Znamy 5 wielościanów foremnych. Są to: czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan i dwudziestościan. Zarówno ośmiościan foremny, jak i czworościan foremny mają naturalne powiązanie z sześcianem.
POLECAMY
Dwa wielościany foremne, które opierają się na złotym podziale, to dwunastościan foremny i dwudziestościan foremny. Dlatego też chcielibyśmy te bryłki powiązać z sześcianem. Dzięki zauważeniu takiego związku narysowanie rzutów równoległych tych bryłek może być łatwiejsze.
Złota proporcja i sześcian z dorysowanymi odpowiednio odcinkami ułatwi narysowanie obu wielościanów (a dokładniej ich rzutów równoległych – cieni). Odcinki rysujemy na ścianach sześcianu, tak by osie symetrii ściany pokrywały się z jego osiami symetrii.
Gdy przyjmiemy, że długość krawędzi sześcianu wyraża się złotą liczbą \({\sqrt5 +1}\over 2\), to długość dorysowanych kresek będzie równa 1 (stosunek tych odcinków jest równy złotej liczbie).
oraz 6 krawędzi dwunastościanu
Dwunastościan foremny
Ta bryła posiada 12 ścian w kształcie pięciokąta foremnego (wielokąta, mającego wszystkie boki równe, oraz równe wszystkie kąty, w którym stosunek przekątnej do boku wyraża się złotą liczbą), 20 wierzchołków i 30 krawędzi, a każde dwie przekątne ściany, które, przecinając się, dzielą się w złotym stosunku. Narysujemy dwunastościan foremny o krawędzi równej 1, wtedy krawędzie sześcianu będą pewnymi przekątnymi ścian
dwunastościanu.
Do każdej ze ścian dorysowujemy prostokąt o proporcji 2 : 1 tak, by dłuższy bok pokrywał się z dorysowanym odcinkiem, a prostokąt leżał na płaszczyźnie prostopadłej do ściany sześcianu.
Teraz możemy narysować dwunastościan foremny, rysując jego pozostałe krawędzie, czyli łącząc wystające wierzchołki dorysowanych prostokątów z dwoma najbliższymi wierzchołkami sześcianu.
Dwunastościan foremny wygląda teraz jak sześcian z doklejonymi daszkami. Z dwóch sąsiednich ścian „daszków” można złożyć pięciokąt foremny (w podstawie daszka jest kwadrat) (ryc. 4). To, że ściany boczne sąsiednich daszków leżą w jednej płaszczyźnie, pozostawiamy czytelnikowi.
Dwudziestościan foremny
Dwudziestościan foremny ma 12 wierzchołków. Te wierzchołki będą znajdowały się na ścianach sześcianu. Wyznaczą je końce dorysowanych odcinków, te odcinki są krawędziami równoległymi dwudziestościanu foremnego.
Wystarczy je tylko właściwie połączyć, by otrzymać poszukiwaną bryłkę (ryc. 5).
Końce przerywanych odcinków są jego wierzchołkami
Każdy koniec dorysowanego odcinka łączymy z czterema najbliższymi końcami pozostałych odcinków (ryc. 6).
Łącząc te wielościany (daszki) z sześcianem, możemy obliczyć ich objętość, a w szczególności łatwo obliczymy objętość dwunastościanu foremnego.
Do tego wystarczy obliczyć objętość jednego „daszka”, w którym znamy długości wszystkich krawędzi. Wtedy objętość dwunastościanu foremnego = objętość sześcianu + 6 × objętość daszka (ryc. 7).
Podstawy tych trzech bryłek są takie same. Jest to trójkąt o podstawie a i wysokości 0,5b:
\(P = 0,5 × a × 0,5b = 0,25 ab\)
Objętość ostrosłupów to:
\( V_o=2\times{1\over3}P\times{a-b\over2}=2\times{1\over3}x{1\over4}ab\times{a-b\over2}\)
\(V_o = {1\over12}ab (a − b)\)
A objętość graniastosłupa obliczamy ze wzoru: pole podstawy razy wysokość:
\(V_g = 0,25ab × a\)
\(V_g= 0,25a^2b\).
Teraz łatwo już możemy obliczyć objętość „daszka”:
\(V_\delta = V_g − V_o\)
\(V_\delta = {1\over6}a^2b + {1\over12}ab^2\).
Pamiętamy, że \({a\over b}={{\sqrt 5}+1\over2}\), b jest krawędzią dwunastościanu. Dwunastościan foremny składa się z 6 daszków i sześcianu o krawędzi b, co pozwoli nam obliczyć objętość tej bryły. Trzy własności złotej liczby mogą być nam pomocne:
1. \(φ2 = φ + 1\)
2. \(φ3 = 2φ + 1\)
3. \(φ–1 = φ – 1\)
Literatura
- Mostowski K., Zawadowski W., Złoto w matematyce, „Matematyka” 2/2020.
- www.mathsiedlce.edu.pl
