Matematyka jest jednym z przedmiotów, na którym bardzo łatwo wszystkie te cechy ćwiczyć i doskonalić. Prześledźmy, jak podczas lekcji, na której uczniowie mogą rozwiązywać zadania z dowolnego działu matematyki, można wykorzystywać umiejętności czytania, notowania i rozwiązywania problemów. Przedstawię przykład lekcji odbywającej się w warunkach tradycyjnych. Na koniec natomiast opowiem, jak taką lekcję można dostosować do pracy w trybie zdalnym.
Lekcja przeznaczona jest dla uczniów szkoły średniej realizujących matematykę w zakresie rozszerzonym.
Temat: Prawdopodobieństwo warunkowe
Cele:
POLECAMY
- uczeń zna definicję prawdopodobieństwa warunkowego,
- uczeń identyfikuje zadania dotyczące prawdopodobieństwa warunkowego,
- uczeń analizuje treść zadania,
- uczeń oblicza prawdopodobieństwo warunkowe,
- uczeń zapisuje poprawne rozwiązania,
- uczeń podaje poprawną odpowiedź do zadania.
Środki dydaktyczne: podręcznik, wybrane zasoby internetu (w tym wypadku np. https://www.youtube.com/watch?v=MLoi1xorPh8 lub własny nagrany wykład), repetytorium/vademecum maturalne, zeszyt, przybory do pisania (najlepiej czarny cienkopis i kolorowe markery), karteczki indeksujące, karty pracy (w formie papierowej lub plików pdf, gdy pracujemy
zdalnie)
Metody pracy: czytanie według 5 kroków, mapa myśli, śnieżna kula, rozwiązywanie problemów, prezentacja
Formy pracy: praca indywidualna, praca w grupach, praca z całą klasą
Krok 1
Na początku lekcji przedstawiamy uczniom temat lekcji oraz jej cele. Chcemy, aby uczniowie dokładnie wiedzieli, co powinni wiedzieć i umieć po zakończeniu zajęć.
Krok 2
Prosimy teraz o odszukanie w podręczniku i innych książkach rozdziału dotyczącego prawdopodobieństwa warunkowego. Prosimy o zaznaczenie go, a następnie sprawdzenie, jakie tematy znajdują się przed wyszukanym rozdziałem. Czy wszystkie są dla uczniów znajome, czy wiedzą, czego dotyczą? To jest etap, gdy młody człowiek musi sam przed sobą określić, czy ma podstawy, aby zgłębiać kolejny temat. Chodzi również o to, by przypomniał sobie między innymi takie zagadnienia jak suma zdarzeń, prawdopodobieństwo zdarzenia i prawdopodobieństwo sumy zdarzeń czy co to jest przestrzeń zdarzeń elementarnych.
Krok 3
Prosimy teraz o zapisanie w formie pytań tego, czego uczniowie chcą się dowiedzieć na dzisiejszej lekcji. Jeśli pytań jest więcej, prosimy o wybranie jednego, które uczeń uważa za najważniejsze, i zapisanie go na środku kartki. Będzie to centrum tworzonej mapy myśli.
Krok 4
Poproś teraz uczniów o dokładne przeczytanie wiadomości, które znajdują się w ich podręczniku, repetytorium itp. Proponujemy uczniom, by ważne fragmenty zaznaczyli za pomocą kartek indeksujących.
Krok 5
Po przeczytaniu wiadomości z książek prosimy o ponowne przeczytanie tekstu. Tym razem, poza czytaniem, zadaniem ucznia jest uzupełnienie tworzonej przez niego mapy myśli. Każdy uczeń przygotowuje swoją wersję mapy myśli, dotyczącej zadanego przez siebie pytania. W tym momencie chcemy, aby uczniowie zebrali wiadomości dotyczące prawdopodobieństwa warunkowego oraz informacji niezbędnych do jego obliczenia.
Krok 6
Gdy wszyscy już wykonali zadanie, puszczamy materiał wideo dotyczący naszego tematu. Prosimy, aby podczas oglądania uczniowie uzupełnili swoje mapy myśli, jeśli zajdzie taka konieczność.
Krok 7
Teraz prosimy jednego z chętnych uczniów o zaprezentowanie swojej mapy myśli oraz o powiedzenie, czego dowiedział się do tej pory, czy znalazł odpowiedź na postawione przez siebie pytanie. Jeśli uczeń nie znalazł odpowiedzi na postawione przez siebie pytanie, być może ktoś inny zna odpowiedź i może pomóc koledze.
Krok 8
Teraz przyszedł czas na sprawdzenie swojej wiedzy w praktyce. Wręczamy uczniom karty pracy z zadaniami (lub wskazujemy zadania do rozwiązania na przykład w zbiorze zadań). Prosimy uczniów o samodzielne rozwiązanie zadań. Określamy czas, jaki jest przeznaczony na tę część lekcji. Prosimy, aby uczniowie przeprowadzili analizę zadania. Wypisali to, co jest dane, to, czego nie znają, oraz to, co należy obliczyć. Prosimy o dokładny zapis rozwiązania oraz o podanie odpowiedzi do zadania. Na koniec prosimy, by każdy uczeń sprawdził, czy otrzymana przez niego odpowiedź spełnia warunki zadania, a także czy jest zgodna z własnościami prawdopodobieństwa (na przykład czy ktoś nie uzyskał wyniku prawdopodobieństwa większego od 1). Przykładową Kartę pracy przedstawiono poniżej.
Zadanie 1.
Rzucono dwiema sześciennymi kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo uzyskania sumy oczek co najwyżej 5,
pod warunkiem że:
A) co najmniej na jednej kostce wypadły 4 oczka
B) co najmniej na jednej kostce wypadły 2 oczka
C) na jednej kostce wypadło 5 oczek
Zadanie 2.
Przy okrągłym stole usiadło 8 osób. Oblicz prawdopodobieńswto, że osoba 1 i osoba 2 będą siedziały obok siebie, pod warunkiem że osoba 1 i osoba 3 siedzą obok siebie.
Zadanie 3.
W urnie znajdują się 3 kule białe, 4 czarne i 5 niebieskich. Losujemy trzy kule bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że nie wylosujemy ani jednej kuli białej, jeśli wiadomo, że wszystkie wylosowane kule są w tym samym kolorze.
Zadanie 4.
Strzelec A trafia do celu z prawdopodobieństwem 0,
strzelec B – z prawdopodobieństwem 0,6,
a strzelec C – z prawdopodobieństwem 0,5.
Strzelcy A, B, C oddali po jednym strzale do celu. Okazało się, że dwa pociski trafiły w cel. Co jest bardziej prawdopodobne:
A) strzelec C trafił do celu
B) strzelec C nie trafił do celu
Krok 9
Gdy minie wyznaczony czas, część uczniów będzie miała rozwiązane wszystkie zadania, a niektórzy tylko kilka. Dlatego prosimy teraz, aby uczniowie skonsultowali swoje rozwiązania i wyniki z kolegą z ławki (lub w inny sposób łączymy ich w pary). Zadaniem każdej pary jest sprawdzenie i ustalenie wspólnego rozwiązania każdego z zadań. Jeśli pracujemy z liczną klasą, możemy poprosić, aby pary połączyły się w czwórki i powtórzyły proces sprawdzania i ustalania wyników. Naszym celem jest, by wszystkie grupy miały rozwiązane wszystkie zadania.
Krok 10
Prosimy teraz przedstawicieli grup o zaprezentowanie rozwiązań na forum klasy. Możemy przyjąć zasadę, że każda z grup prezentuje rozwiązanie jednego zadania.
Krok 11
Na koniec takiej lekcji możemy zadać pracę domową, jeśli tak zwykle robimy. Możemy również poprosić uczniów o przeczytanie w domu kolejnego tematu z podręcznika i zapoznanie się z nim, wykorzystując metodę czytania według 5 kroków i mapę myśli. Będziemy mieli wówczas możliwość sprawdzenia, jak nasi uczniowie radzą sobie z samodzielnym zdobywaniem informacji. Jest to jeden ze sposobów wdrażania uczniów nie tylko do samodzielności w poszukiwaniu potrzebnych wiadomości, ale również do wytrwałości w rozwiązywaniu problemów.
Podczas takiej lekcji uczniowie poznają technikę czytania według 5 kroków, która w połączeniu z tworzeniem mapy myśli sprzyja czytaniu ze zrozumieniem (ryc. 4).
Natomiast rozwiązywanie zadań samodzielnie, a następnie konsultowanie rozwiązań w większym gronie pozwala na to, by uczeń nie bał się rozwiązywania problemów, nauczył się szukać pomocy u innych, a także dowiedział się, jak tłumaczyć różne zagadnienia kolegom. Nie od dzisiaj wiadomo, że sami najlepiej się uczymy, gdy próbujemy przekazać wiedzę innym. Metoda śnieżnej kuli, gdy indywidualne rozwiązania są konsultowane w parach, a później w większej grupie, daje poczucie bezpieczeństwa, nawet uczniom słabszym (ryc. 1).
Lekcja w formule online
Taką lekcję można przeprowadzić zarówno w sali lekcyjnej, jak i w nauczaniu zdalnym. W zależności od tego, z jakiego sprzętu korzystamy my i nasi uczniowie, możemy ją odpowiednio dostosować. Jeśli uczniowie znają już technikę czytania według 5 kroków, wówczas pierwsza część lekcji może ograniczyć się do przekazania, co i dlaczego uczniowie mają przeczytać, obejrzeć czy wyszukać. Jako materiały możemy zaproponować im podręczniki, które mają w domu, filmy wideo z internetu czy własny krótki wykład, nagrany i umieszczony na wspólnym dysku. Prosimy również o to, by każdy zrobił mapę myśli, a następnie umieścił ją na wspólnej tablicy (wybór zależy od narzędzia, z którego korzystacie w pracy z uczniami. Różne platformy mają takie możliwości wbudowane. Jeśli Twoja szkoła nie ma narzuconego rozwiązania, możecie wykorzystać na przykład dysk Googla czy pl.padlet.com). Chodzi o to, by każdy mógł zobaczyć prace kolegów i ewentualnie wprowadził zmiany do swojej mapy. Być może, jeśli uczeń nie znajdzie odpowiedzi na swoje pytania w czytanym tekście, odszuka je w pracach swoich kolegów.
W tym momencie dobrze byłoby się spotkać z klasą nawet na krótkie spotkanie, aby wyjaśnić pojawiające się pytanie i rozwiać wątpliwości. Jeśli macie uczniów, którzy z różnych powodów nie mogą uczestniczyć w lekcji online, poprosicie ich o przesłanie e-mailem pytań, na które odpowiecie podczas nagrywanego spotkania (pamiętajcie, że jeżeli nagrywacie spotkanie, to najlepiej, jeśli tylko Wy będziecie widoczni na nagraniu). Takie spotkanie nie musi być długie, w zależności od potrzeby od kilku do kilkunastu minut. Warto również podczas niego ustalić, kto i z kim będzie tworzył parę oraz które pary połączą się w czwórki i będą razem ustalały rozwiązania.
Gdy macie już pewność, że Wasi uczniowie mają podstawy teoretyczne do rozwiązywania zadań, przesyłacie im kartę pracy z zadaniami lub wskazujecie w podręczniku czy zbiorze zadań te, które mają obliczyć.
Młodzież najczęściej bardzo sprawnie komunikuje się ze sobą. Dlatego sprawdzanie zadań w parach i uzgadnianie wspólnych rozwiązań nie powinno sprawiać problemów. Ważne jest, abyśmy dali im odpowiednią ilość czasu na konsultacje. Siłą rzeczy realizacja tematu nie zajmie nam 45 czy 90 minut, tak jak w sali lekcyjnej. Może być rozłożona w czasie na przykład na dwa dni. Musimy uwzględnić fakt, że uczniowie mogą mieć dostęp do nagrania i przesłanych zadań w różnym czasie (szczególnie jeśli dzielą komputer z rodzeństwem; z tego powodu ważne jest również, by podczas realizacji tematu korzystać z różnorodnych źródeł, nie tylko elektronicznych). Po tej części nadchodzi kolej na drugie spotkanie online, na którym przedstawiciele grup prezentują swoje rozwiązania. Jeśli nie możemy spotkać się z klasą na żywo, możemy poprosić, by przedstawiciele grup nagrali krótki film z rozwiązaniami zadań i umieścili go na wspólnym dysku.
Teraz przychodzi czas na sprawdzenie, czy uczniowie zrozumieli temat. Podczas tradycyjnej lekcji możemy zrobić krótką kartkówkę, zapytać, czy wszystko jest jasne, poprosić wybranego ucznia o rozwiązanie zadania na tablicy. Każdy z nas zna wiele możliwości, jak to zrobić w warunkach szkolnych. Sytuacja trochę się komplikuje, gdy jesteśmy w trybie nauczania zdalnego. W takiej sytuacji dużo większa odpowiedzialność spoczywa na uczniu. Teraz odpowiada on bardziej przed samym sobą niż przed nauczycielem. Oczywiście, uczeń jest uczniem bez względu na system, w którym się znajduje. Tak samo w szkole, jak i w sieci może próbować ściągnąć czy korzystać z niedozwolonej pomocy. I o ile w klasie nauczyciel może mu to w znacznym stopniu utrudniać, o tyle podczas zajęć online możliwości kontroli są ograniczone. Co w takiej sytuacji zrobić? Mamy kilka możliwości. Po pierwsze, ograniczyć się do oceniania odpowiedzi ustnych podczas spotkań z klasą czy grupą uczniów. Po drugie, przygotować test, który w znacznym stopniu ograniczy możliwość korzystania z niedozwolonych źródeł, na przykład poprzez ograniczenie czasowe, pomieszanie pytań/odpowiedzi czy zróżnicowanie zadań dla uczniów. Ale nie czarujmy się, nigdy nie będziemy mieli pewności, że test jest rozwiązywany przez naszego ucznia. Nawet jeśli robimy go podczas lekcji online i prosimy uczniów o włączenie kamer. Ja już wiem, jak to obejść. Trzecie podejście, które zostaje nauczycielowi, to zaakceptowanie faktu, że uczeń będzie korzystał z różnych źródeł, i przygotowanie testu, który wykorzystuje ten fakt. Czyli zamiast zakazywać, pozwólmy na korzystanie z pomocy. Osiągniemy dwa cele. Uczeń kilkakrotnie zaglądający do podręcznika i szukający ciągle jednego wzoru mimo woli się go nauczy. A po drugie, uczymy radzenia sobie z problemami, poszukiwania potrzebnych informacji oraz współpracy. Ważne jest, by test, który przygotujemy, składał się z większej liczby zadań, które będą wymagały wykorzystania sprawdzanej umiejętności. Uczeń, który będzie pamiętał wzór na prawdopodobieństwo warunkowe, zastosuje go od razu i szybko rozwiąże zadania. Ten, który się nie nauczył i musi za każdym razem sprawdzać, jak wzór wygląda, i tak wykorzysta go kilka razy i prawdopodobnie będzie go już kojarzył lub pamiętał.
Jak pracować metodą 5 kroków podejmowania decyzji?
Na koniec chciałabym pokazać Wam jeszcze jedną metodę pracy, która ma na celu podjęcie decyzji. Metoda nosi nazwę „5 kroków podejmowania decyzji”. Zobaczmy, jak można z niej skorzystać na przykładzie rozwiązania zadania dla uczniów przygotowujących się do egzaminu ósmoklasisty.
Zadanie (pochodzi z materiałów ćwiczeniowych dla uczniów i nauczycieli opracowanych przez CKE)
Babcia Zosia ma czworo wnuków: Julię, Macieja, Dominikę i Weronikę. Julia jest dwa razy starsza od Macieja. Dominika jest o 6 lat młodsza od Julii i o 3 lata starsza od Weroniki. Wnuki mają łącznie 34 lata. Ile lat ma Maciej? Zapisz obliczenia.
Krok 1
Prosimy uczniów o wymyślenie 3–4 propozycji rozwiązania zadania. Nie ma w tej chwili znaczenia, czy propozycje te będą dobre, czy złe. W przypadku naszego zadania rozwiązania mogą się różnić na przykład tym, czyj wiek weźmiemy jako punkt wyjścia. Przez x możemy więc oznaczyć zarówno wiek Julii, Macieja, Dominiki, jak i Julii. W zależności od naszego wyboru rozwiązania będą wyglądały trochę inaczej. Innym kryterium rozwiązania może być sposób zapisu rozwiązania – klasyczne równanie czy tabelka. Myślę, że uczniowie zaproponują jeszcze inne rozwiązania. Każdy pomysł zapisujemy na oddzielnej kartce – podczas zajęć w klasie dobrze by było, gdyby pomysły były zapisane różnymi kolorami lub na kolorowych kartkach (ryc. 2).
Krok 2
Teraz do każdego pomysłu rozważamy i zapisujemy pozytywy i negatywy. Na przykład pozytywem może być: szybkie rozwiązanie, mało przekształceń, po rozwiązaniu równania otrzymujemy od razu szukaną odpowiedź. Jeśli chodzi o negatywy, może pojawić się zapis: skomplikowane obliczenia, skomplikowany zapis, aby uzyskać odpowiedź trzeba wykonać dodatkowe obliczenia, trudno zapisać symbolicznie wiek każdego z wnuków, łatwo się pomylić w zapisie itp.
Do każdego zapisanego negatywu lub pozytywu przypisujemy teraz jedną z liter:
- R, czyli rozsądek, myślenie – czy to jest mądre? Czy to jest głupie?
- U, czyli uczucie – czy to jest przyjemne? Czy to jest proste? Czy to jest trudne?
- S, czyli sumienie, wartości (w naszym przypadku chyba nie wykorzystamy, bo trudno mi wyobrazić sobie rozwiązanie zadania z matematyki, które będzie niezgodne z wyznawanymi wartościami. Jednak metoda jest uniwersalna i przy innych problemach ten punkt może być jak najbardziej na miejscu) – czy to jest wartościowe? Czy to jest zgodne z wyznawanymi wartościami? Czy to jest niezgodne z wartościami, które są dla mnie ważne?
- E, czyli efektywność – czy to jest optymalne rozwiązanie? Czy szybko otrzymamy oczekiwany rezultat? Czy rozwiązanie jest długie i pracochłonne?
Policzcie teraz, ile i jakich literek dostała każda z kartek (ryc. 3).
Krok 3
Ten krok to wybór jednej z propozycji rozwiązania. W zależności od problemu kryterium wyboru może być różne. Jeśli chodzi o zadanie matematyczne, możemy wybierać to, które będzie miało najwięcej literek E, czyli przyjmiemy kryterium efektywności, lub to, które zdobędzie najwięcej literek U, wówczas prawdopodobnie wybierzemy najprostsze rozwiązanie.
Krok 4
Zastanówcie się teraz, jak wygląda sprawa negatywów wybranego rozwiązania. Jaki będzie koszt wyboru tego właśnie pomysłu? Może okazać się, że wybrane rozwiązanie prowadzi do rozwiązania zadania, ale na przykład nie wykorzystuje strategii/wzoru/sposobu, na którym nam szczególnie zależy, bo może być potrzebny w rozwiązaniu podobnych problemów.
Krok 5
Jeśli po analizie negatywów dochodzicie do wniosku, że jest to koszt, który możecie ponieść, wówczas świadomie podjęliście decyzję. Brawo. Przy kolejnym podobnym zadaniu będziecie już wiedzieli, na co zwracać uwagę i co rozpatrywać, aby szybko i sprawnie, a co najważniejsze – efektywnie rozwiązać zadanie.
Lekcja w formule online
Podobnie jak poprzednie zadanie, to również można przeprowadzić w formie zdalnej. Możemy poprosić uczniów o zaproponowanie rozwiązania zadania i przesłanie go nauczycielowi. Następnie zbieramy różne propozycje i umieszczamy je w jednym pliku lub na wspólnej tablicy, wyraźnie zaznaczając, które rozwiązanie traktujemy jako 1, które jako 2 czy 3. Rozwiązań może być więcej. Niektóre zadania można rozwiązać na naprawdę dużo sposobów. Jeśli wśród zaproponowanych przez uczniów rozwiązań brakuje Wam, jako nauczycielom, jakiegoś, możecie sami je dołączyć. Prosimy teraz uczniów, aby przeanalizowali poszczególne rozwiązania i wypisali pozytywy i negatywy każdego z nich oraz opatrzyli je odpowiednimi literami R, U, S, E.
Po wykonaniu tej części dobrze by było, aby nastąpiła lekcja online, na której uczniowie zaprezentują, które rozwiązanie wybrali i dlaczego. Wybory dokonane przez uczniów mogą przekazać nauczycielowi wiele informacji. Jeśli jakieś rozwiązanie jest pomijane na przykład ze względu na działania na ułamkach, może to oznaczać, że uczniowie mają z nimi problem i warto powtórzyć ten temat. Jeśli wygrywa rozwiązanie, gdzie do poprawnej odpowiedzi dochodzi się metodą prób i błędów, może to oznaczać, że jest problem z rozwiązywaniem lub układaniem równań. Nauczyciel dostaje dużo informacji, a uczeń dowiaduje się, na co warto zwracać uwagę, gdy zabiera się za rozwiązanie zadania. Może okazać się, że najszybsze rozwiązanie nie jest jednocześnie najłatwiejszym lub że z pozoru najłatwiejsze jest długie i wymaga wielu obliczeń i przekształceń, a to może skutkować większą liczbą błędów rachunkowych (ryc. 5 ).
Zaprezentowaną powyżej metodę możecie wykorzystać nie tylko na lekcji matematyki, ale również w pracy wychowawczej ze swoją klasą, gdy zastanawiacie się nad wyborem najlepszego rozwiązania nurtującego Was problemu. Każda z przedstawionych propozycji pozwoli Waszym uczniom na rozwijanie kompetencji, które są przydatne podczas samodzielnej nauki i pomagają odnaleźć się w sytuacji, gdy nauka odbywa się zdalnie.
A na koniec załączam odpowiedzi do zadań z karty pracy.
Zadanie 1.
A)
B)
C) 0
Zadanie 2.
Zadanie 3.
Zadanie 4. Bardziej prawdopodobne jest, że strzelec C trafi do celu, czyli bardziej prawdopodobny jest punkt A).
