Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka w praktyce

18 listopada 2019

NR 41 (Listopad 2019)

21 wielościan jednorodny
IcositruncAted dodecadodecahedron – dwudziestościennie ścięty dwunastodwunastościan

0 19

Niniejszy artykuł jest kontynuacją prezentacji wielościanów jednorodnych, której publikację rozpoczęliśmy na łamach tego czasopisma trzy lata temu. Mamy nadzieję, że są wśród Czytelników tacy, którzy samodzielnie, 
a może z młodzieżą w swojej szkole skonstruowali już kilka z tych nietuzinkowych i mało znanych wielościanów. Przypominamy, że komplet tych wielościanów liczy łącznie 54 bryły.

Wdniach 3–7 września br. na Zjeździe Polskiego Towarzystwa Matematycznego w Krakowie z okazji setnej rocznicy jego utworzenia komplet modeli tych wielościanów – z wyjątkiem 47., 50. i 51. – cieszył oko uczestników spotkania na wystawie na terenie AGH. Obok zamieszczone jest zdjęcie tej, niestety jeszcze niepełnej, galerii, tworzonej od pięciu lat przez uczniów XX Liceum Ogólnokształcącego im. L. Staffa w Krakowie pod kierunkiem nauczycielki matematyki, p. Iwony Sitnik-Szumiec i autora tego artykułu. Czekamy z niecierpliwością na kolejne szkoły, które podejmą się takiego zadania.

Prezentowany obecnie 21. wielościan jednorodny, a dziewiąty symetrii dwunastodwudziestościennej, wyglądem swym przypomina dziesiąty wielościan jednorodny o symetrii sześcienno-ośmiościennej – sześciościennie ścięty sześcioośmiościan.


Porównajmy ich wyglądy. Na rysunku 1 widzimy wielościan dziesiąty, a na rysunku 2 dwudziesty pierwszy. Oba mają „zworniki” w postaci gwiazd albo ośmiościennych (w wielościanie 10.), albo dziesięciokątnych (w wielościanie 21.). Oba mają też „rynienki”. Pierwszy ma ich 12 – dokładnie tyle, ile krawędzi ma ośmiościan lub sześcian, drugi 30 – tyle, ile krawędzi posiada dwudziestościan lub dwunastościan.

 

  Ryc. 1
 

 Ryc. 2

 

Wielościan dziesiąty powstał z sześcianu, na którego ścianach umieściliśmy oktagramy – ryc. 3. Teraz konstrukcję wielościanu 21. rozpoczniemy od dwunastościanu foremnego, na którego ścianach umieścimy dekagramy (gwiazdy dziesięciokątne) – ryc. 4.
 

Ryc. 3 

 

 Ryc. 4

 

Wielkość tych gwiazd nie jest dowolna. W przypadku bryły dziesiątej wyznaczaliśmy ją przez obrót ściany sześcianu wokół jej środka o 45º (ryc. 5). Punkty przecięcia obu kwadratów wyznaczyły końce odcinka AB, który stanowił bok ośmiokątnego przekroju sześcianu, i zarazem długość x ramienia gwiazdy ośmiościennej. Czytelnik z łatwością sprawdzi z trójkąta prostokątnego ABC, że długość odcinka AB = x jest równa 
\(x = a({\sqrt{2}}-1)\) , gdzie a jest długością krawędzi sześcianu.

 

 Ryc. 5

 

  Ryc. 6

 

W przypadku pięciokątnej ściany dwunastościanu, z którego powstaje dwudziestościennie ścięty dwunastodwunastościan, sprawa się trochę komplikuje.

Pięciokąt będący ścianą dwunastościanu obracamy wokół jego środka o kąt o mierze 36º. Po zmierzeniu w GeoGebrze odcinków LK i KB (ryc. 6) odkrywamy twierdzenie: „Iloraz długości odcinków LK i KB jest złotą liczbą”:

 

Fakt ten nie dziwi nas, gdyż pięciokąt foremny, dwunastościan, dwudziestościan i trzydziestościan rombowy mają  w swojej morfologii zawartą złotą liczbę. Prze...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy