Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka dawniej i dziś

6 lutego 2019

NR 36 (Styczeń 2019)

Wielokąty foremne i gereh (cz. 3)

0 200

W poprzednich częściach tego szkicu pokazaliśmy, w jaki sposób, wypełniając wielokąty foremne – trójkąt, kwadrat, sześciokąt i dwunastokąt – różnego rodzaju wzorami możemy skonstruować gereh. Omówiliśmy trzy grupy takich wzorów. Nazwaliśmy je umownie geometriami wzoru typu A, B i C. Wypełnienia w typie A były zależne od linii łączących środki boków trójkąta równobocznego. Typ B otrzymaliśmy, łącząc liniami prostymi środki sąsiednich boków kwadratu. Wreszcie typ C otrzymaliśmy, łącząc środki sąsiednich boków sześciokąta foremnego. W tej części szkicu kontynuujemy nasze eksploracje.

Przypomnijmy krótko geometrie gerehów zbudowanych na wielokątach foremnych i omówionych w poprzednich częściach tego szkicu. Każda z tych geometrii wykorzystywała inny wielokąt foremny. To pokazujemy na załączonej 
rycinie. Zauważyliśmy również, że poszczególne typy różnią się tylko tym, w jaki sposób linie wzoru wchodzą do wielokąta. Mieliśmy kolejno: 60 stopni pomiędzy liniami (typ A), 90 stopni (typ B) oraz 120 stopni (typ C). Zauważmy, że nie operowaliśmy bezpośrednio kątami. Nasze kąty zależały od figury, której jako pierwszej użyliśmy do wypełniania wzorem. To też pokazane zostało na rycinie.
Dotychczas omówiliśmy zaledwie niewielki fragment tematu gerehów na wielokątach foremnych. Warto zbadać, co się stanie, gdy nasz kąt będzie inny niż te wymienione. Kolejna rycina pokazuje, że powinniśmy wziąć pod uwagę jeszcze co najmniej dwie możliwości. Są to kąt 150 stopni
oraz kąt 30 stopni, niemający odpowiednika w żadnym z wielokątów foremnych. Te dwa przypadki postaramy się zbadać w tej części szkicu.

Zależność geometrii gerehu od kąta dla poszczególnych wielokątów foremnych
Kąty pomiędzy poszczególnymi siecznymi wyznaczają sposoby tworzenia gerehu w wielokątach foremnych. Dotychczas omówiliśmy gerehy otrzymane w wyniku użycia kątów 60, 90 i 120 stopni. Kąt 150 stopni, pomiędzy odcinkami BI oraz BJ, jest bardzo szeroki, ale stosunkowo wygodny do tworzenia wzoru. Natomiast kąt 30 stopni będzie znacznie trudniejszy w użyciu.

Geometria wzoru typu D

Kontynuując dotychczasowe oznaczania, geometrią typu D dla gerehu zbudowanego na wielokątach foremnych będziemy określać rodzaj wzoru powstający przez połączenie odcinkami środków sąsiednich boków dwunastokąta foremnego.

Geometria wzoru typu D
Na rycinie mamy pokazane cztery wielokąty foremne i najprostsze sposoby wypełnienia ich wzorem zgodnym z linią łączącą środki sąsiednich boków dwunastokąta foremnego.

Zauważmy, że każdy z pokazanych na rycinie wielokątów foremnych ma w środku dużą pustą przestrzeń. Aby wzór miał jakieś walory estetyczne, należy wypełnić ją drobniejszymi elementami. To otwiera nam drogę do wielu ciekawych improwizacji geometrycznych. Niektóre z nich omówimy za chwilę. Zaczniemy od najważniejszego wielokąta, czyli dwunastokąta foremnego.

Konstrukcja płatka rozety
Na rycinie mamy pokazaną konstrukcję jednego płatka rozety. Zauważmy, że wielokąt został podzielony na trójkąty równoramienne. Proste, o kolorze niebieskim, przechodzą przez środki sąsiednich boków dwunastokąta. Dwa okręgi odkładają połowę długości boku dwunastokąta na krawędziach trójkąta. Półproste przerywane są dwusiecznymi odpowiednich kątów. Dzięki takiej konstrukcji kąty BAD i BCD są równe i odcinki AD oraz DC również są równe.
Kompletna rozeta
Tu mamy pokazaną kompletną rozetę. Jej poszczególne płatki mają równoległe brzegi i tworzą w części wewnętrznej kąty proste. To sprawia, że poszczególne elementy mają ładne proporcje.Tak zbudowana rozeta często jest wykorzystywana przy projektowaniu gerehu z wielokątami foremnymi w tle. Zauważmy, że ta rozeta może być z łatwością rozbudowana w części środkowej. Wystarczy przedłużyć odcinki wzoru zbiegające się wewnątrz. Jest to jednak rozwiązanie rzadko stosowane ze względu na zbyt małe elementy wewnątrz rozety.

Kolejnymi elementami wymagającymi korekty są sześciokąt foremny i kwadrat. Trójkąt, ze względu na jego niewielką powierzchnię w stosunku do innych wielokątów o tej samej długości boku, może być pozostawiony bez zmian. Wzory w sześ-
ciokącie i kwadracie możemy uzupełnić tak, aby otrzymać małe rozety o symetriach odpowiednio D6 i D4.

Konstrukcja wzoru w sześciokącie i kwadracie
Wzory w sześciokącie foremnym i kwadracie konstruujemy identycznie jak w dwunastokącie. W obu przypadkach konstrukcja jest przeprowadzona przy założeniu, że kąt pomiędzy linią wchodzącą do wielokąta (niebieska) i krawędzią wielokąta tworzy kąt 15 stopni ((180-150)/2). Pokazana tu rozeta w kwadracie jest rzadko stosowana, ale warto o niej pamiętać.

Niektórzy artyści tworzą wzory, wykorzystując tylko trójkąt i kwadrat wypełniony prostym wzorem, bez dodatkowych dekoracji czy modyfikacji. Kolejna rycina pokazuje właśnie taki wzór.
Boris Aldrige w swojej kompozycji wykorzystuje tylko trójkąty i kwadraty z bardzo prostym wypełnieniem. Zwróćmy uwagę na specyficzne przeplatanie się linii wzoru.
Jest to znakomita okazja do tego, aby spróbować odtworzyć wzór z płytki wraz z pokazanym tam przeplotem. 

Geometria wzoru typu D w zastosowaniu
Na rycinie mamy pokazaną płytkę ceramiczną wykonaną przez angielskiego artystę, Borysa Aldrige’a. Płytka jest wykonana techniką lusterware, polegającą na stosowaniu metalicznej polewy na porcelanie. W wyniku tego procesu powierzchnia ceramiki mieni się tęczowymi barwami. Ten proces czasem określa się mianem iryzacja lub tęczowanie. Nazwa ta pochodzi z mitologii greckiej – od imienia bogini Iris, posłanki bogów, będącej personifikacją tęczy. Zdjęcie Borisa Aldrige’a użyte tu za zgodą autora.

Projekt 3.10 – wzór z płytki Borisa Aldrige’a

Celem tego projektu będzie odtworzenie wzoru z płytki pokazanej na poprzedniej rycinie. Na początek musimy wykonać kontur i teselację, a następnie wypełnić teselację odpowiednim wzorem.
 

Konstrukcja wzoru krok po kroku i kolejne fazy powstawania teselacji
Kontur ma tę samą proporcję, C(2/3), jak w wielu innych projektach z poprzednich szkiców. Teselacja powstaje dzięki podzieleniu przeciwległych kątów na 6 równych części, co pozwala na utworzenie ćwiartek dwóch dwunastokątów foremnych.
Wzór wypełniający teselację i gotowy szablon
Niebo pełne gwiazd
Wzór wykonany z kilkudziesięciu kopii szablonu wykonanego w tym projekcie. Zdumiewające jest, ile różnych kształtów możemy odkryć w tym wzorze.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Projekt 3.11 – wzór z płytki Borisa Aldrige’a z przeplotem 

Cechą specyficzną wzoru na płytce Borisa Aldrige’a jest przeplot linii. Ponieważ wiele innych wzorów może być wykonanych dokładnie w taki sam sposób, warto popatrzeć, jak wygląda geometria takiego przeplotu i jak możemy go sobie zrobić.
Na początek popatrzmy, jak możemy skonstruować poszczególne elementy tego gerehu tak, aby otrzymać odpowiedni efekt na małą skalę. 
 

Przeplot dla trójkąta
Rysujemy w trójkącie równobocznym linie wzoru dokładnie tak, jak to zrobiliśmy w poprzednim projekcie. Tu zaznaczyłem je niebieskim kolorem. Następnie na jednej z krawędzi rysujemy mały okrąg. Tu jest to okrąg o średnicy równej 1/12 długości boku trójkąta. Rysujemy prostą przechodzącą przez środek boku i prostopadłą do jednej z linii wzoru. Tu oznaczyłem ją linią przerywaną. Wyznacza ona na okręgu dwa punkty przecięcia. Przez te punkty prowadzimy proste równoległe do linii wzoru. To samo powtarzamy z drugą linią wzoru, przechodzącą przez środek boku. Następnie pogrubiamy tylko te fragmenty na prostych równoległych, które znajdują się w zaznaczonym trójkącie. Otrzymany wzór, grube linie, obracamy o 120 stopni wokół środka trójkąta.
Przeplot dla kwadratu
Podobnie jak dla trójkąta postępujemy w przypadku kwadratu. Tym razem konstruujemy wzór dla 1/4 kwadratu, a następnie obracamy go trzy razy wokół środka kwadratu o 90 stopni. Otrzymujemy rysunek wzoru identyczny z tym, który mamy na tej rycinie.

 

Tu ważna uwaga – we wzorach z przeplotem symetrie lustrzane nie działają. Po prostu wzory z przeplotem, jeśli są poprawnie zrobione, nie mają symetrii lustrzanych. Zatem dla trójkąta zamiast symetrii D3 mamy symetrię C3, dla kwadratu zamiast D4 mamy symetrię C4 i podobnie będzie dla innych wielokątów. To jednak jeszcze nie wszystko. Również cały szablon musi zostać zaadaptowany do nowej sytuacji, czyli do przeplotu.

Nowy szablon
Tu widać, dlaczego nie możemy korzystać z poprzedniego szablonu. Wszelkie symetrie lustrzane zepsują nam przeplot. Linie wzoru muszą iść na przemian – góra, dół. Tymczasem na krawędzi naszego konturu mamy do czynienia z figurami przeciętymi przez kontur na połowę. W tym momencie odbicie lustrzane względem brzegu konturu zepsuje symetrię C wzoru w tych figurach, natomiast przesunięcie wzoru o jakikolwiek wektor jest możliwe dopiero po wzięciu czterech kopii teselacji. Teselacja pokazana obok składa się z czterech kopii teselacji, której użyliśmy w poprzednim projekcie. Po wypełnieniu jej wzorem, wzór na lewej krawędzi idealnie dopasuje się z wzorem na prawej krawędzi. Podobnie górna i dolna krawędź będą pasowały do siebie. To oznacza, że musimy stworzyć szablon składający się z czterech kopii poprzedniego, a następnie układać wzór poprzez przesunięcia tego szablonu o długość jego krawędzi.

 

Wzór w nowym szablonie
Na rycinie mamy pokazany wzór wstawiony do nowej teselacji. Tym razem, po obcięciu tej części wzoru, która znajduje się za brzegiem nowego konturu, otrzymamy szablon, w którym lewy i prawy brzeg do siebie pasują, oraz podobnie górny i dolny. 
To pozwoli nam na wykonanie dowolnie dużego wzoru poprzez translację szablonu poziomo lub pionowo o długość jego krawędzi, tak jak na załączonej poniżej rycinie.

Wzory z przeplotem są bardzo atrakcyjne. Proponuję, aby Czytelnik spróbował zrobić jeszcze raz pewne z poprzednich projektów, ale tym razem właśnie z przeplotem.
Skoro już wiemy tak wiele o geometrii wzoru typu D, to czas, abyśmy zastosowali naszą wiedzę do wykonania naszego samodzielnego projektu.

Projekt 3.12

Na kolejnych rycinach mamy pokazaną teselację z dwoma sześciokątami foremnymi, dwoma kwadratami oraz czterema trójkątami. Obok natomiast pokazano przykładowy wzór wypełniający te wielokąty. Przy czym wykorzystano tu możliwie najprostsze elementy dla trójkąta i kwadratu. 
Celem tego projektu jest samodzielne wykonanie konstrukcji geometrycznej pokazanej tu teselacji wraz z konturem i wypełnienie jej wzorem, tak jak to pokazano na rycinach. Konstrukcja konturu oraz teselacji do tego projektu jest dość interesującym zadaniem, przy założeniu, że zaczynamy od narysowania jednej z krawędzi konturu i w zależności od niej zbudowania całej reszty. Oczywiście, możemy sobie ułatwić zadanie – po prostu narysować jeden z pokazanych tu wielokątów i dobudować do niego pozostałe.

Teselacja i szablon do projektu 11
Mając pokazany tu szablon, czyli wzór znajdujący się w środku konturu zaznaczonego tu czarną linią, po usunięciu siatki teselacji z łatwością możemy utworzyć większy wzór, np. takie monstrum, jakie pokazano na załączonej dalej rycinie. 
Gereh w geometrii typu D
Pokazany tu gereh powstał z kilkunastu kopii szablonu wykonanego w tym projekcie. Nie ma w nim dużych rozet. To sprawia, że wzór jest w miarę jednorodny. Przy uważnym oglądaniu możemy wyróżnić sześcioramienne rozety. Dopiero potem zauważamy inne elementy. Taki wzór jest świetnym motywem dla projektowania tkanin.

 Skoro tak pracowicie konstruowaliśmy dużą, dwunastoramienną rozetę w geometrii typu D, to warto pokazać, jak ją kiedyś wykorzystywano. Przykładów takich jest wiele. Znajdziemy je szczególnie często w sztuce i architekturze Egiptu. Kilka interesujących przykładów znajdziemy również w Turcji i Iranie.

Proj

...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy