Wdniach 3–7 września br. na Zjeździe Polskiego Towarzystwa Matematycznego w Krakowie z okazji setnej rocznicy jego utworzenia komplet modeli tych wielościanów – z wyjątkiem 47., 50. i 51. – cieszył oko uczestników spotkania na wystawie na terenie AGH. Obok zamieszczone jest zdjęcie tej, niestety jeszcze niepełnej, galerii, tworzonej od pięciu lat przez uczniów XX Liceum Ogólnokształcącego im. L. Staffa w Krakowie pod kierunkiem nauczycielki matematyki, p. Iwony Sitnik-Szumiec i autora tego artykułu. Czekamy z niecierpliwością na kolejne szkoły, które podejmą się takiego zadania.
Prezentowany obecnie 21. wielościan jednorodny, a dziewiąty symetrii dwunastodwudziestościennej, wyglądem swym przypomina dziesiąty wielościan jednorodny o symetrii sześcienno-ośmiościennej – sześciościennie ścięty sześcioośmiościan.
POLECAMY
Porównajmy ich wyglądy. Na rysunku 1 widzimy wielościan dziesiąty, a na rysunku 2 dwudziesty pierwszy. Oba mają „zworniki” w postaci gwiazd albo ośmiościennych (w wielościanie 10.), albo dziesięciokątnych (w wielościanie 21.). Oba mają też „rynienki”. Pierwszy ma ich 12 – dokładnie tyle, ile krawędzi ma ośmiościan lub sześcian, drugi 30 – tyle, ile krawędzi posiada dwudziestościan lub dwunastościan.
Ryc. 1
Ryc. 2
Wielościan dziesiąty powstał z sześcianu, na którego ścianach umieściliśmy oktagramy – ryc. 3. Teraz konstrukcję wielościanu 21. rozpoczniemy od dwunastościanu foremnego, na którego ścianach umieścimy dekagramy (gwiazdy dziesięciokątne) – ryc. 4.
Ryc. 3
Ryc. 4
Wielkość tych gwiazd nie jest dowolna. W przypadku bryły dziesiątej wyznaczaliśmy ją przez obrót ściany sześcianu wokół jej środka o 45º (ryc. 5). Punkty przecięcia obu kwadratów wyznaczyły końce odcinka AB, który stanowił bok ośmiokątnego przekroju sześcianu, i zarazem długość x ramienia gwiazdy ośmiościennej. Czytelnik z łatwością sprawdzi z trójkąta prostokątnego ABC, że długość odcinka AB = x jest równa
\(x = a({\sqrt{2}}-1)\) , gdzie a jest długością krawędzi sześcianu.
Ryc. 5
Ryc. 6
W przypadku pięciokątnej ściany dwunastościanu, z którego powstaje dwudziestościennie ścięty dwunastodwunastościan, sprawa się trochę komplikuje.
Pięciokąt będący ścianą dwunastościanu obracamy wokół jego środka o kąt o mierze 36º. Po zmierzeniu w GeoGebrze odcinków LK i KB (ryc. 6) odkrywamy twierdzenie: „Iloraz długości odcinków LK i KB jest złotą liczbą”:
Fakt ten nie dziwi nas, gdyż pięciokąt foremny, dwunastościan, dwudziestościan i trzydziestościan rombowy mają w swojej morfologii zawartą złotą liczbę. Przekątne pięciokąta przecinają się w sposób złoty, dwudziestościan konstruuje się z trzech ortogonalnych złotych prostokątów, zaś trzydziestościan rombowy powstały z kompozycji dwudziestościanu i dualnego do niego dwunastościanu ma ściany, które są złotymi rombami, gdyż stosunek długości ich przekątnych wyraża się złotą liczbą.
Oto dowód tego odkrytego faktu wraz z rysunkiem (ryc. 7):
- zbudujmy na bazie odcinka LB pomocniczy pięciokąt foremny,
- ponieważ |∠CAB | = 54°, gdyż AC jest dwusieczną
- kąta między bokami pięciokąta, więc również
- |∠DKB | = 54°,
- |∠LBD | = 108°,więc |∠BDK | = 18°,
- stąd wynika, że: |∠EDK | = 108° − 18° = 90°.
Ten fakt oznacza, że punkt K dzieli odcinek LB w sposób złoty (na podstawie twierdzenia o prostopadłej do boku pięciokąta, którego dowód jest opublikowany na stronie www.math-comp-educ.pl).
Ryc. 7
Oto kolejne fazy konstrukcji naszego wielościanu jednorodnego nr 21 w programie SketchUp:
- konstruujemy dwunastościan foremny,
- obracamy jedną z jego ścian wokół jej środka o kąt o mierze 36º (ryc. 8),
- punkty przecięcia się obu pięciokątów wyznaczają nam wierzchołki dziesięciokąta foremnego (ryc. 9),
- w dziesięciokącie tym kreślimy gwiazdę dziesięciokątną (dekagram) – ryc. 10,
- długość ramienia tej gwiazdy będzie stanowić długość boku dziesięciokątnego przekroju dwunastościanu foremnego.
Ryc. 8
Ryc. 9
Ryc. 10
W kolejnych krokach tworzymy „rynienkę”, łącząc odcinkami ze sobą odpowiednie punkty na sąsiednich gwiazdach. Obracając taki układ połączeń każdej pary sąsiednich dekagramów, otrzymujemy poszukiwany dwudziestościennie ścięty dwunastodwunastościan.
Ryc. 11
Ryc. 12
Siatkę naszego wielościanu ilustrują ryciny 13 i 14. Należy skleić ze sobą pary siatek z ryc. 13 tak, by utworzyły one rynienki, a następnie wkleić trójkątne ściany z ryc. 14 pomiędzy każdą trójkę rynienek.
Ryc. 13
Ryc. 14
