Proces ten ma na celu ułatwienie uczniom zrozumienia istoty pochodnej funkcji. Ponieważ rysowanie stycznej obarczone jest pewnym błędem, na proponowanej lekcji dodatkowo uczniowie poznają sposób liczenia tego błędu, który będzie obrazował ich dokładność rysowania linii stycznej.
POLECAMY
Ogólny zarys lekcji
Lekcja jest usytuowana w konstruktywistycznej teorii poznawania1. Teoria ta głosi, że uczenie jest najbardziej efektywne, jeśli uczeń poznaje nową wiedzę, doświadczając ją, na przykład poprzez konstruowanie matematycznych struktur według podanych zasad. Nowe treści poznawcze będą reprezentowane na tej lekcji przez umiejętność rysowania stycznej i połączenia tej czynności z liczeniem wartości pochodnej w punkcie styczności, korzystając z definicji współczynnika kierunkowego.
Lekcja ta może być jednostką wprowadzającą do zrozumienia istoty pochodnej w kontekście wykresu funkcji. By lekcja przebiegła sprawnie, wymagane jest, by uczeń znał proces znajdowania współczynnika kierunkowego przy wykorzystaniu definicji nachylenie = . Byłoby zalecane, by uczeń wiedział, jak znaleźć wartość pochodnej, korzystając z graficznego kalkulatora (na przykład z TI-84) lub z innych źródeł. To pozwoli uczniom w kwantyfikacji ich błędów podczas rysowania stycznych.
Wymagane przyrządy pomiarowe
Uczniowie otrzymają kartę pracy z wykresami funkcji. Jedynymi przyrządami, które będą musieli posiadać, są ołówek, linijka i kalkulator graficzny.
Sugestie dydaktyczne
Proponowane zajęcia mogą być wykonane na jednej jednostce lekcyjnej. Nauczyciel wyjaśnia uczniom, że celem lekcji jest zrozumienie istoty pochodnej funkcji, korzystając z wykresów. By ten cel osiągnąć, technika rysowania stycznej do danej funkcji i znajdowania jej wartości nachylenia będzie konieczna. Nauczyciel dodaje, że technika ta zawsze niesie za sobą pewien błąd, który też będziemy próbować oszacować. Nauczyciel przygotowuje wykres funkcji na folii i demonstruje go, korzystając z rzutnika albo rysując podobny na tablicy (ryc. 1). Ponieważ nauczyciel będzie demonstrował pomiar odcinków trójkąta, by policzyć nachylenie stycznej, dobrze by było, by parabola była narysowana w wymiarach, które odzwierciedlają jej rzeczywistą wielkość. Tak więc współrzędna na przykład 10 cm na osi X czy osi Y powinna reprezentować 10 cm, jeśli jest pomierzona za pomocą linijki. To nam zapewni pewną spójność rachunków. Nauczyciel omawia wykres i pyta uczniów o prawdopodobną wartość tego współczynnika i możliwą technikę jej dokładniejszego pomiaru. Typowa lekcja rachunku różniczkowego nie włącza fizycznych pomiarów, więc odpowiedzi uczniów mogą nie sugerować techniki zastosowanej na tej lekcji. Nauczyciel wyjaśnia, że – żeby to zadanie wykonać – najpierw trzeba narysować styczną w podanym punkcie i podkreśla, że styczna ta nie może przecinać funkcji w punkcie x = 3 (co oznacza 30 cm na wykresie), tylko musi dotykać ją w tym punkcie. To jest własność stycznej (patrz ryc. 1).
Ryc. 1. Linia styczna w punkcie x = 30 cm
Ryc. 2. Pobór danych do policzenia wartości pochodnej funkcji f(x) w punkcie x = 30 cm
Nauczyciel sugeruje, że do tego, aby znaleźć ten współczynnik nachylenia, pomiar x i Δy jest konieczny. Pomocne byłoby więc wyodrębnienie prostokątnego trójkąta. Niektórzy matematycy2 nazywają taki trójkąt trójkątem różniczkowym (calculus triangle). Jest to wygodna nazwa, która ułatwi przypomnienie i nawiązanie do tej techniki na innych lekcjach. Nauczyciel używa metrowego przymiaru, by pomierzyć boki tego trójkąta, co jest ilustrowane na ryc. 2.
Uczniowie pytają czasami, jak zdecydować o wymiarach tego trójkąta. Odpowiadając na to pytanie, nauczyciel może przedłużyć boki tego trójkąta i zapytać, czy nachylenie tej prostej się zmieniło, kiedy wymiary trójkąta się zmieniały. W rezultacie te trójkąty są podobne według zasady tych samych kątów, które te trójkąty posiadają, tak więc nachylenie tej prostej też pozostaje niezmienne. To pozwala nam osiągnąć konkluzję, że wielkość trójkąta nie odgrywa roli. Jednakże większy trójkąt pozwoli osiągnąć bardziej precyzyjny pomiar jego boków i konsekwentnie bardziej precyzyjne nachylenie tej stycznej. Nauczyciel przystępuje do liczenia tego współczynnika (wartości pochodnej f(x) w punkcie x = 30 cm). Oznaczając wartość pochodnej jako f′ (30), otrzymujemy f′ (30) = \({22 cm \over 12 cm}\) = 1.8. Nauczyciel podkreśla, że wartością pochodnej tej funkcji jest 1.8, która jest zobrazowana przez współczynnik kierunkowy tej funkcji.
Pozostaje pytanie, jak oszacować błąd tej metody. Nauczyciel nadmienia, że algebraiczną postacią tej funkcji jest f(x) = 0.1x2 − 4x, którą można znaleźć, korzystając z ogólnego wzoru f = a(x − x1)(x − x2). Posiadając tę postać, można policzyć dokładną wartość tej stycznej, korzystając z definicji pochodnej. Można również policzyć wartość tej stycznej, korzystając z graficznego kalkulatora. Jeśli dysponujemy TI-84, wpisujemy f(x) = 0.1x2 − 4x, aktywujemy 2nd, potem DRAW i aktywujemy 5: Tangent. Wpisujemy x = 30 i obserwujemy, że równanie tej stycznej to y = 2x − 20.
Uczniowie zauważą, że oczekiwana wartość współczynnika kierunkowego tej funkcji to 2. Policzmy relatywy błąd (RB) naszego współczynnika, korzystając z:
\(RB = ({oczekiwania wartości - Mierzona wartość \over oczekiwana wartość}) -100%\)
Podstawiając 2 za oczekiwaną wartość i 1.8 pomierzoną, otrzymujemy 10-procentowy błąd. Po zakończeniu tej części lekcji nauczyciel rozdaje karty pracy i zachęca uczniów do indywidualnej pracy. Przykład karty pracy jest podany na następnej stronie.
Sugestie odnośnie do łączenia tej lekcji z innymi lekcjami
Lekcja ta stanowi doskonałą okazję, by nawiązać do niej podczas realizacji innych tematów, na przykład podczas:
- liczenia chwilowych wartości prędkości czy przyspieszenia z wykresów położenia i prędkości – ta umiejętność jest bardzo przydatna na fizyce,
- formułowania kompletnego równania linii stycznej, korzystając z: y − yA = m(x − xA).
Podsumowanie
Jakkolwiek na tej lekcji proponowane było policzenie oczekiwanej wartości nachylenia przy wykorzystaniu TI-84, oczywiście wartość tę uczniowie mogą policzyć, korzystając ze wzorów na pochodną – zakładając, że znają te wzory. W tym przypadku lekcja ta mogłaby mieć charakter odkrywczy – uczniowie mogliby dojść na niej do wniosku, że współczynnik kierunkowy stycznej i wartość pochodnej mają te same wartości.
Jednak w obydwóch przypadkach zalecałbym, by umożliwić uczniom policzenie błędów, ponieważ uświadomienie ich sobie prowadzi do poprawy precyzji, którą uczniowie mogą wykorzystać np. na lekcjach fizyki.
Drugorzędnym celem tej lekcji było pokazanie uczniom, że z reguły trudne zagadnienia rachunku różniczkowego mogą być podparte prostymi operacjami, które mają na celu ułatwienie ich zrozumienia. Uczniowie zauważają ten element i są niejako wdzięczni, że nauczyciel poszukuje dla nich łatwych sposobów zrozumienia tej wiedzy. Inny element, który mogę przytoczyć z własnej praktyki, to autentyczne zaangażowanie uczniów w proces znajdowania wartości tych współczynników, liczenia błędów i prób zmniejszenia tym błędów. Jest ciekawe, że w dobie zaawansowanych technologii proste lekcje mogą być równie ekscytujące dla uczniów.
Bibliografia:
- Von Glasersfeld E., A constructivist approach to teaching, [w:] Steffe L.P., Gale J. (red.), Constructivism in Education (3–15), Hillsdale, NJ: Erlbaum 1995.
- Weber E., Tallman M., Byerley C., Thompson P.W., Understanding the Derivative through the Calculus Triangle, „Mathematics Teacher” 106(4)/2012, s. 274–278.
