Złoto w matematyce

Złoty podział odcinka to jest taki podział na dwie części, który ma następującą własność: Całość do większej części tak się ma jak większa część do mniejszej.

Przedstawmy tę proporcję algebraicznie:

\({a \over x}= {x \over a-x}\)

Przyjmując \({a \over x}\) = φ, otrzymamy równanie φ = \({1 \over φ-1}\) (lub złotą proporcję  = \({φ \over 1} = {1 \over φ-1}\) ), czyli φ2 − φ = 1 lub φ2 − φ − 1 = 0. 
Rozwiązując to równanie kwadratowe, otrzymamy 2 pierwiastki różnych znaków (dlaczego?), dodatni pierwiastek to złota liczba, przedstawiająca stosunek tych odcinków φ = . Zauważmy, że stosunek różnych odcinków możemy zawsze przedstawić dwiema liczbami. Jedna z nich to stosunek długości większego odcinka do długości mniejszego, a druga liczba przedstawia odwrotność pierwszej.
Przekształcając równanie φ2 − φ − 1 = 0, otrzymamy inne ciekawe równanie φ2 = φ + 1. Tu widzimy, że kwadrat złotej liczby jest o 1 większy od niej.
W sposób naturalny powstaje nam inna ciekawa definicja złotej liczby.
Złota liczba to taka liczba dodatnia, która jest o 1 mniejsza od swojego kwadratu.
Obliczmy kolejne potęgi złotej liczby, wykorzystując powyższą własność złotej liczby. Obliczmy również szóstą potęgę złotej liczby algebraicznie:
φ2 = φ + 1
φ3 = (φ + 1) × φ = φ2 + φ = φ + 1 + φ = 2φ + 1
φ4 = φ3 + φ2 = 3φ + 2
φ5 = φ4 + φ3 = 5φ + 3
φ6 = φ5 + φ4 = 8φ + 5
…
Zatem

Tu widać bardzo ciekawą własność złotej liczby, łatwo jest policzyć jej dowolną potęgę. Jest ona równa sumie dwóch poprzednich potęg.

Złoty trójkąt

A dokładniej dwa trójkąty równoramienne, których stosunek boków wyraża się złotą liczbą. Jednym z nich jest taki trójkąt, w którym dwusieczna kąta przy podstawie dzieli go na dwa trójkąty równoramienne. 

Prosty rachunek 5x = 180º pozwoli nam wyliczyć kąty w złotych trójkątach. To trójkąty o kątach odpowiednio równych 36º, 72º i 72º oraz 36º, 36º i 108º. Zauważmy tu również ciekawą własność – z dwóch różnych złotych trójkątów o odpowiednich bokach możemy zbudować trzeci złoty trójkąt.

Twierdzenie
Trójkąt równoramienny, w którym dwusieczna kąta przy podstawie dzieli go na dwa trójkąty równoramienne, jest złotym trójkątem (takim, w którym stosunek boków wyraża się złotą liczbą).

 
Trójkąty ABC i ABD są podobne, gdyż odpowiednie kąty mają równe (ryc. 2).

Przyjmijmy:
|AB| = 1 i |BC| = x, to |AB| = |BD| = |CD| = 1 i |AD| = 1 – x.
Trójkąty podobne mają odpowiednie boki proporcjonalne:
\({x \over 1} = {1 \over 1-x}\) = , czyli otrzymaliśmy złotą proporcję.
cnd.

Złoty prostokąt

Złoty prostokąt to taki prostokąt, który po obcięciu kwadratu dalej jest złotym prostokątem (jest podobny do całości).

 

Stosunek odpowiednich boków tego prostokąta,  = , to złota proporcja. Stosunek boków złotego prostokąta wyraża się złotą liczbą.

Algorytm Euklidesa w poszukiwaniu wspólnej miary dwóch odcinków.
Algorytm Euklidesa
1. Czy a = b?
2. Jeśli tak, to NWD(a, b) = a. Stop. {wspólną miarą tych odcinków jest odcinek o długości a}
3. Czy a > b?
4. Jeśli tak, to NWD(a, b) = NWD(a – b, b) (wstaw za a, a – b)a – b → a. Idź do 1.
5. (Zamień a i b miejscami) a → c, b → a, c → b: idź do 1.
 

Ryciny te przedstawiają, jak znaleźć NWD (1; 3,5).
Bierzemy odcinek jednostkowy i jakikolwiek a, który chcemy zmierzyć. Rysujemy prostokąt o wymiarach 1 × a i obcinamy kwadraty. Jeśli po pewnym czasie pozostanie kwadrat, to jego bok jest wspólną miarą jedynki i odcinka a.
Łatwo zauważymy, że dla dowolnej liczby k > 0 naturalnej i 1 wspólną miarą jest 1, a dla dowolnej dodatniej liczby zapisanej w postaci ułamka nieskracalnego \({p \over q}\) , q ≠ 0 jest \({1 \over q}\).  
Wniosek jest oczywisty: każdy odcinek o długości wyrażającej się liczbą wymierną ma wspólną miarę z odcinkiem o długości jeden. Algorytm Euklidesa w jakimś momencie kończy się. Gdy takie odcinki nie mają wspólnej miary, czyli naprzemienne odejmowanie (obcinanie kwadratu) nigdy się nie skończy, to mamy do czynienia z liczbą niewymierną. Nie można takiego odcinka „wymierzyć”, czyli nie można zmierzy...