Funkcje wykładnicze - liczenie granic i szkicowanie

Na przykład zastosowanie pojęcia granic funkcji do szacowania wielkości fizycznych, nazywane limiting case analysis, jest uznawane za narzędzie do analizowania zjawisk fizycznych i często włączane na egzaminach z fizyki w szkołach średnich2–4. Artykuł wychodzi naprzeciw tym zaleceniom i jego celem jest zwrócenie uwagi na zastosowanie pojęcia granicy funkcji do rysowania i analizy funkcji wykładniczych. W następnym artykule przedyskutujemy zastosowanie tych funkcji w przyrodzie i innych naukach.

Wstęp

Czynność rysowania funkcji wykładniczych za pomocą tabel lub przesunięć jest żmudna, czasochłonna i mało precyzyjna. Dlatego warto sięgnąć po inne, bardziej ogóle metody, które nie tylko pomogą uczniom narysować poprawnie daną funkcję, ale także przygotują ucznia do bardziej wnikliwej analizy matematycznej i myślenia matematycznego w kontekście STEM. Na tej lekcji pokażemy uczniom, jak rysować funkcje wykładnicze, korzystając ze znajomości ich asymptot i dwóch dodatkowych współrzędnych.

Wymagane umiejętności ucznia

Umiejętności, które warto powtórzyć, to liczenie przecięcia funkcji wykładniczej z osiami X and Y:

• z osią X poprzez rozwiązywanie równania, które w formie symbolicznej jest przedstawione jako \(a^x = a^y↔x = y\)
• z osią Y poprzez znalezienie wartości funkcji dla x = 0.

Jeśli uczeń nie posiada powyższych ujemności, wskazane jest, byśmy przeznaczyli jedną lub dwie jednostki lekcyjne na wykształcenie tych umiejętności.

Przypomnienie procesów znajdowania przecięć funkcji
Znajdź przecięcia funkcji

Znajdź przecięcia funkcji f(x) = 2(4)x − 3 − 8 z osiami X and Y. 

• Przecięcie z osią X: Zakładając f(x) = 0, otrzymujemy 0 = 2(4)x − 3 − 8. Doprowadzając obydwie strony równania do wymaganej formy ax = ay i dodając 8 do obydwóch stron równania, otrzymujemy 8 = 2(4)x − 3. Dzieląc obydwie strony przez 2, otrzymujemy równanie 4 = (4)x − 3. Przedstawiając to równanie jako 41 = (4)x − 3 i korzystając z ax = ay↔x = y, otrzymujemy 1 = x − 3 i x = 4. Współrzędne punktu, gdzie funkcja f(x) przecina oś odciętych, to (0, 4).
• Przecięcie z osią Y: Podstawiając x = 0, otrzymujemy f(0) = 2(4)0 − 3 − 8 = 2(4)−3 − 8 =  − 8 =  − 8 = −7. Powiemy, że współrzędnymi tego punktu są (0, −7).
   

Pokażmy uczniom jeszcze jeden przykład.

Znajdź przecięcia funkcji  g(x) = (3)x − 2 + 3, z osiami X and Y.

• Przecięcie z osią X: Zakładając g(x) = 0, otrzymujemy 0 = (3)x − 2 + 3 co prowadzi do −1 ∙ 3 = (3)x − 2. Ponieważ nie można się pozbyć negatywnego znaku po lewej stronie równania, równanie to nie ma rozwiązania, co interpretujemy, że g(x) nie przecina osi X.
• Przecięcie z osią Y: Podstawiając x = 0, otrzymujemy g(0) = (3)0−2 + 3 = (3)−2 + 3 =  + 3 = 3: (0, 3). 

Możemy zadać uczniom więcej podobnych przykładów. Chciałbym dodać, że podczas liczenia przecięć funkcji uczeń jednocześnie powtarza i utrwala techniki rozwiązywania równań, a także praktykuje umiejętność liczenia wartości wyrażeń wykładniczych. Czy znajomość przecięć z osiami XY jest konieczna, by narysować funkcje wykładnicze? Nie, nie jest, równolegle możemy tu policzyć inne współrzędne. Jednakże wydaje się, że utrzymanie tych samych reguł dla wszystkich przykładów pozwoli uczniom lepiej te metody przyswoić, zapamiętać i zastosować.

Znajdowanie granic funkcji wykładniczych i ich szkicowanie

Umiejętność oszacowania granic funkcji wykładniczych i ich interpretacja nie będzie dla ucznia trudna, jeśli zna on ogólne techniki znajdowania granic dla funkcji wielomianowych i wymiernych, które omawiane są w szkolnej praktyce zwykle przed funkcjami wykładniczymi. Przypomnijmy, że funkcja f(x) posiada poziomą asymptotę y = L, jeśli lim f(x) lub jeśli lim f(x) = L, gdzie L jest liczbą rzeczywistą. Jeśli wartości funkcji są nieograniczone, tzn. jeśli granice są nieskończone: lim f(x) = ±∞ lub jeśli lim f(x) = ±∞, to funkcja f(x) nie posiada poziomej asymptoty. Dodajmy, że technika znajdowania poziomych asymptot jest podobna do technik szacowania wartości funkcji wielomianowych i wymiernych dla x→∞ lub x→−∞.
Zbadajmy, czy wcześniej analizowane funkcje f(x) = 2(4)x−3 − 8 i g(x) = (3)x−2 + 3 posiadają poziome asymptoty.
Przeanalizujmy najpierw f(x) = 2(4)x−3 − 8. W tym celu zbadajmy, jak funkcja ta zachowuje się, kiedy x→∞.
lim = 2(4)x−3 − 8 = lim 2(4)∞ − 8 = ∞. 
 

Wniosek: ponieważ wartości funkcji f(x) nie dążą do określonej liczby, kiedy x→∞, f(x) nie posiada asymptoty po prawej stronie osi X (lub dla x→∞). Zbadajmy, jak funkcja ta zachowuje się, kiedy x→−∞: 
lim 2(4)x−3 − 8 = lim 2(4)−∞ − 8 = lim  − 8 = −8. 
Wniosek: f(x) posiada asymptotę dla x→−∞ i jej wartość to y = −8.
Ponieważ policzyliśmy już wcześniej współrzędne dwóch punktów tej funkcji i znamy jej poziomą asymptotę, narysujmy tę funkcję. Rysujemy najpierw asymptotę i oznaczamy współrzędne przecięć: i A (0, 3) i A (0, −7).
Referując do wyników policzonych granic, czyli że wartości  f(x) są bliskie wartościom asymptoty dla x→−∞ i że wartości te dążą do nieskończoności dla x→∞, kompletujemy wykres, który jest pokazany na ryc. 1. Zwracamy uwagę uczniów, że wartości funkcji nie przekraczają wartości asymptoty tej funkcji y = 8. 
Policzmy teraz granice g(x) = (3)x−2 + 3 i narysujmy tę funkcję. Postępując podobnie, otrzymujemy: lim (3)x−2 + 3 = lim (3)∞ + 3 = ∞. Brak określonej granicy jest rozumiany tak, że funkcja ta nie posiada asymptoty dla x→∞. Zbadajmy, co się dzieje po lewej stronie osi X: lim (3)x−2 + 3 = 3, co interpretujemy tak, że funkcja ta posiada asymptotę y = 3 dla x→∞. Po naniesieniu przecięcia tej funkcji i jej asymptoty, jej wykres przedstawia ryc. 2.
Sugerujemy uczniom, że w przypadku braku przecięcia z osią X można policzyć inne współrzędne tak, by się upewnić, że wykres jest poprawny. Zwracamy uwagę uczniów na pewne korelacje pomiędzy wykresami tych funkcji: obie funkcje pokazują asymptotyczne zachowanie, ale tylko na jednym z ich krańców. Czy jest to regułą dla funkcji wykładniczych? Wiemy, że tak jest, ale by przekonać ucznia, należałoby narysować więcej funkcji. Zwrócimy jeszcze uwagę, jak policzyć granice dla bardziej kompleksowych funkcji wykładniczych.

Znajdowanie granic dla kombinacji funkcji wykładniczych

Tak jak każda funkcja może być podana w formie kombinacji dwóch lub większej liczby różnych funkcji, np. f(x) =  lub f(x) = g(f(x)), tak też mogą być przedstawione funkcje wykładnicze. Przyjrzyjmy się, jak możemy policzyć granice kombinacji tych funkcji. W podanych przykładach zakładamy, że można funkcje przedstawić w prostszej postaci. Inne, bardziej różnorodne pod względem formy przypadki, na przykład kiedy podstawy funkcji nie mogą być zredukowane do jednej, sugeruję omawiać z uczniami na innej lekcji.
Przypominamy uczniom, że w praktyce funkcje mogą być przedstawione w formach kombinacji, np. iloczynu, ilorazu czy sum. Jak znaleźć granice takich funkcji? W tych przypadkach wskazane jest, jeśli to możliwe, żeby najpierw uprościć funkcję do funkcji podstawowej i dalej postępować jak w podanych wyżej przypadkach. Na przykład, żeby znaleźć lim , najpierw upraszczamy tę funkcję i później znajdujemy jej granicę: lim 43x =  = 0. Inny przykład lim 2 ∙ 2−3x = lim 2−2x = 2−∞ = 0.
Sytuacja jest nieco inna, jeśli mamy do czynienia z funkcjami złożonymi, na przykład k(x) = 5x3 − x6. Rozłóżmy tę funkcję na funkcję wewnętrzną i zewnętrzną. Znalezienie granicy k(x) = am(x) 
wymaga najpierw policzenia granicy funkcji wewnętrznej i, korzystając z jej wartości, policzenia granicy funkcji zewnętrznej. Zilustrujmy ten proces na przykładach.

Znajdź granice funkcji k(x) = 5x3 − x6 dla x  ∞ i dla x  −∞
Funkcja ta jest złożeniem funkcji wykładniczej z(x) = 5x (funkcja zewnętrzna) i wielomianowej funkcji w(x) = x3 − x5 (funkcja wewnętrzna). Szacujemy najpierw granice funkcji wewnętrznej lim (x3 − x5), którą jest lim (−x5) = −∞. Wartość −∞ przyjmuje teraz postać wartości odciętych dla funkcji zewnętrznej i jej granica lim 5−∞ = 0. Cały proces możemy zapisać w jednym zdaniu: 
lim 5x3 − x5 = 5 lim x3 − x5 = 5 lim −x5 = lim 5−∞ = 0.
Znalezienie granicy tej funkcji dla x→−∞ jest podobne. Różnica tkwi w oszacowaniu ostatnich faz tego procesu 5 lim (−x5) = 5∞ = ∞. Mając wartości granic i licząc przecięcia, możemy naszkicować wykres tej funkcji. Zbadajmy jeszcze jedną funkcję.

Znajdź granice g(x) = 103−x dla x  ∞ i dla x  −∞
Funkcja g(x) jest złożeniem dwóch funkcji wykładniczych 
z(x) = 10x i w(x) = 3−x. Postępując podobnie jak w poprzednim przykładzie, otrzymujemy lim 103−x = 10 lim 3−x =100 = 1. Dla x→−∞ lim 10 lim 3−x = 10∞ = ∞.

Podsumowanie

Zrozumienie granic jest bardziej przyswajalne, jeśli przedstawimy te procesy w jakimś kontekście, tak by uczeń dostrzegł potrzebę poznania tych procesów. W tym artykule przedstawiliśmy liczenie granic jako pomocny element przy rysowaniu funkcji. Na następnej lekcji zapoznamy ucznia z interpretacją granic w aplikacjach.

Bibliografia

1. Deeken C., Neumann I., Heinze A., Mathematical Prerequisites for STEM Programs: What do University Instructors Expect from New STEM Undergraduates? „International Journal of Research in Undergraduate Mathematics Education” s. 1–19.
2. Sokołowski A., Enhancing Scientific Inquiry by Mathematical Reasoning: Case of Applying Limits to Model Motion of a System of Objects, „Journal of Physics: Conference Series” 1287(1)/2019, s. 012051.
3. https://apcentral.collegeboard.org/pdf/ap-physics-1-course-and-exam-description.pdf?course=ap-physics-1 (dostęp: 10.2019).
4. Redish E.F., Problem solving and the use of math in physics courses. arXiv preprint physics/0608268, 2006.