Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka w praktyce

30 marca 2020

NR 43 (Marzec 2020)

Funkcje wykładnicze - liczenie granic i szkicowanie

105

Na podstawie badań dydaktycznych przeprowadzonych w Niemczech, Deeken1 sformułował szereg zaleceń dla europejskich programów nauczania matematyki w szkołach średnich, które mają odzwierciedlać oczekiwania współczesnych uniwersyteckich kierunków inżynieryjnych (tzw. STEM). Jednymi z tych zaleceń jest rozumienie i umiejętność zastosowania przez przyszłego studenta pojęcia granic funkcji. Wypada dodać, że nacisk na zastosowanie konceptualnych pojęć matematyki do zrozumienia zjawisk przyrodniczych jest już propagowany w USA.

Na przykład zastosowanie pojęcia granic funkcji do szacowania wielkości fizycznych, nazywane limiting case analysis, jest uznawane za narzędzie do analizowania zjawisk fizycznych i często włączane na egzaminach z fizyki w szkołach średnich2–4. Artykuł wychodzi naprzeciw tym zaleceniom i jego celem jest zwrócenie uwagi na zastosowanie pojęcia granicy funkcji do rysowania i analizy funkcji wykładniczych. W następnym artykule przedyskutujemy zastosowanie tych funkcji w przyrodzie i innych naukach.

Wstęp

Czynność rysowania funkcji wykładniczych za pomocą tabel lub przesunięć jest żmudna, czasochłonna i mało precyzyjna. Dlatego warto sięgnąć po inne, bardziej ogóle metody, które nie tylko pomogą uczniom narysować poprawnie daną funkcję, ale także przygotują ucznia do bardziej wnikliwej analizy matematycznej i myślenia matematycznego w kontekście STEM. Na tej lekcji pokażemy uczniom, jak rysować funkcje wykładnicze, korzystając ze znajomości ich asymptot i dwóch dodatkowych współrzędnych.

Wymagane umiejętności ucznia

Umiejętności, które warto powtórzyć, to liczenie przecięcia funkcji wykładniczej z osiami X and Y:

  • z osią X poprzez rozwiązywanie równania, które w formie symbolicznej jest przedstawione jako \(a^x = a^y↔x = y\)
  • z osią Y poprzez znalezienie wartości funkcji dla x = 0.

Jeśli uczeń nie posiada powyższych ujemności, wskazane jest, byśmy przeznaczyli jedną lub dwie jednostki lekcyjne na wykształcenie tych umiejętności.

Przypomnienie procesów znajdowania przecięć funkcji
Znajdź przecięcia funkcji

Znajdź przecięcia funkcji f(x) = 2(4)x − 3 − 8 z osiami X and Y. 

  • Przecięcie z osią X: Zakładając f(x) = 0, otrzymujemy 0 = 2(4)x − 3 − 8. Doprowadzając obydwie strony równania do wymaganej formy ax = ay i dodając 8 do obydwóch stron równania, otrzymujemy 8 = 2(4)x − 3. Dzieląc obydwie strony przez 2, otrzymujemy równanie 4 = (4)x − 3. Przedstawiając to równanie jako 41 = (4)x − 3 i korzystając z ax = ay↔x = y, otrzymujemy 1 = x − 3 i x = 4. Współrzędne punktu, gdzie funkcja f(x) przecina oś odciętych, to (0, 4).
  • Przecięcie z osią Y: Podstawiając x = 0, otrzymujemy f(0) = 2(4)0 − 3 − 8 = 2(4)−3 − 8 =  − 8 =  − 8 = −7. Powiemy, że współrzędnymi tego punktu są (0, −7).
     
Ryc. 1. Wykres fukcji f(x) = 2(4)x−3 − 8


Pokażmy uczniom jeszcze jeden przykład.

Znajdź przecięcia funkcji  g(x) = (3)x − 2 + 3, z osiami X and Y.

  • Przecięcie z osią X: Zakładając g(x) = 0, otrzymujemy 0 = (3)x − 2 + 3 co prowadzi do −1 ∙ 3 = (3)x − 2. Ponieważ nie można się pozbyć negatywnego znaku po lewej stronie równania, równanie to nie ma rozwiązania, co interpretujemy, że g(x) nie przecina osi X.
  • Przecięcie z osią Y: Podstawiając x = 0, otrzymujemy g(0) = (3)0−2 + 3 = (3)−2 + 3 =  + 3 = 3: (0, 3). 

Możemy zadać uczniom więcej podobnych przykładów. Chciałbym dodać, że podczas liczenia przecięć funkcji uczeń jednocześnie powtarza i utrwala techniki rozwiązywania równań, a także praktykuje umiejętność liczenia wartości wyrażeń wykładniczych. Czy znajomość przecięć z osiami XY jest konieczna, by narysować funkcje wykładnicze? Nie, nie jest, równolegle możemy tu policzyć inne współrzędne. Jednakże wydaje się, że utrzymanie tych samych reguł dla wszystkich przykładów pozwoli uczniom lepiej te metody przyswoić, zapamiętać i zastosować.

Znajdowanie granic funkcji wykładniczych i ich szkicowanie

Umiejętność oszacowania granic funkcji wykładniczych i ich interpretacja nie będzie dla ucznia trudna, jeśli zna on ogólne techniki znajdowania granic dla funkcji wielomianowych i wymiernych, które omawiane są w szkolnej praktyce zwykle przed funkcjami wykładniczymi. Przypomnijmy, że funkcja f(x) posiada poziomą asymptotę y = L, jeśli lim f(x) lub jeśli lim f(x) = L, gdzie L jest liczbą rzeczywistą. Jeśli wartości funkcji są nieograniczone, tzn. jeśli granice są nieskończone: lim f(x) = ±∞ lub jeśli lim f(x) = ±∞, to funkcja f(x) nie posiada poziomej asymptoty. Dodajmy, że technika znajdowania poziomych asymptot jest podobna do technik szacowania wartości funkcji wielomianowych i wymiernych dla x→∞ lub x→−∞.
Zbadajmy, czy wcześniej analizowane funkcje f(x) = 2(4)x−3 − 8 i g(x) = (3)x−2 + 3 posiadają poziome asymptoty.
Przeanalizujmy najpierw f(x) = 2(4)x−3 − 8. W tym celu zbadajmy, jak funkcja ta zachowuje się, kiedy x→∞.
lim = 2(4)x−3 − 8 = lim 2(4)∞ − 8 = ∞. 
 

Ryc. 2. Wykres fukcji g(x) = (3)x−2 + 3


Wniosek: ponieważ wartości funkcji f(x) nie dążą do określonej liczby, kiedy x→∞, f(x) nie posiada asymptoty po prawej stronie osi X (lub dla x→∞). Zbadajmy, jak funkcja ta zachowuje się, kiedy x→−∞: 
lim 2(4)x−3 − 8 = lim 2(4)−∞ − 8 = lim  − 8 = −8. 
Wniosek: f(x) posiada asymptotę dla x→−∞ i jej wartość to y = −8.
Ponieważ policzyliśmy już wcześniej współrzędne dwóch punktów tej funkcji i znamy jej poziomą asymptotę, narysujmy tę funkcję. Rysujemy najpierw asymptotę i oznaczamy współrzędne przecięć: i A (0, 3) i A (0, −7).
Referując do wyników policzonych granic, czyli że wartości  f(x) są bliskie wartościom asymptoty dla x→−∞ i że wartości te dążą do nieskończoności dla x→∞, kompletujemy wykres, który jest pokazany na ryc. 1. Zwracamy uwagę uczniów, że wartości funkcji nie przekraczają wartości asymptoty tej funkcji y = 8. 
Policzmy teraz granice g(x) = (3)x−2 + 3 i narysujmy tę funkcję. Postępując podobnie, otrzymujemy: lim (3)x−2 + 3 = lim (3)∞ + 3 = ∞. Brak określonej granicy jest rozumiany tak, że funkcja ta nie posiada asymptoty dla x→∞. Zbadajmy, co się dzieje po lewej stronie osi X: lim (3)x−2 + 3 = 3, co interpretujemy tak, że funkcja ta p...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy