. Tu zaznaczyłem je niebieskim kolorem. Następnie na jednej z krawędzi rysujemy mały okrąg. Tu jest to okrąg o średnicy równej 1/12 długości boku trójkąta. Rysujemy prostą przechodzącą przez środek boku i prostopadłą do jednej z linii wzoru. Tu oznaczyłem ją linią przerywaną. Wyznacza ona na okręgu dwa punkty przecięcia. Przez te punkty prowadzimy proste równoległe do linii wzoru. To samo powtarzamy z drugą linią wzoru, przechodzącą przez środek boku. Następnie pogrubiamy tylko te fragmenty na prostych równoległych, które znajdują się w zaznaczonym trójkącie. Otrzymany wzór, grube linie, obracamy o 120 stopni wokół środka trójkąta.
Podobnie jak dla trójkąta postępujemy w przypadku kwadratu. Tym razem konstruujemy wzór dla 1/4 kwadratu, a następnie obracamy go trzy razy wokół środka kwadratu o 90 stopni. Otrzymujemy rysunek wzoru identyczny z tym, który mamy na tej rycinie.
Tu ważna uwaga – we wzorach z przeplotem symetrie lustrzane nie działają. Po prostu wzory z przeplotem, jeśli są poprawnie zrobione, nie mają symetrii lustrzanych. Zatem dla trójkąta zamiast symetrii D3 mamy symetrię C3, dla kwadratu zamiast D4 mamy symetrię C4 i podobnie będzie dla innych wielokątów. To jednak jeszcze nie wszystko. Również cały szablon musi zostać zaadaptowany do nowej sytuacji, czyli do przeplotu.
Tu widać, dlaczego nie możemy korzystać z poprzedniego szablonu. Wszelkie symetrie lustrzane zepsują nam przeplot. Linie wzoru muszą iść na przemian – góra, dół. Tymczasem na krawędzi naszego konturu mamy do czynienia z figurami przeciętymi przez kontur na połowę. W tym momencie odbicie lustrzane względem brzegu konturu zepsuje symetrię C wzoru w tych figurach, natomiast przesunięcie wzoru o jakikolwiek wektor jest możliwe dopiero po wzięciu czterech kopii teselacji. Teselacja pokazana obok składa się z czterech kopii teselacji, której użyliśmy w poprzednim projekcie. Po wypełnieniu jej wzorem, wzór na lewej krawędzi idealnie dopasuje się z wzorem na prawej krawędzi. Podobnie górna i dolna krawędź będą pasowały do siebie. To oznacza, że musimy stworzyć szablon składający się z czterech kopii poprzedniego, a następnie układać wzór poprzez przesunięcia tego szablonu o długość jego krawędzi.
Na rycinie mamy pokazany wzór wstawiony do nowej teselacji. Tym razem, po obcięciu tej części wzoru, która znajduje się za brzegiem nowego konturu, otrzymamy szablon, w którym lewy i prawy brzeg do siebie pasują, oraz podobnie górny i dolny.
To pozwoli nam na wykonanie dowolnie dużego wzoru poprzez translację szablonu poziomo lub pionowo o długość jego krawędzi, tak jak na załączonej poniżej rycinie.
Wzory z przeplotem są bardzo atrakcyjne. Proponuję, aby Czytelnik spróbował zrobić jeszcze raz pewne z poprzednich projektów, ale tym razem właśnie z przeplotem.
Skoro już wiemy tak wiele o geometrii wzoru typu D, to czas, abyśmy zastosowali naszą wiedzę do wykonania naszego samodzielnego projektu.
Projekt 3.12
Na kolejnych rycinach mamy pokazaną teselację z dwoma sześciokątami foremnymi, dwoma kwadratami oraz czterema trójkątami. Obok natomiast pokazano przykładowy wzór wypełniający te wielokąty. Przy czym wykorzystano tu możliwie najprostsze elementy dla trójkąta i kwadratu.
Celem tego projektu jest samodzielne wykonanie konstrukcji geometrycznej pokazanej tu teselacji wraz z konturem i wypełnienie jej wzorem, tak jak to pokazano na rycinach. Konstrukcja konturu oraz teselacji do tego projektu jest dość interesującym zadaniem, przy założeniu, że zaczynamy od narysowania jednej z krawędzi konturu i w zależności od niej zbudowania całej reszty. Oczywiście, możemy sobie ułatwić zadanie – po prostu narysować jeden z pokazanych tu wielokątów i dobudować do niego pozostałe.
Mając pokazany tu szablon, czyli wzór znajdujący się w środku konturu zaznaczonego tu czarną linią, po usunięciu siatki teselacji z łatwością możemy utworzyć większy wzór, np. takie monstrum, jakie pokazano na załączonej dalej rycinie.
Pokazany tu gereh powstał z kilkunastu kopii szablonu wykonanego w tym projekcie. Nie ma w nim dużych rozet. To sprawia, że wzór jest w miarę jednorodny. Przy uważnym oglądaniu możemy wyróżnić sześcioramienne rozety. Dopiero potem zauważamy inne elementy. Taki wzór jest świetnym motywem dla projektowania tkanin.
Skoro tak pracowicie konstruowaliśmy dużą, dwunastoramienną rozetę w geometrii typu D, to warto pokazać, jak ją kiedyś wykorzystywano. Przykładów takich jest wiele. Znajdziemy je szczególnie często w sztuce i architekturze Egiptu. Kilka interesujących przykładów znajdziemy również w Turcji i Iranie.
Projekt 3.13 – drzwi z Egiptu
Na załączonej rycinie mamy pokazany fragment starych drzwi. Celem tego projektu będzie odtworzenie widniejącego na nich wzoru. Będziemy postępować tak, jak to zwykle powinniśmy czynić, gdy mamy do czynienia z nowym wzorem – na zdjęciu narysujemy sobie odpowiednie linie symetrii lustrzanej, dalej prawdopodobne linie teselacji, a następnie odtworzymy wzór rysując go bądź na papierze, bądź na komputerze.
Pokazany tu wzór oryginalnie ma formę pionową. Tu odwróciliśmy go o 90 stopni, aby lepiej zmieścić go na stronie. Duża rozeta na środku jest dominującym elementem. Pozostałe elementy tworzą jakieś mniej lub bardziej zagęszczone tło. Uważny Czytelnik z łatwością zauważy, że ten wzór wykorzystuje opisywaną tu geometrię wzoru typu D.
Skonstruujemy po kolei teselację, a następnie wypełnimy ją elementami opisywanymi w tym rozdziale.
Rysując na zdjęciu pokazane tu odcinki, możemy z łatwością domyślić się, jak powinna wyglądać teselacja tego gerehu. Ze względu na widoczne tu symetrie lustrzane wystarczy rozpatrywać 1/4 pokazanego tu wzoru.
Jak wynika z pokazanego tu rysunku, nasz kontur składa się z trzech części. Każda z nich jest prostokątem, którego przekątne, zaznaczone tu zielonym kolorem, są poprowadzone pod kątami 75 lub 30 stopni. Konstrukcję konturu zaczynamy od wspólnego boku AD i prostych prostopadłych do niego. Lewy dolny kąt dzielimy na 6 równych części i pierwsza, licząc od góry, sieczna wyznacza prawy koniec pierwszego od lewej prostokąta. Drugi od lewej prostokąt otrzymamy, dzieląc kąt przy wierzchołku E na 3 równe części. Podobnie konstruujemy ostatni prostokąt.
Zaczynamy od narysowania konturu i podzielenia jego przeciwległych kątów na 6 równych części. Proste tworzące kontur (zielony kolor) zostały pozostawione na rysunku. Dwa czerwone punkty posłużyły nam do narysowania ćwiartek dwunastokąta foremnego. Pozostałe elementy teselacji wynikają z pokazanej tu siatki.
Tak będzie wyglądał szablon dla wzoru pokazanego na drzwiach z Egiptu. Jako wypełnienia dla trójkąta i kwadratu mogliśmy wykorzystać również bardziej złożone motywy. Byłby to jednak już zupełnie inny wzór.
Tu już mamy gotową rekonstrukcję wzoru z drzwi z Egiptu.
Wzór z drzwi z Egiptu pokazuje, jak interesujące mogą być gerehy wykorzystujące wielokąty foremne i geometrię wzoru typu D. Dalsze eksperymenty z tą geometrią pozostawiam Czytelnikowi. Teraz czas na ostatnią z geometrii wymienionych na początku tego tekstu.
Geometria wzoru typu E
Geometria wzoru typu E jest ostatnią z geometrii omawianych w tej części szkicu. Jest ona dość trudna do zastosowania ze względu na bardzo ostre kąty.
Zacznijmy od konstrukcji wzoru dla dwunastokąta foremnego i od niego zbudujemy wzór na pozostałych wielokątach.
Tu mamy przykładową konstrukcję wzorów w poszczególnych wielokątach foremnych. Zaczynamy od dwunastokąta, łącząc liniami pokazane punkty na brzegu wielokąta. To daje nam gwiazdę o ostrych kątach. Dalej z dwunastokąta przechodzimy do sześciokąta foremnego i kwadratu, przedłużając odpowiednie odcinki wzoru z dwunastokąta. Wzór w trójkącie został wykonany dzięki przedłużeniu odpowiednich odcinków z sześciokąta i zastosowaniu reguł symetrii D3.
Zauważmy, że przy tak ostrym kącie dla dwunastokąta każdy z pozostałych wielokątów jest wypełniony gwiazdą o bardzo ostrych ramionach. To sprawia, że wzory w kwadracie i trójkącie mają w części środkowej bardzo małe elementy. Dzięki temu dość trudno będzie uzyskać poprawny balans pustych przestrzeni. Będziemy mieć w tym samym wzorze zarówno bardzo duże, jak i bardzo małe puste obszary jednocześnie. Niemniej możemy spróbować zrobić kilka interesujących kompozycji.
Projekt 3.14
Na początek rozpatrzmy następującą teselację.
Pokazana tu teselacja charakteryzuje się tym, że nie ma w niej dwunastokąta foremnego. Dzięki temu elementy wzoru będą stosunkowo małe i wzór będzie równomiernie wypełniał płaszczyznę. Kontur tej teselacji jest to znany nam z wcześniejszych szkiców kontur C(1/3). Do skonstruowania tej teselacji wystarczy zauważyć, że krótsza z siecznych kąta 90 stopni po podzieleniu jej na 3 równe części wyznaczy dwa sześciokąty foremne i trójkąt równoboczny.
Po wypełnieniu wzorem poszczególnych wielokątów teselacji otrzymujemy taki obraz. Teraz wystarczy usunąć zbędne elementy, czyli teselację i to, co znajduje się poza konturem. Otrzymamy szablon, który może nam posłużyć do utworzenia większego wzoru. Jeden z wielu wzorów możliwych do otrzymania z tego szablonu pokazuję poniżej. Tu pytanie do Czytelnika – ile kopii szablonu zostało użyte do stworzenia tego wzoru?
Projekt 3.15
Na rycinie mamy wzór, który powstał z użyciem figur skonstruowanych zgodnie z zasadami geometrii wzoru typu E. Proponuję, aby Czytelnik samodzielnie odnalazł wszystkie osie symetrii lustrzanej, a następnie odtworzył kontur i teselację do tego wzoru. Uwieńczeniem tych starań może być większy gereh, skonstruowany z kilkunastu powtórzeń szablonu.
Projekt 3.16
Skoro mamy wykonaną dużą gwiazdę wypełniającą dwunastokąt foremny, to warto pokazać, jak taka gwiazda komponuje się z dużo mniejszymi od niej elementami. W tym celu wykonamy dość prostą konstrukcję, na początek bardzo specyficznego konturu, a następnie teselacji z dwunastokątem foremnym. Wartość tego projektu polega na specyficznej, rzadko spotykanej przy wielokątach foremnych, konstrukcji konturu. Sama teselacja jest już stosunkowo prosta.
Jak zawsze, zaczynamy od narysowania podstawy konturu, tu jest to odcinek narysowany pogrubioną linią. Na jego końcach konstruujemy dwie proste prostopadłe do niego. Jeden z narożników dzielimy na 6 równych części. Następnie rysujemy prostą przechodzącą przez punkt przecięcia się pierwszej od dołu siecznej i prawej prostej prostopadłej oraz prostopadłą do drugiej siecznej. Jej punkt przecięcia się z trzecią sieczną, licząc od dołu, wyznacza górną krawędź konturu.
Dzielimy kontur odcinkami na cztery równe prostokąty, a następnie lewy górny i prawy dolny kąt dzielimy na 6 równych kątów (po 15 stopni). Kolorem czarnym oznaczyliśmy sieczne jednego kąta, a kolorem czerwonym sieczne drugiego kąta. Nie jest to niezbędne, ale znacznie ułatwia orientację w tej dość niecodziennej siatce.
Tu już widać, w jaki sposób może powstać ciekawa teselacja. Dwa okręgi, poprowadzone przez punkty przecięcia się odpowiednich siecznych z odcinkami dzielącymi kontur na 4 równe części, wyznaczają ćwiartki dwunastokątów foremnych. Przestrzeń pomiędzy dwunastokątami wypełniamy dwoma trójkątami.
Teraz w puste przestrzenie w prawym górnym i lewym dolnym rogu należy wpisać dwa kwadraty tak, aby wykorzystać znajdujące się tam kąty proste.
Na rycinie mamy pokazaną kompletną teselację wypełnioną wzorem. Tym razem te dwie duże gwiazdy dominują w tym wzorze. Pozostałe elementy są dużo mniejsze i w większej kompozycji będą stanowiły tło dla dużych gwiazd. Zauważmy, że wokół tych gwiazd tworzą się płatki niezbyt zgrabnych rozet. Tak jest na ogół w kompozycjach wykorzystujących wzory w kwadracie z tymi w trójkącie i sześciokącie. Było to również widoczne w poprzednich projektach.
Pokazany tu wzór powstał z szablonu wykonanego w tym projekcie. Mamy tu 4 x 4 kopie szablonu. Każda z dużych gwiazd wraz z otaczającymi ją bezpośrednio elementami tworzy dużą rozetę. Płatki tej rozety nie są identyczne, jak to miało miejsce przy innych konstrukcjach. Jest to naturalna konsekwencja łączenia w szablonie symetrii kwadratu i trójkąta równobocznego.
W tej i poprzednich częściach tego szkicu omówiliśmy ważniejsze typy geometrii wzoru zbudowanego na wielokątach foremnych przy założeniu, że linia wzoru w każdym z tych wielokątów wychodzi ze środka boku wielokąta. Czy można inaczej? Oczywiście, że tak, ale o tym przy innej okazji.
Bibliografia:
- Borgoin J., Arabic Geometrical Pattern and Design, Dover Publications Inc, Nowy Jork 1973.
- Majewski M., Szkice o geometrii i sztuce: gereh – geometria w sztuce islamu, Wydawnictwo Aksjomat, Toruń 2017.
