Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka w praktyce

16 września 2020

NR 45 (Wrzesień 2020)

Złoto w bryłkach 12- i 20-ściany, 2 wielościany foremne

30

Znamy 5 wielościanów foremnych. Są to: czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan i dwudziestościan. Zarówno ośmiościan foremny,  jak i czworościan foremny mają naturalne powiązanie z sześcianem.

POLECAMY

Dwa wielościany foremne, które opierają się na złotym podziale, to dwunastościan foremny i dwudziestościan foremny. Dlatego też chcielibyśmy te bryłki powiązać z sześcianem. Dzięki zauważeniu takiego związku narysowanie rzutów równoległych tych bryłek może być łatwiejsze.

Złota proporcja i sześcian z dorysowanymi odpowiednio odcinkami ułatwi narysowanie obu wielościanów (a dokładniej ich rzutów równoległych – cieni). Odcinki rysujemy na ścianach sześcianu, tak by osie symetrii ściany pokrywały się z jego osiami symetrii.

Gdy przyjmiemy, że długość krawędzi sześcianu wyraża się złotą liczbą \({\sqrt5 +1}\over 2\), to długość dorysowanych kresek będzie równa 1 (stosunek tych odcinków jest równy złotej liczbie).

Ryc. 1. Baza dla dwunastościanu i dwudziestościanu foremnego
Ryc. 2. Zaznaczone są wszystkie wierzchołki (20) dwunastościanu foremnego
oraz 6 krawędzi dwunastościanu

Dwunastościan foremny

Ta bryła posiada 12 ścian w kształcie pięciokąta foremnego (wielokąta, mającego wszystkie boki równe, oraz równe wszystkie kąty, w którym stosunek przekątnej do boku wyraża się złotą liczbą), 20 wierzchołków i 30 krawędzi, a każde dwie przekątne ściany, które, przecinając się, dzielą się w złotym stosunku. Narysujemy dwunastościan foremny o krawędzi równej 1, wtedy krawędzie sześcianu będą pewnymi przekątnymi ścian 
dwunastościanu.

Do każdej ze ścian dorysowujemy prostokąt o proporcji 2 : 1 tak, by dłuższy bok pokrywał się z dorysowanym odcinkiem, a prostokąt leżał na płaszczyźnie prostopadłej do ściany sześcianu.

Teraz możemy narysować dwunastościan foremny, rysując jego pozostałe krawędzie, czyli łącząc wystające wierzchołki dorysowanych prostokątów z dwoma najbliższymi wierzchołkami sześcianu.

Dwunastościan foremny wygląda teraz jak sześcian z doklejonymi daszkami. Z dwóch sąsiednich ścian „daszków” można złożyć pięciokąt foremny (w podstawie daszka jest kwadrat) (ryc. 4). To, że ściany boczne sąsiednich daszków leżą w jednej płaszczyźnie, pozostawiamy czytelnikowi.

 Ryc. 3. Na koniec powstaje dwunastościan foremny na bazie sześcianu
Ryc. 4. Siatka „daszka” – części dwunastościanu foremnego

Dwudziestościan foremny

Dwudziestościan foremny ma 12 wierzchołków. Te wierzchołki będą znajdowały się na ścianach sześcianu. Wyznaczą je końce dorysowanych odcinków, te odcinki są krawędziami równoległymi dwudziestościanu foremnego.

Wystarczy je tylko właściwie połączyć, by otrzymać poszukiwaną bryłkę (ryc. 5).

 Ryc. 5. Baza dla dwudziestościanu foremnego.
Końce przerywanych odcinków są jego wierzchołkami

Każdy koniec dorysowanego odcinka łączymy z czterema najbliższymi końcami pozostałych odcinków (ryc. 6).

Ryc. 6. Dwudziestościan foremny na bazie s...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy