Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka w praktyce

15 listopada 2019

NR 41 (Listopad 2019)

Modelowanie wartości pochodnej w punkcie
Konspekt lekcji i karta pracy ucznia

0 20

Wartość pochodnej może być liczona wieloma metodami w zależności od podanej reprezentacji funkcji. Choć znalezienie wartości pochodnej z równania funkcji jest proste i pozbawione błędu, to rozumienie istoty tego 
rachunku nie jest proste. Idąc dalej, policzenie wartości pochodnej, korzystając z wykresu funkcji, nie tylko jest obarczone pewnym błędem, ale też nastręcza uczniowi pewnych technicznych trudności. Zajęcia, które proponuję, mają za zadanie wykształcić umiejętność policzenia pochodnej poprzez narysowanie stycznej i znalezienie jej współczynnika kierunkowego

Proces ten ma na celu ułatwienie uczniom zrozumienia istoty pochodnej funkcji. Ponieważ rysowanie stycznej obarczone jest pewnym błędem, na proponowanej lekcji dodatkowo uczniowie poznają sposób liczenia tego błędu, który będzie obrazował ich dokładność rysowania linii stycznej.


Ogólny zarys lekcji


Lekcja jest usytuowana w konstruktywistycznej teorii poznawania1. Teoria ta głosi, że uczenie jest najbardziej efektywne, jeśli uczeń poznaje nową wiedzę, doświadczając ją, na przykład poprzez konstruowanie matematycznych struktur według podanych zasad. Nowe treści poznawcze będą reprezentowane na tej lekcji przez umiejętność rysowania stycznej i połączenia tej czynności z liczeniem wartości pochodnej w punkcie styczności, korzystając z definicji współczynnika kierunkowego.

Lekcja ta może być jednostką wprowadzającą do zrozumienia istoty pochodnej w kontekście wykresu funkcji. By lekcja przebiegła sprawnie, wymagane jest, by uczeń znał proces znajdowania współczynnika kierunkowego przy wykorzystaniu definicji nachylenie = . Byłoby zalecane, by uczeń wiedział, jak znaleźć wartość pochodnej, korzystając z graficznego kalkulatora (na przykład z TI-84) lub z innych źródeł. To pozwoli uczniom w kwantyfikacji ich błędów podczas rysowania stycznych.


Wymagane przyrządy pomiarowe


Uczniowie otrzymają kartę pracy z wykresami funkcji. Jedynymi przyrządami, które będą musieli posiadać, są ołówek, linijka i kalkulator graficzny.

Sugestie dydaktyczne


Proponowane zajęcia mogą być wykonane na jednej jednostce lekcyjnej. Nauczyciel wyjaśnia uczniom, że celem lekcji jest zrozumienie istoty pochodnej funkcji, korzystając z wykresów. By ten cel osiągnąć, technika rysowania stycznej do danej funkcji i znajdowania jej wartości nachylenia będzie konieczna. Nauczyciel dodaje, że technika ta zawsze niesie za sobą pewien błąd, który też będziemy próbować oszacować. Nauczyciel przygotowuje wykres funkcji na folii i demonstruje go, korzystając z rzutnika albo rysując podobny na tablicy (ryc. 1). Ponieważ nauczyciel będzie demonstrował pomiar odcinków trójkąta, by policzyć nachylenie stycznej, dobrze by było, by parabola była narysowana w wymiarach, które odzwierciedlają jej rzeczywistą wielkość. Tak więc współrzędna na przykład 10 cm na osi X czy osi Y powinna reprezentować 10 cm, jeśli jest pomierzona za pomocą linijki. To nam zapewni pewną spójność rachunków. Nauczyciel omawia wykres i pyta uczniów o prawdopodobną wartość tego współczynnika i możliwą technikę jej dokładniejszego pomiaru. Typowa lekcja rachunku różniczkowego nie włącza fizycznych pomiarów, więc odpowiedzi uczniów mogą nie sugerować techniki zastosowanej na tej lekcji. Nauczyciel wyjaśnia, że – żeby to zadanie wykonać – najpierw trzeba narysować styczną w podanym punkcie i podkreśla, że styczna ta nie może przecinać funkcji w punkcie x = 3 (co oznacza 30 cm na wykresie), tylko musi dotykać ją w tym punkcie. To jest własność stycznej (patrz ryc. 1).

  Ryc. 1. Linia styczna w punkcie x = 30 cm

 

 Ryc. 2. Pobór danych do policzenia wartości pochodnej funkcji f(x) w punkcie x = 30 cm
 

Nauczyciel sugeruje, że do tego, aby znaleźć ten współczynnik nachylenia, pomiar x i Δy jest konieczny. Pomocne byłoby więc wyodrębnienie prostokątnego trójkąta. Niektórzy matematycy2 nazywają taki trójkąt trójkątem różniczkowym (calculus triangle). Jest to wygodna nazwa, która ułatwi przypomnienie i nawiązanie do tej techniki na innych lekcjach. Nauczyciel używa metrowego przymiaru, by pomierzyć boki tego trójkąta, co jest ilustrowane na ryc. 2.

Uczniowie pytają czasami, jak zdecydować o wymiarach tego trójkąta. Odpowiadając na to pytanie, nauczyciel może przedłużyć boki tego trójkąta i zapytać, czy nachylenie tej prostej się zmieniło, kiedy wymiary trójkąta się zmieniały. W rezultacie te trójkąty są podobne według zasady tych samych kątów, które te trójkąty posiadają, tak więc nachylenie tej prostej też pozostaje niezmienne. To pozwala nam osiągnąć konkluzję, że wielkość trójkąta nie odgrywa roli. Jednakże większy trójkąt pozwoli osiągnąć bardziej precyzyjny pomiar jego boków i konsekwentnie bardziej precyzyjne nachylenie tej stycznej. Nauczyciel przystępuje do liczenia tego współczynnika (wartości pochodnej f(x) w punkcie x = 30 cm). Oznaczając wartość pochodnej jako f′ (30), otrzymujemy f′ (30) = \({22 cm \over 12 cm}\) = 1.8. Nauczyciel podkreśla, że wartością pochodnej tej funkcji jest 1.8, która jest zobrazowana przez współczynnik kierunkowy tej funkcji.

Pozostaje pytanie, jak oszacować błąd tej...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy