Wramach wspomnianego wyżej omówienia – oprócz szerszej powtórki znanych, ale czasami sprawiających kłopoty elementarnych pojęć matematycznych (liczby pierwsze, liczby złożone, zapis pozycyjny itp.1) – zaproponowałem nowe pojęcie, które na razie dobrze posłużyło do krótszego, symbolicznego sformułowania treści tego zadania, a mianowicie pojęcie „mutacji” zapisu pozycyjnego liczby2. W uproszczeniu, jednopunktową c-mutację (zapisu) liczby n na i-tej cyfrze (przy podstawie p), w skrócie mut(n, p, i, c), definiujemy jako wartość (a także zapis przy podstawie p) liczby n – ci pi + c pi, tzn. mamy:
POLECAMY
Wtedy zadanie Sierpińskiego wymaga od nas znalezienia liczby złożonej n takiej, że wszystkie liczby mut(mut(n, p, i, a), p, j, b) też są złożone. Jak zwracałem już na to uwagę2, to sformułowanie zadania jednak nie rozwiewa wszystkich wątpliwości związanych z jego treścią. Istotnie, nierozstrzygnięte zostają takie pytania: Czy j może być równe i, czy też indeksy te muszą być różne? Czy a może być równe i-tej cyfrze n, czy cyfry te muszą być różne? Podobnie, czy b może być równej-tej cyfrze mut(n, p, i, a), czy też cyfry te muszą być różne?
W końcu, czy można zastąpić najbardziej znaczącą cyfrę, czy to n, czy mut(n, p, i, a), cyfrą 0?
Różne możliwe odpowiedzi na powyższe pytania prowadzą do czterech rodzajów liczb złożonych odpornych na (dwupunktowe) mutacje, o których wspomina zadanie Sierpińskiego. Ścisłe definicje tych rodzajów i ich szczegółowe omówienie zostało przedstawione przeze mnie w poprzednim artykule2, więc nie będę ponownie wchodził tu w dalsze szczegóły.
Tyle tytułem dyskusji nad treścią zadania Sierpińskiego i tytułem przygotowania dyskusji nad jego rozwiązaniem, czym zajmiemy się w dalszej części niniejszego artykułu. Zaczniemy od podstawowego pytania: Jak się rozwiązuje takie zadanie?. Cóż, jedynych ogólnych wskazówek metodologicznych możemy (jak zawsze) szukać w podręcznikach z tzw. heurystyki4, przede wszystkim w wielokrotnie wspominanej przeze mnie w „Kole” książce Polyi5, ale również w innych, podobnych6. Tu skoncentrujemy się na książce Polyi, bo z założenia jest ona skierowana do nauczycieli.
Metoda proponowana przez Polyę to modyfikacja tzw. dialogu sokratejskiego7, a więc metoda polegająca na zadawaniu pytań. Wśród tych pytań jest takie: „Czy znasz jakieś pokrewne zadanie?”8, które odsyła m.in. do hasła „specjalizacja” 9 ze Słownika heurystycznego Polyi. Autor definiuje tam „specjalizację” jako „przechodzenie od rozpatrywania danego zbioru obiektów do rozpatrywania mniejszego ich zbioru albo nawet jednego z tych obiektów”, po czym tytułem komentarza dodaje następującą uwagę: „Przy rozwiązywaniu zadań specjalizacja jest często pożyteczna”.
Regularny Czytelnik tej rubryki zauważy zapewne, że w jej ramach wielokrotnie tak „reklamowałem” zalety stosowania tej metody10, a także pokazywałem przykłady jej pożytecznego zastosowania11. Również obecnie skorzystamy z metody Polyi.
Co w kontekście zadania Sierpińskiego miałoby być owym „mniejszym zbiorem obiektów”, o którym wspomina Polya w definicji „specjalizacji”? Cóż, to akurat wydaje się łatwe. Są dwie główne wielkości zmienne, którymi możemy manipulować w celu uproszczenia zadania: podstawa zapisu pozycyjnego oraz liczba punktów mutacji. Najprostszą wersję zadania otrzymamy, przyjmując p = 2 i tylko jedno miejsce mutacji. Zatem na początek zajmiemy się następującym zadaniem:
Liczba złożona (2,1). Znaleźć liczbę złożoną, która pozostanie złożoną przy każdej zmianie którejkolwiek jej pojedynczej cyfry w zapisie przy podstawie 2. Tak sformułowane zadanie okazuje się być bardzo łatwe. Przede wszystkim zauważmy, że jeśli n jest poszukiwaną liczbą, a ckck−1 … c0 – jej zapisem przy podstawie 2, przy czym n > 2, tzn. jej zapis dwójkowy ma co najmniej dwie cyfry, k ≥ 1, to również liczba powstała z n przez zmianę jej ostatniej cyfry (tzn. c0) na 0, a więc liczba mut(n, 2, 0, 0) = n − c0, jest na ogół odporna na jednopunktowe mutacje. Rzeczywiście, tak otrzymana liczba jest na pewno parzysta i na ogół większa od 2, a więc (na ogół) złożona. Co więcej, każda jej jednopunktowa mutacja w miejscu innym niż ostatnia cyfra zostawia 0 na końcu zapisu nowo powstałej liczby, a więc otrzymana liczba jest również parzysta i większa od 2, zatem pozostaje złożona. Aczkolwiek tu pojawia się natychmiast problem zer wiodących2, co łatwo zobaczyć, np. gdy n = 8, tzn. gdy dwójkowy zapis n to 1000. Niemniej zauważmy, że z powyższej dyskusji wynika następujące:
TWIERDZENIE 1
Jeśli n jest parzystą liczbą naturalną większą od 1 taką, że ponadto n nie jest potęgą 2 oraz n + 1 jest liczbą złożoną, to n jest odporna na wszystkie mutacje jednopunktowe niewprowadzające 0 wiodącego.
Czy takie liczby w ogóle istnieją? A jeśli tak, to ile ich jest? I jaka jest najmniejsza z nich? Ano, zobaczmy. Skoro n jest parzyste, to n + 1 jest nieparzyste. Jeśli n + 1 ma ponadto być liczbą złożoną, to musi mieć nieparzysty dzielnik pierwszy. Zobaczmy, czy tym dzielnikiem może być najmniejsza nieparzysta liczba pierwsza, tzn. 3. Stąd pojawia się następujące zadanie pomocnicze:
Zadanie
Znaleźć wszystkie liczby naturalne n > 2 takie, że 2|n i 3|n+1.
Rozwiązanie
Skoro 2|n, to znaczy, że n = 2k; a skoro 3|n+1, to z kolei znaczy, że n + 1 = 3l. Łatwo się zorientować, że najmniejszą parą (n, n + 1) takich liczb byłyby liczby n = 2 i n +1 = 3, gdyby nie dodatkowy warunek n > 2, który tę parę eliminuje. Przegląd kolejnych par (n, n + 1), n = 4, 6, 8, … pozwala ustalić, że następną dobrą parą będzie (8, 9), potem (14, 15) itd., co prowadzi do następującej hipotezy:
Fakt 1
Rozwiązaniem powyższego zadania są wszystkie liczby n postaci 6k + 8, k = 0, 1, 2, …, które dają pary (n, n + 1) postaci (6k + 8, 6k + 9), k = 0, 1, 2, …
To, że liczby n = 6k + 8, k = 0, 1, 2, … mają żądaną własność, tzn. że n > 2 i że 2|n, i 3|n + 1, łatwo wynika z samej postaci tych liczb: n = 6k + 8 = 2(3k + 4) ≥ 8, n + 1= (6k + 8)+1 = 6k + 9 = 3(2k + 3), k = 0, 1, 2, … Z drugiej strony, jeśli n = 2k, a n + 1 = 3l, to l musi być liczbą nieparzystą, tzn. mamy l = 2l′ + 1, skąd n + 1 = 6l′ + 3 i n = 6l′ + 2. Ponieważ dodatkowo ma być n > 2, więc możliwe wartości l′ to 1, 2, 3, … Jeśli zatem wprowadzić nową zmienną l″, zmieniającą się od 0, tzn. l′ = l″ + 1, to n = 6l′ + 2 = 6(l″ + 1) + 2 = 6l″ + 8, l″ = 0, 1, 2, … Tak więc hipoteza ta okazuje się być prawdziwa. Powinno być oczywiste, że można przeprowadzić analogiczne rozumowanie dla dowolnej nieparzystej liczby pierwszej q, a nawet po prostu dla dowolnej liczby nieparzystej m > 1 zamiast liczby 3. W ten sposób przekonujemy się, że prawdziwe są następujące twierdzenia:
Fakt 2
Niech q będzie nieparzystą liczbą pierwszą. Wtedy wszystkie liczby naturalne n > 2 takie, że 2|n i q|n + 1, dane są wzorem n = (2k + 3)q – 1 = 2qk + (3q – 1), k = 0, 1, 2, …
Fakt 3
Niech m będzie liczbą nieparzystą, m > 1. Wtedy wszystkie liczby naturalne n > 2 takie, że 2|n i m|n + 1, dane są wzorem n = (2k + 3)m – 1 = 2km + 3m – 1, k = 0, 1, 2, …
W istocie wspólnym „tłem matematycznym” dla wszystkich trzech powyższych faktów jest znane twierdzenie z arytmetyki, mianowicie tzw. Chińskie Twierdzenie o Resztach12, 13, które można sformułować następująco:
CHIŃSKIE TWIERDZENIE O RESZTACH
Jeśli m jest liczbą naturalną ≥ 2 i a1, a2, … , am są liczbami naturalnymi, z których każde dwie są względnie pierwsze, r1, r2, … , rm zaś są to dowolne liczby całkowite, to istnieją liczby całkowite x1, x2, … , xm spełniające układ równań: a1x1 + r1 = a2x2 + r2 = … = amxm + rm.
Inne możliwe sformułowanie tego twierdzenia brzmi, że jeśli mamy dany zbiór liczb parami względnie pierwszych a1, a2, … , am, to istnieje liczba, która daje z góry zadane reszty r1, r2, … , rm przy dzieleniu przez liczby a1, a2, … , am odpowiednio. Z własności podzielności liczb wynika w istocie, iż liczb takich jest
nieskończenie wiele i że są one wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy równej a1a2 … am.
Na zakończenie zauważmy, że z twierdzenia tego wynika, iż jeżeli p ≥ 2 jest podstawą systemu (zapisu) pozycyjnego liczb, a liczby q1, q2, … , qp−1 – zbiorem dowolnych liczb parami względnie pierwszych oraz pierwszych względem p (takim zbiorem jest np. dowolny zestaw p − 1 liczb pierwszych większych od p), to istnieje nieskończenie wiele liczb n, z których każda spełnia równocześnie wszystkie następujące warunki:
- daje resztę 0 przy dzieleniu przez p, tzn. p|n,
- daje resztę −1 przy dzieleniu przez q1, tzn. q1|n + 1,
- daje resztę −2 przy dzieleniu przez q2, tzn. q2|n + 2
- …
- daje resztę − (p − 1) przy dzieleniu przez qp − 1, tzn. qp − 1|n + p − 1.
Ta uwaga stwarza mocną podstawę do tego, żeby twierdzić, iż kolejna, następująca (uproszczona) wersja zadania Sierpińskiego również ma nieskończenie wiele rozwiązań:
Liczba złożona (p, 1). Znaleźć liczbę złożoną, która pozostanie złożoną przy każdej zmianie którejkolwiek jej pojedynczej cyfry w zapisie przy podstawie p.
Ale omówienie rozwiązania tego zadania odłożymy do kolejnego odcinka „Koła”, zostawiając Czytelnikowi czas na własne rozważania w tym zakresie.
Bibliografia:
- Morawiec A., Dziwne uroki matematyki – „mutacje’ w świecie liczb, „Matematyka” 6/2018, s. 22–25.
- Morawiec A., Liczby złożone i ich „mutacje”, „Matematyka” 1/2019, s. 25–27.
- Sierpiński W.S., Liczba złożona, „Matematyka” 1/1977, Konkurs zadaniowy, Zadanie nr 1000, s. 55.
- Tokarski J. (red.), Słownik wyrazów obcych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1980, s. 277.
- Polya G., Jak to rozwiązać?, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009.
- Góralski A. (red.), Zadanie, metoda, rozwiązanie, seria Techniki twórczego myślenia, zbiór I, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1977.
- Góralski A. (red.), op. cit., s. 26–53.
- Polya G., op. cit., s. 82.
- Ibidem, s. 181–186.
- Morawiec A., W poszukiwaniu matematyki, „Matematyka” 2/2018, s. 37–39.
- Morawiec A., Zwodniczy urok analogii, „Matematyka” 2/2015, s. 42–46.
- Sierpiński W., O rozwiązywaniu równań w liczbach całkowitych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009, s. 18.
- Sierpiński W., Wstęp do teorii liczb, seria Biblioteczka Matematyczna 25, Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, Warszawa 1965, s. 25.
