Plecionki z Alhambry

W wielu programach do nauczania geometrii mamy możliwość tworzenia naszych własnych narzędzi. Takimi programami są Geometer’s Sketchpad oraz GeoGebra. Podobne cechy mają tzw. makro w programie Cabri. W tym ostatnim przypadku nie mamy jednak takiej elastyczności używania narzędzi użytkownika jak w przypadku Sketchpada czy GeoGebry. Oba wymienione tu programy znacznie różnią się między sobą, ale jest to mniej istotne w przypadku omawianego tu zagadnienia. Do narzędzi definiowanych przez użytkownika będziemy wracać przy każdej możliwej okazji, a tymczasem zajmijmy się plecionkami.
Plecionka, jako taka, powstała w celach użytkowych. Praktycznie każda pierwotna kultura, o ile tylko miała materiały nadające się do wyplatania, produkowała kosze, maty, dywany, kilimy czy tkaniny, wyplatając je z różnych, w miarę elastycznych materiałów. Do dziś maty wykonane z trawy lub bambusa w Indonezji czy Malezji są poszukiwanym przedmiotem użytkowym lub dekoracyjnym. Również w Polsce kosze wyplatane z wikliny czy ratanu cieszą się dużym popytem.
W sztuce wzory odtwarzające plecionki pojawiły się bardzo dawno. Znajdujemy je dość często w postaci różnych tkanin dekoracyjnych, dywanów lub płaskorzeźb na ścianach antycznych budowli. W tym artykule opowiemy o plecionkach pochodzących z architektury muzułmańskiej, a w szczególności z architektury Maroka oraz Alhambry, znajdującej się w południowej Hiszpanii.

Modularna struktura dekoracji

Przeciętny człowiek nie zauważa, że większość elementów dekoracyjnych w architekturze ma swój specyficzny rytm. Dla matematyka znającego grupy symetrii jest to oczywisty fakt. Informacje na ten temat znajdziemy w podręcznikach zarówno matematyki, jak i sztuki. Powtarzalność motywu i rytm są ze sobą bardzo mocno powiązane. Jak to wygląda? Popatrzmy na przykład.

Uważnie obserwując wzór na pokazanej tu rycinie, dostrzeżemy, że jest on zbudowany z płytek ceramicznych. Zauważmy przy okazji, że płytki z wytłoczonym na nich wzorem mają dość specyficzne proporcje. Nie są to kwadraty. Każda taka płytka zawiera cały motyw i jest tak wykonana, aby na połączeniu dwóch sąsiednich płytek wzór gładko się dopasował. Co zatem idzie, wystarczy wykonać projekt dokładnie jednej płytki, a następnie serię płytek identycznych z tym projektem. Po połączeniu na ścianie płytek jedna obok drugiej mamy pokrycie ściany odpowiednim wzorem. W ten sposób możemy otrzymać nawet bardzo skomplikowane dekoracje, a przy okazji znacznie uprościć sobie pracę.
Oba wspomniane tu argumenty są istotne w takich pracach z uczniami, gdzie występują powtarzalne konstrukcje i elementy geometryczne. Co więcej, mając odpowiedni program komputerowy, możemy jeszcze bardziej uprościć czynności techniczne i skoncentrować się wyłącznie na koncepcji omawianego zagadnienia.

Narzędzia użytkownika w programach do geometrii

Wspomniane na wstępie programy komputerowe – Geometer’s Sketchpad i GeoGebra – pozwalają nam naśladować opisane przed chwilą zjawisko powtarzalności wzoru i jego rytmu. Możliwości te są mało znane i jeszcze rzadziej używane. Są to tzw. narzędzia użytkownika. Popatrzmy, jak możemy takie narzędzia wykonać oraz jak ich używać.

Narzędzia do rysowania kwadratu i sześciokąta foremnego

Te dwie figury, kwadrat i heksagon, wypełnione jakimkolwiek wzorem mogą posłużyć do wykonania posadzki, dekoracji na ścianie czy na jakimś przedmiocie. Kolejne ryciny pokazują, jak możemy skonstruować te dwie figury, zrobić dla nich odpowiednie narzędzia, a następnie, używając tych narzędzi, wykonać przykładową posadzkę z kwadratów i sześciokątów. W tym artykule wykorzystuję program Geometer’s Sketchpad. Niemalże dokładnie to samo możemy wykonać w programie GeoGebra.

Narzędzie do rysowania kwadratów (GSP)
Krok 1: Narysuj odcinek AB oraz dwie proste prostopadłe do niego, ‘c’ i ‘d’. Dwa okręgi ‘e’ i ‘f’, przecinając się z prostymi prostopadłymi, wyznaczają punkty ‘G’ i ‘H’. Punkty ‘A’, ‘B’, ‘C’ i ‘D’ wyznaczają wierzchołki kwadratu. Teraz wystarczy połączyć je odpowiednio odcinkami, wypełnić wnętrze kolorem i mamy kwadrat.
Krok 2: Zaznacz odpowiednie elementy konstrukcji, które powinny być częścią nowego narzędzia. Punkty ‘A’ i ‘B’ są absolutnie niezbędne. Od nich zaczęliśmy konstrukcję.
Krok 3: W menu „Custom Tool” wybieramy opcję „Utwórz nowe narzędzie”, podajemy nazwę narzędzia, np. „mój kwadrat”, i to już wszystko. Narzędzie jest gotowe do użytku.

Narzędzie do rysowania sześciokątów foremnych (GSP)
Dokładnie tak jak poprzednio zaczynamy od odcinka AB. Dalej, rysując odpowiednie okręgi, konstruujemy sześciokąt foremny z wnętrzem lub bez. Następnie, również podobnie jak poprzednio, wybieramy końce odcinka AB oraz te elementy konstrukcji, które mają się pojawiać w trakcie używania narzędzia. 
Dajemy mu odpowiednią nazwę, a w programie GeoGebra możemy nawet dołożyć odpowiednią ikonę.

W pokazany tu sposób możemy wykonać narzędzia do rysowania innych wielokątów, np. trójkątów równobocznych czy dwunastokątów foremnych.
Użycie tak skonstruowanych narzędzi jest bardzo proste. Wybieramy odpowiednie narzędzie z odpowiedniego menu, a następnie wybieramy na ekranie komputera dwa istniejące lub zupełnie nowe punkty (odpowiedniki punktów A i B).
Zauważmy, że tylko elementy wybrane w trakcie tworzenia narzędzia będą się pojawiały na rysunku. Dla przykładu w naszej konstrukcji zapomnieliśmy – umyślnie – zaznaczyć boków sześciokąta i kwadratu. Co zatem idzie, nie pojawiają się one na rysunku.

Oba wymienione wcześniej programy pozwalają nam na wykonanie narzędzi do nawet najbardziej złożonych elementów matematyki szkolnej. Przy czym każde narzędzie może być użyte przy tworzeniu innych narzędzi. To oznacza, że proces tworzenia narzędzi użytkowania może być rozbity na elementy podobne do procedur w językach programowania.

Plecionki

W tym artykule skoncentrujemy się na wąskiej grupie wzorów plecionkowych, a mianowicie tych występujących w sztuce Maroka i Alhambry. W innych krajach muzułmańskich również znajdziemy plecionki, ale dość rzadko i znacznie mniej skomplikowane. Te z Maroka potrafią być wyjątkowo atrakcyjne pod względem zarówno komplikacji wzoru, jak i ich niecodziennej kolorystyki. Najciekawsze i zarazem najpiękniejsze przykłady znajdziemy w Alhambrze w pałacu Nazarydów. Niemniej w wielu innych miejscach także znajdziemy podobne plecionki. Popatrzmy teraz na dwa przykłady.

W kilku popularnych publikacjach znajdziemy próby analizy tych wzorów, ale żadna z nich nie podaje czytelnych sposobów ich tworzenia. Natomiast bardzo dobrą analizę siatek tych wzorów znajdziemy w książce Davida Wade. Za chwilę posłużymy się tą analizą w celu zrozumienia struktury wzorów plecionkowych.

Patrząc na pokazane wcześniej przykłady oraz na ilustrację Davida Wade’a, możemy wyciągnąć kilka prostych wniosków. Na początek zauważmy, że każdy z tych wzorów ma jakieś ograniczenia. Czasem są tylko z dwóch stron, znacznie częściej z czterech stron. Czytelnik z łatwością zauważy również, że wszystkie te wzory są zbudowane z ukośnych ścieżek idących albo w lewo na dół (lub w górę), albo w prawo na dół (lub w górę). Ścieżki poziome lub pionowe są rzadkością i mamy je głównie przy brzegach wzoru. Ważną obserwacją jest, że ścieżki ukośne przeplatają się regularnie i dokładnie na przemian. Natomiast ścieżki poziome i pionowe nie przeplatają się i nie przecinają się z innymi ścieżkami. W dowolnym punkcie przecięcia mamy dokładnie dwie ścieżki. Nie ma zatem miejsca, w którym mogłyby się przeplatać trzy ścieżki. Wymienione tu obserwacje możemy potraktować jako reguły lub – mówiąc bardziej matematycznie – jako aksjomaty plecionek.
Spróbujmy uzupełnić rysunki Davida Wade pewnymi niezbędnymi elementami. Wstawiając czerwone kropki w pustych miejscach pomiędzy ścieżkami i żółte kropki w miejscach przecięcia się ścieżek, otrzymamy regularną siatkę punktów o kwadratowych oczkach.

Na rycinie powyżej mamy pokazaną siatkę punktów oraz sposób, w jaki możemy przechodzić wzdłuż ścieżki lub ścieżek. Każda ścieżka idzie po żółtych punktach i w momencie, gdy dochodzi do brzegu, odbija się i stara się zaraz pójść ukośnie w dowolnym, możliwym w danym momencie, kierunku. Zauważmy, że te 
odbicia są identyczne z tymi, które rozważamy w fizyce, omawiając np. ruch kuli bilardowej.

Gra Jerboa

Opisaną tu sytuację możemy przedstawić w postaci prostej gry lub układanki z dwoma lub więcej rodzajami klocków. Pokazałem je na kolejnej rycinie.
Skąd ta nazwa – Jerboa? Na pustyni arabskiej żyją małe zwierzątka, zwane jerboa – jest to coś podobnego do myszy, z długim ogonkiem zakończonym pędzelkiem. Zwierzątka te mają duże uszy, szybko biegają, zakopują się w piasek, by za chwilę pojawić się w innym miejscu, a ich ogonki zostawiają ślady na piasku.
W naszej grze możemy posłużyć się papierem w kratkę lub siatką ukośnie ułożonych kwadratów wykonanych w programie GeoGebra lub Geometer’s Sketchpad. Taka siatka jest pokazana na kolejnej rycinie. W kilku początkowych przykładach będziemy rysować czerwone i żółte kropki, potem, aby uprościć sobie życie, zapomnimy o żółtych kropkach. Czerwone w zupełności nam wystarczą.

Ponieważ z założenia chcemy pokazać, jak można wykorzystać narzędzia definiowane przez użytkownika w programach do nauczania geometrii, pokażemy narzędzia i sposób ich utworzenia.
Na rycinie poniżej z lewej strony mamy siatkę do gry. Zaczynamy od punktów A i B, konstruujemy kwadrat o podstawie AB, a następnie przez translację tworzymy dowolnej wielkości siatkę punktów o nieparzystej liczbie rzędów i kolumn. 
Ta pokazana na rysunku ma 9 kolumn i 5 rzędów. Punkty A i B są punktami początkowymi naszego narzędzia. Używając go wielokrotnie, możemy stworzyć dowolnie dużą siatkę do gry.
Z prawej strony ryciny mamy pokazane konstrukcje dwóch najbardziej niezbędnych klocków do naszej gry. Punkty E, F i C, D są punktami początkowymi każdego z tych narzędzi. Szerokość ścieżki pokazanej na rycinie ma dokładnie 10/12 szerokości boku kwadratu.
Czytelnikowi, który chce sprawdzić, jak działają opisane tu narzędzia, proponuję, aby zajrzał na stronę //symmetrica.wordpress.com/gsp/ i tam odszukał Ribbon Pattern Toolbox. 
Skoro mamy grę, to warto uściślić jej reguły:

1. Plansza do gry powinna być zamknięta ogrodzeniem niezawierającym przerw. Jeśli będzie przerwa w ogrodzeniu, to jerboa nam ucieknie.
2. Każdy narożnik planszy powinien znajdować się w czerwonym punkcie.
3. Jeśli to możliwe, jerboa idzie zawsze ukośnie w dół lub górę. Natomiast jeśli nie ma takiej możliwości, idzie w dowolnym, dostępnym w danej chwili kierunku, np. poziomo lub pionowo.
4. Jerboa zmienia kierunek drogi tylko przy ogrodzeniu lub napotkanej przeszkodzie.
5. Jerboa idzie na przemian górą lub dołem, przechodząc przez żółte punkty nieznajdujące się na krawędzi obszaru gry. To oznacza, że układamy klocki na przemian: albo w kierunku ścieżki, albo w poprzek.
6. Celem gry jest pokrycie całej planszy wzorem. Jeśli zamknie nam się ścieżka, a na planszy są wolne miejsca, to musimy wpuścić na planszę drugiego jerboa i utworzyć nową ścieżkę, aż do zapełnienia całej planszy.

To tyle reguł, a teraz spróbujmy pograć.

Plansze 1 i 2
Na kolejnych rycinach mamy pokazane dwie plansze do gry. Zadaniem grającego jest ułożenie klocków do gry Jerboa tak, aby pokryć całą planszę. Klocki stawiamy tak, aby ich wierzchołki pokrywały się z czerwonymi punktami, a żółte punkty zostały zakryte przez klocek. Każda plansza ma inny rozmiar, a co za tym idzie – również inne własności. W zależności od rozmiaru planszy możemy mieć kilka nawzajem przeplatających się ścieżek. To tak, jakby dwa lub więcej jerboa hasały na tym samym podwórku. Grając na papierze lub ekranie komputera, możemy pokolorować każdą ścieżkę innym kolorem. Matematyk w tym miejscu będzie się zastanawiał, ile może istnieć takich ścieżek w zależności od rozmiarów planszy. Jest to ciekawy problem i z pewnością zainteresuje uczniów. Dla przykładu: dla jakich rozmiarów planszy mamy dokładnie jedną ścieżkę, dwie ścieżki itd.?

Jeśli już przeszliśmy przez obszary prostokątne, to czas na coś nieco bardziej złożonego. Nikt nie powiedział, że obszar gry Jerboa musi być prostokątem. Co zatem się stanie, jeśli zamiast prostokąta weźmiemy nieco bardziej urozmaicony obszar?

Plansza 3
Narysujmy planszę pokazaną na kolejnej rycinie. Tu mamy tylko wycięte narożniki. Grający może skonstruować znacznie ciekawsze ogrodzenie i wtedy dopiero gra zaczyna być interesująca. 

Prawdziwa przygoda zaczyna się wtedy, gdy na drodze jerboa zaczną się pojawiać przeszkody, np. partycje, nieodpowiednie punkty lub brak pewnych punktów. To wszystko jest jeszcze przed nami. 

Plansza 4
Wypełnij pokazaną na rysunku planszę. Rezultat powinien wyglądać tak, jak na kolejnej rycinie. Ten przykład wzoru plecionki pochodzi z książki Inci A. Birol2. Jest to jeden z najczęściej stosowanych wzorów do obramowania ilustracji w książkach. Często jest on wykonywany na obszarze z licznymi narożnikami. Jego szczególną cechą są regularnie powtarzające się na przemian partycje. Wzór ten może być dowolnie przedłużany w lewo i prawo.

 
 Zarówno w marokańskiej, jak i andaluzyjskiej architekturze znajdziemy wiele przykładów plecionek z interesującymi układami partycji. Tu budowniczowie wykazywali się – czasem – niezwykłą pomysłowością. Niektóre z nich są tak złożone i duże, że zmieszczenie ich na stronie czasopisma może być trudnym zadaniem. Oto dwa takie przykłady z nieco bardziej złożonym układem partycji.

Plansze 5 i 6
Na rycinach mamy pokazane plansze z wewnętrznymi partycjami. Każda z nich ma swoje ciekawe własności. Możemy to zobaczyć dopiero po wykonaniu wzoru plecionki. Pierwsza z tych plansz ma duży krzyż pośrodku, przez co jerboa jest zmuszona do wędrowania po małych, zamkniętych pętlach. Ile ich będzie i jak one wyglądają?
W drugim przypadku poziome długie partycje tworzą długie korytarze, a co za tym idzie – nasz wzór w tym miejscu będzie miał postać warkocza. Zauważmy, że druga plansza może być przedłużana na boki praktycznie w nieskończoność. Otrzymany na niej wzór plecionki jest kolejnym kandydatem do rozmaitych ramek wokół większych przedmiotów, np. obrazka czy drzwi.

Plansza 7
Tym razem nasze zadanie jest nieco inne. Na rycinie mamy pokazany wzór plecionki, a zadaniem grającego jest skonstruowanie planszy do tej plecionki.

 Plansza 8. Wzór nieskończony
Jest to nasz ostatni przykład, pokazujący, jak skomplikowane mogą być wzory plecionki. Linie przerywane na bokach sugerują modularną formę wzoru. Można go uzupełniać na lewo i prawo, dodając kolejne kopie tej planszy. Co z tego wyniknie?

Wzory z nieregularnymi elementami

Zdarza się, że plansza do układania plecionki jest w jakiś sposób zaburzona, np. brakuje w niej czerwonego punktu lub partycja jest ustawiona w nietypowy sposób. To sprawia, że wzór plecionki staje się jeszcze bardziej interesujący. Właśnie takie nieregularności znajdujemy często na plecionkach z Alhambry. W tym artykule omówimy tylko dwa takie przypadki, może być ich jednak nieco więcej.

Plansza 9. Brakujący czerwony punkt

Na pokazanej tu planszy zabrakło czerwonego punktu pomiędzy punktami Q i R. Natomiast partycje PQ i RS są krótsze niż powinny być. To sprawia, że po przekroczeniu punktu Q jerboa pójdzie po skosie w dół. Otrzymamy w ten sposób bardzo interesujące skrzyżowanie ścieżek. 

W tym przypadku widać, że nasze narzędzia nie będą wystarczające. Musimy je uzupełnić dodatkowymi klockami. Mamy tu klocki A i B oraz duży klocek X. Zauważmy, że klocek X jest większy niż wszystkie pozostałe i jego wierzchołki opierają się o czerwone punkty. Klocek ten układamy poziomo lub pionowo, podczas gdy wszystkie pozostałe układamy ukośnie.

 
Konstrukcja tego klocka, jako narzędzia GeoGebry lub Sketchpada, musi być tak zrobiona, aby poszczególne ścieżki łączyły się z innymi bez przeskoków. W tym celu mamy dodatkowe łączniki A i B.
Załączona rycina pokazuje konstrukcję narzędzia X. Przypuszczam, że Czytelnik z łatwością ją odtworzy, a być może nawet ulepszy.

To już koniec niespodzianek związanych z tą planszą. Na kolejnej rycinie pokazuję wzór podobny do tego z Alhambry. Oczywiście, kolory nie są dokładnie te same.

 
Plansza 10. Czerwony punkt na drodze jerboa
Tym razem mamy sytuację zbliżoną do poprzedniej. Partycje są skrócone, ale czerwony punkt jest na swoim miejscu. Do czego to prowadzi? Tu już widać, że jerboa nie może przemieszczać się po skosie, bo czerwony punkt mu przeszkadza, ale nie ma od czego się odbić. Będzie zatem kontynuował swoją wędrówkę poziomo lub pionowo.

Tu również widać, że będziemy potrzebowali dwóch dodatkowych narzędzi. Będą nimi skrzyżowania pokazane na kolejnej rycinie. Przy czym musimy mieć dwa skrzyżowania – lewoskrętne i prawoskrętne.

Kilka uwag o stylu

Pewne znane nam plecionki mają tak szerokie ścieżki, że kompletnie wypełniają płaszczyznę. Inne z kolei mają ograniczoną szerokość, przez co zostawiają dużo pustego miejsca wokół czerwonych punktów. Z powodów czysto estetycznych chcielibyśmy, aby te ścieżki miały wszędzie tę samą szerokość. Czy to jest zawsze możliwe?
W tym artykule ścieżki poziome i pionowe są węższe od ukośnych. W ten sposób konstrukcje naszych narzędzi są bardzo proste. Można jednak nieco poprawić nasze konstrukcje. To jednak znacznie skomplikuje elementy układanki.

Mamy tu pokazane połączenie elementów naszej układanki. Wyraźnie widać, że pozioma ścieżka jest węższa od ukośnej, ale poszczególne elementy łączą się bez przeskoków.
Zastanówmy się, jak powinny wyglądać konstrukcje naszych narzędzi, aby wszystkie ścieżki miały taką samą szerokość. Możliwa jest też inna konstrukcja narzędzi do układanki Jerboa. W tej konstrukcji wszystkie ścieżki mają tę samą szerokość, równą połowie boku kwadratu. To jednak sprawia, że konstrukcja zarówno w kwadracie, jak i w trójkącie się skomplikuje i zamiast dwóch narzędzi, będziemy musieli mieć ich trochę więcej, np. kwadrat prosty, kwadrat z jednym ukośnym zakończeniem czy kwadrat z dwoma ukośnymi zakończeniami. Przy czym ukośne zakończenia kwadratów muszą być skierowane w lewo lub prawo. Podobnie będzie z trójkątnym narzędziem.

WebSketchpad Jerboa Puzzle

Dla Czytelników, którzy akurat nie mają pod ręką programu komputerowego lub kartki papieru w kratkę, skonstruowałem wersję „online” gry Jerboa. Nazwałem ją Jerboa Puzzle lub Ribbon Patterns Toolbox. Czytelnik znajdzie ją na blogu Symmetrica, a Geometry and Art Blog (//symmetrica.wordpress.com/gsp/). Układanka została wykonana w programie Geometer’s Sketchpad, a następnie przetworzona w programie WebSketchpad. Czytelnik znajdzie tam wszystkie elementy, które omawialiśmy w tym artykule.

 Okno wersji online układanki Jerboa. Z lewej strony ekranu mamy pokazane narzędzia dostępne dla użytkownika. Mamy również narzędzie umożliwiające kolorowanie poszczególnych ścieżek. Zakręcone strzałki w lewym górnym rogu ekranu służą do cofania wykonanych operacji lub przywracania ich rezultatów.
Na tym kończę ten tekst. Zainteresowany Czytelnik może stworzyć swoje własne plecionki, wymyślić kolejne pułapki, jakie znajdzie jerboa na swojej drodze, zmienić reguły układanki lub stworzyć nowe. Dla przykładu – jak może wyglądać gra Jerboa na siatce trójkątnej lub na innych siatkach?

Bibliografia:

1. Wade D., Pattern in Islamic Art, The Overlook Press, Woodstock, Nowy Jork, 1976.
2. Birol Inci A., Türk Tezyînî Sanatlarında, DESEN TASARIMI, çizim tekniĝi ve çeşitleri (Turkish ornamental art, Pattern Design, drawing techniques and types), Kubbealti, Istambuł 2012.
3. Racinet A., L’Ornement Polychrome, 1888.