Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka w praktyce

30 marca 2020

NR 43 (Marzec 2020)

Złoto w matematyce

50

Przymiotnik „złoty” często pojawia się w matematyce. Mamy złote wielokąty, złoty podział, złotą proporcję czy złote liczby. Złota proporcja pojawia się w architekturze, przyrodzie, sztuce i wielu innych miejscach. Najwcześniej spotykamy się ze złotym podziałem odcinka.

Złoty podział odcinka to jest taki podział na dwie części, który ma następującą własność: Całość do większej części tak się ma jak większa część do mniejszej.

Ryc. 1. Złoty podział odcinka, a to cały odcinek, x to jego dłuższa część


Przedstawmy tę proporcję algebraicznie:

\({a \over x}= {x \over a-x}\)

Przyjmując \({a \over x}\) = φ, otrzymamy równanie φ = \({1 \over φ-1}\) (lub złotą proporcję  = \({φ \over 1} = {1 \over φ-1}\) ), czyli φ2 − φ = 1 lub φ2 − φ − 1 = 0. 
Rozwiązując to równanie kwadratowe, otrzymamy 2 pierwiastki różnych znaków (dlaczego?), dodatni pierwiastek to złota liczba, przedstawiająca stosunek tych odcinków φ = . Zauważmy, że stosunek różnych odcinków możemy zawsze przedstawić dwiema liczbami. Jedna z nich to stosunek długości większego odcinka do długości mniejszego, a druga liczba przedstawia odwrotność pierwszej.
Przekształcając równanie φ2 − φ − 1 = 0, otrzymamy inne ciekawe równanie φ2 = φ + 1. Tu widzimy, że kwadrat złotej liczby jest o 1 większy od niej.
W sposób naturalny powstaje nam inna ciekawa definicja złotej liczby.
Złota liczba to taka liczba dodatnia, która jest o 1 mniejsza od swojego kwadratu.
Obliczmy kolejne potęgi złotej liczby, wykorzystując powyższą własność złotej liczby. Obliczmy również szóstą potęgę złotej liczby algebraicznie:
φ2 = φ + 1
φ3 = (φ + 1) × φ = φ2 + φ = φ + 1 + φ = 2φ + 1
φ4 = φ3 + φ2 = 3φ + 2
φ5 = φ4 + φ3 = 5φ + 3
φ6 = φ5 + φ4 = 8φ + 5

Zatem

Tu widać bardzo ciekawą własność złotej liczby, łatwo jest policzyć jej dowolną potęgę. Jest ona równa sumie dwóch poprzednich potęg.

Złoty trójkąt

A dokładniej dwa trójkąty równoramienne, których stosunek boków wyraża się złotą liczbą. Jednym z nich jest taki trójkąt, w którym dwusieczna kąta przy podstawie dzieli go na dwa trójkąty równoramienne. 

Ryc. 2. Złoty trójkąt podzielony dwusieczną kąta przy podstawie na 2 złote trójkąty

Prosty rachunek 5x = 180º pozwoli nam wyliczyć kąty w złotych trójkątach. To trójkąty o kątach odpowiednio równych 36º, 72º i 72º oraz 36º, 36º i 108º. Zauważmy tu również ciekawą własność – z dwóch różnych złotych trójkątów o odpowiednich bokach możemy zbudować trzeci złoty trójkąt.

Twierdzenie
Trójkąt równoramienny, w którym dwusieczna kąta przy podstawie dzieli go na dwa trójkąty równoramienne, jest złotym trójkątem (takim, w którym stosunek boków wyraża się złotą liczbą).

Ryc. 3

 
Trójkąty ABC i ABD są podobne, gdyż odpowiednie kąty mają równe (ryc. 2).

Przyjmijmy:
|AB| = 1 i |BC| = x, to |AB| = |BD| = |CD| = 1 i |AD| = 1 – x.
Trójkąty podobne mają odpowiednie boki proporcjonalne:
\({x \over 1} = {1 \over 1-x}\) = , czyli otrzymaliśmy złotą proporcję.
cnd.

Złoty prostokąt

Złoty prostokąt to taki prostokąt, który po obcięciu kwadratu dalej jest złotym prostokątem (jest podobny do całości).

 

Ryc. 4. Dwa złote prostokąty


Stosunek odpowiednich boków tego prostokąta,  = , to złota proporcja. Stosunek boków złotego prostokąta wyraża się złotą liczbą.

Algorytm Euklidesa w poszukiwaniu wspólnej miary dwóch odcinków.
Algorytm Euklidesa
1. Czy a = b?
2. Jeśli tak, to NWD(a, b) = a. Stop. {wspólną miarą tych odcinków jest odcinek o długości a}
3. Czy a > b?
4. Jeśli tak, to NWD(a, b) = NWD(a – b, b) (wstaw za a, a – b)a – b → a. Idź do 1.
5. (Zamień a i b miejscami) a → c, b → a, c → b: idź do 1.
 

Ryc. 5


Ryciny te przedstawiają, jak znaleźć NWD (1; 3,5).
Bierzemy odcinek jednostkowy i jakikolwiek a, który chcemy zmierzyć. Rysujemy prostokąt o wymiarach 1 × a i obcinamy kwadraty. Jeśli po pewnym czasie pozostanie kwadrat, to jego bok jes...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy