Złoty podział odcinka to jest taki podział na dwie części, który ma następującą własność: Całość do większej części tak się ma jak większa część do mniejszej.
POLECAMY
Przedstawmy tę proporcję algebraicznie:
\({a \over x}= {x \over a-x}\)
Przyjmując \({a \over x}\) = φ, otrzymamy równanie φ = \({1 \over φ-1}\) (lub złotą proporcję = \({φ \over 1} = {1 \over φ-1}\) ), czyli φ2 − φ = 1 lub φ2 − φ − 1 = 0.
Rozwiązując to równanie kwadratowe, otrzymamy 2 pierwiastki różnych znaków (dlaczego?), dodatni pierwiastek to złota liczba, przedstawiająca stosunek tych odcinków φ = . Zauważmy, że stosunek różnych odcinków możemy zawsze przedstawić dwiema liczbami. Jedna z nich to stosunek długości większego odcinka do długości mniejszego, a druga liczba przedstawia odwrotność pierwszej.
Przekształcając równanie φ2 − φ − 1 = 0, otrzymamy inne ciekawe równanie φ2 = φ + 1. Tu widzimy, że kwadrat złotej liczby jest o 1 większy od niej.
W sposób naturalny powstaje nam inna ciekawa definicja złotej liczby.
Złota liczba to taka liczba dodatnia, która jest o 1 mniejsza od swojego kwadratu.
Obliczmy kolejne potęgi złotej liczby, wykorzystując powyższą własność złotej liczby. Obliczmy również szóstą potęgę złotej liczby algebraicznie:
φ2 = φ + 1
φ3 = (φ + 1) × φ = φ2 + φ = φ + 1 + φ = 2φ + 1
φ4 = φ3 + φ2 = 3φ + 2
φ5 = φ4 + φ3 = 5φ + 3
φ6 = φ5 + φ4 = 8φ + 5
…
Zatem
Tu widać bardzo ciekawą własność złotej liczby, łatwo jest policzyć jej dowolną potęgę. Jest ona równa sumie dwóch poprzednich potęg.
Złoty trójkąt
A dokładniej dwa trójkąty równoramienne, których stosunek boków wyraża się złotą liczbą. Jednym z nich jest taki trójkąt, w którym dwusieczna kąta przy podstawie dzieli go na dwa trójkąty równoramienne.
Prosty rachunek 5x = 180º pozwoli nam wyliczyć kąty w złotych trójkątach. To trójkąty o kątach odpowiednio równych 36º, 72º i 72º oraz 36º, 36º i 108º. Zauważmy tu również ciekawą własność – z dwóch różnych złotych trójkątów o odpowiednich bokach możemy zbudować trzeci złoty trójkąt.
Twierdzenie
Trójkąt równoramienny, w którym dwusieczna kąta przy podstawie dzieli go na dwa trójkąty równoramienne, jest złotym trójkątem (takim, w którym stosunek boków wyraża się złotą liczbą).
Trójkąty ABC i ABD są podobne, gdyż odpowiednie kąty mają równe (ryc. 2).
Przyjmijmy:
|AB| = 1 i |BC| = x, to |AB| = |BD| = |CD| = 1 i |AD| = 1 – x.
Trójkąty podobne mają odpowiednie boki proporcjonalne:
\({x \over 1} = {1 \over 1-x}\) = , czyli otrzymaliśmy złotą proporcję.
cnd.
Złoty prostokąt
Złoty prostokąt to taki prostokąt, który po obcięciu kwadratu dalej jest złotym prostokątem (jest podobny do całości).
Stosunek odpowiednich boków tego prostokąta, = , to złota proporcja. Stosunek boków złotego prostokąta wyraża się złotą liczbą.
Algorytm Euklidesa w poszukiwaniu wspólnej miary dwóch odcinków.
Algorytm Euklidesa
1. Czy a = b?
2. Jeśli tak, to NWD(a, b) = a. Stop. {wspólną miarą tych odcinków jest odcinek o długości a}
3. Czy a > b?
4. Jeśli tak, to NWD(a, b) = NWD(a – b, b) (wstaw za a, a – b)a – b → a. Idź do 1.
5. (Zamień a i b miejscami) a → c, b → a, c → b: idź do 1.
Ryciny te przedstawiają, jak znaleźć NWD (1; 3,5).
Bierzemy odcinek jednostkowy i jakikolwiek a, który chcemy zmierzyć. Rysujemy prostokąt o wymiarach 1 × a i obcinamy kwadraty. Jeśli po pewnym czasie pozostanie kwadrat, to jego bok jest wspólną miarą jedynki i odcinka a.
Łatwo zauważymy, że dla dowolnej liczby k > 0 naturalnej i 1 wspólną miarą jest 1, a dla dowolnej dodatniej liczby zapisanej w postaci ułamka nieskracalnego \({p \over q}\) , q ≠ 0 jest \({1 \over q}\).
Wniosek jest oczywisty: każdy odcinek o długości wyrażającej się liczbą wymierną ma wspólną miarę z odcinkiem o długości jeden. Algorytm Euklidesa w jakimś momencie kończy się. Gdy takie odcinki nie mają wspólnej miary, czyli naprzemienne odejmowanie (obcinanie kwadratu) nigdy się nie skończy, to mamy do czynienia z liczbą niewymierną. Nie można takiego odcinka „wymierzyć”, czyli nie można zmierzyć jego dokładnej długości, chociaż można policzyć jego długość z dowolnym przybliżeniem.
Twierdzenie 1.
Złota liczba jest liczbą niewymierną. A dokładniej odcinek o długości φ jest niewspółmierny z odcinkiem jednostkowym.
Dowód
Zastosujmy Algorytm Euklidesa do szukania wspólnej miary odcinków o długości 1 i φ. Złoty prostokąt to taki prostokąt, który po obcięciu kwadratu jest podobny do wyjściowego (stosunek boków w złotym prostokącie wyraża się złotą liczbą).
Łatwo zauważymy, że zawsze po obcięciu kwadratu zostanie złoty prostokąt, czyli pętla, coś się powtarza, zawsze będzie złoty prostokąt. Algorytm Euklidesa nigdy się nie skończy, czyli złota liczba jest niewymierna, nie ma wspólnej miary z jedynką.
Jak łatwo i szybko narysować złoty prostokąt?
1. Rysujemy kwadrat ABCD.
2. Wyznaczamy środek odcinka AB i oznaczamy go M.
3. Zakreślamy łuk z punktu M o promieniu r = |MC| tak, by przeciął prostą AB, i punkt przecięcia oznaczamy P (|MP| = r, |AP| = √–5 + 1).
4. Rysujemy prostokąt o bokach AD i AP.
Jest to złoty prostokąt, gdyż stosunek jego boków wyraża złota liczba 
Złoty pięciokąt
Policzmy stosunek boku pięciokąta foremnego do jego przekątnej. Narysujmy pięciokąt foremny wraz z dwiema przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka.
Kąt wewnętrzny pięciokąta foremnego jest równy 108º, a wszystkie przekątne wychodzące z jednego wierzchołka dzielą go na równe części. Zatem trójkąt ABD jest złotym trójkątem, gdyż ma odpowiednio kąty równe 36º, 72º i 72º. Oznacza to, że stosunek boku AB do przekątnej CE (AD – w pięciokącie foremnym wszystkie przekątne są równe) wyraża się złotą liczbą.
Rycina 8 pokazuje nam, w jaki sposób łatwo można narysować pięciokąt foremny:
1. Rysujemy złoty trójkąt (ABD).
2. Dorysowujemy 2 złote trójkąty rozwartokątne ADE i BCD do ramion trójkąta ABD.
Bibliografia:
