Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka dawniej i dziś

20 listopada 2018

NR 35 (Listopad 2018)

Plecionki z Alhambry

0 214

Niniejszy tekst ma dwa cele. Pierwszym z nich jest pokazanie, w jaki sposób narzędzia definiowane przez użytkownika w programach komputerowych mogą posłużyć nam w nauczaniu elementów geometrii w szkole lub NIĄ. Drugim celem tego tekstu jest opisanie pewnej grupy wzorów geometrycznych określanych jako plecionki. Oba te cele świetnie integrują się w postaci gier lub układanek o charakterze matematycznym na dowolnym poziomie szkolnym. Wystarczy tylko zadbać o odpowiedni stopień trudności.

W wielu programach do nauczania geometrii mamy możliwość tworzenia naszych własnych narzędzi. Takimi programami są Geometer’s Sketchpad oraz GeoGebra. Podobne cechy mają tzw. makro w programie Cabri. W tym ostatnim przypadku nie mamy jednak takiej elastyczności używania narzędzi użytkownika jak w przypadku Sketchpada czy GeoGebry. Oba wymienione tu programy znacznie różnią się między sobą, ale jest to mniej istotne w przypadku omawianego tu zagadnienia. Do narzędzi definiowanych przez użytkownika będziemy wracać przy każdej możliwej okazji, a tymczasem zajmijmy się plecionkami.
Plecionka, jako taka, powstała w celach użytkowych. Praktycznie każda pierwotna kultura, o ile tylko miała materiały nadające się do wyplatania, produkowała kosze, maty, dywany, kilimy czy tkaniny, wyplatając je z różnych, w miarę elastycznych materiałów. Do dziś maty wykonane z trawy lub bambusa w Indonezji czy Malezji są poszukiwanym przedmiotem użytkowym lub dekoracyjnym. Również w Polsce kosze wyplatane z wikliny czy ratanu cieszą się dużym popytem.
W sztuce wzory odtwarzające plecionki pojawiły się bardzo dawno. Znajdujemy je dość często w postaci różnych tkanin dekoracyjnych, dywanów lub płaskorzeźb na ścianach antycznych budowli. W tym artykule opowiemy o plecionkach pochodzących z architektury muzułmańskiej, a w szczególności z architektury Maroka oraz Alhambry, znajdującej się w południowej Hiszpanii.

Modularna struktura dekoracji

Przeciętny człowiek nie zauważa, że większość elementów dekoracyjnych w architekturze ma swój specyficzny rytm. Dla matematyka znającego grupy symetrii jest to oczywisty fakt. Informacje na ten temat znajdziemy w podręcznikach zarówno matematyki, jak i sztuki. Powtarzalność motywu i rytm są ze sobą bardzo mocno powiązane. Jak to wygląda? Popatrzmy na przykład.

Geometryczna dekoracja z zielonego meczetu w Bursie w Turcji
(fot. M. Majewski)

Uważnie obserwując wzór na pokazanej tu rycinie, dostrzeżemy, że jest on zbudowany z płytek ceramicznych. Zauważmy przy okazji, że płytki z wytłoczonym na nich wzorem mają dość specyficzne proporcje. Nie są to kwadraty. Każda taka płytka zawiera cały motyw i jest tak wykonana, aby na połączeniu dwóch sąsiednich płytek wzór gładko się dopasował. Co zatem idzie, wystarczy wykonać projekt dokładnie jednej płytki, a następnie serię płytek identycznych z tym projektem. Po połączeniu na ścianie płytek jedna obok drugiej mamy pokrycie ściany odpowiednim wzorem. W ten sposób możemy otrzymać nawet bardzo skomplikowane dekoracje, a przy okazji znacznie uprościć sobie pracę.
Oba wspomniane tu argumenty są istotne w takich pracach z uczniami, gdzie występują powtarzalne konstrukcje i elementy geometryczne. Co więcej, mając odpowiedni program komputerowy, możemy jeszcze bardziej uprościć czynności techniczne i skoncentrować się wyłącznie na koncepcji omawianego zagadnienia.

Narzędzia użytkownika w programach do geometrii

Wspomniane na wstępie programy komputerowe – Geometer’s Sketchpad i GeoGebra – pozwalają nam naśladować opisane przed chwilą zjawisko powtarzalności wzoru i jego rytmu. Możliwości te są mało znane i jeszcze rzadziej używane. Są to tzw. narzędzia użytkownika. Popatrzmy, jak możemy takie narzędzia wykonać oraz jak ich używać.

Narzędzia do rysowania kwadratu i sześciokąta foremnego

Te dwie figury, kwadrat i heksagon, wypełnione jakimkolwiek wzorem mogą posłużyć do wykonania posadzki, dekoracji na ścianie czy na jakimś przedmiocie. Kolejne ryciny pokazują, jak możemy skonstruować te dwie figury, zrobić dla nich odpowiednie narzędzia, a następnie, używając tych narzędzi, wykonać przykładową posadzkę z kwadratów i sześciokątów. W tym artykule wykorzystuję program Geometer’s Sketchpad. Niemalże dokładnie to samo możemy wykonać w programie GeoGebra.

Narzędzie do rysowania kwadratów (GSP)
Krok 1: Narysuj odcinek AB oraz dwie proste prostopadłe do niego, ‘c’ i ‘d’. Dwa okręgi ‘e’ i ‘f’, przecinając się z prostymi prostopadłymi, wyznaczają punkty ‘G’ i ‘H’. Punkty ‘A’, ‘B’, ‘C’ i ‘D’ wyznaczają wierzchołki kwadratu. Teraz wystarczy połączyć je odpowiednio odcinkami, wypełnić wnętrze kolorem i mamy kwadrat.
Krok 2: Zaznacz odpowiednie elementy konstrukcji, które powinny być częścią nowego narzędzia. Punkty ‘A’ i ‘B’ są absolutnie niezbędne. Od nich zaczęliśmy konstrukcję.
Krok 3: W menu „Custom Tool” wybieramy opcję „Utwórz nowe narzędzie”, podajemy nazwę narzędzia, np. „mój kwadrat”, i to już wszystko. Narzędzie jest gotowe do użytku.

Narzędzie do rysowania sześciokątów foremnych (GSP)
Dokładnie tak jak poprzednio zaczynamy od odcinka AB. Dalej, rysując odpowiednie okręgi, konstruujemy sześciokąt foremny z wnętrzem lub bez. Następnie, również podobnie jak poprzednio, wybieramy końce odcinka AB oraz te elementy konstrukcji, które mają się pojawiać w trakcie używania narzędzia. 
Dajemy mu odpowiednią nazwę, a w programie GeoGebra możemy nawet dołożyć odpowiednią ikonę.

W pokazany tu sposób możemy wykonać narzędzia do rysowania innych wielokątów, np. trójkątów równobocznych czy dwunastokątów foremnych.
Użycie tak skonstruowanych narzędzi jest bardzo proste. Wybieramy odpowiednie narzędzie z odpowiedniego menu, a następnie wybieramy na ekranie komputera dwa istniejące lub zupełnie nowe punkty (odpowiedniki punktów A i B).
Zauważmy, że tylko elementy wybrane w trakcie tworzenia narzędzia będą się pojawiały na rysunku. Dla przykładu w naszej konstrukcji zapomnieliśmy – umyślnie – zaznaczyć boków sześciokąta i kwadratu. Co zatem idzie, nie pojawiają się one na rysunku.

Posadzka wykonana z czterech wielokątów – trójkąta równobocznego, kwadratu, sześciokąta foremnego i dwunastokąta.


Oba wymienione wcześniej programy pozwalają nam na wykonanie narzędzi do nawet najbardziej złożonych elementów matematyki szkolnej. Przy czym każde narzędzie może być użyte przy tworzeniu innych narzędzi. To oznacza, że proces tworzenia narzędzi użytkowania może być rozbity na elementy podobne do procedur w językach programowania.

Plecionki

W tym artykule skoncentrujemy się na wąskiej grupie wzorów plecionkowych, a mianowicie tych występujących w sztuce Maroka i Alhambry. W innych krajach muzułmańskich również znajdziemy plecionki, ale dość rzadko i znacznie mniej skomplikowane. Te z Maroka potrafią być wyjątkowo atrakcyjne pod względem zarówno komplikacji wzoru, jak i ich niecodziennej kolorystyki. Najciekawsze i zarazem najpiękniejsze przykłady znajdziemy w Alhambrze w pałacu Nazarydów. Niemniej w wielu innych miejscach także znajdziemy podobne plecionki. Popatrzmy teraz na dwa przykłady.

Plecionka z meczetu Szejka Zayeda w Abu Dhabi
Jest ona ozdobą wokół drzwi do jednego z pomieszczeń modlitewnych. Przy niesamowitym przepychu tego meczetu ta plecionka jest zdumiewająco prostym elementem dekoracyjnym (fot. M. Majewski)
Fragment plecionki z Alhambry. Tu poszczególne elementy zostały wycięte z płytki ceramicznej i sklejone zaprawą murarską.

W kilku popularnych publikacjach znajdziemy próby analizy tych wzorów, ale żadna z nich nie podaje czytelnych sposobów ich tworzenia. Natomiast bardzo dobrą analizę siatek tych wzorów znajdziemy w książce Davida Wade. Za chwilę posłużymy się tą analizą w celu zrozumienia struktury wzorów plecionkowych.

Analiza wzoru plecionkowego z książki Davida Wade (rysunek użyty za zgodą autora)


Patrząc na pokazane wcześniej przykłady oraz na ilustrację Davida Wade’a, możemy wyciągnąć kilka prostych wniosków. Na początek zauważmy, że każdy z tych wzorów ma jakieś ograniczenia. Czasem są tylko z dwóch stron, znacznie częściej z czterech stron. Czytelnik z łatwością zauważy również, że wszystkie te wzory są zbudowane z ukośnych ścieżek idących albo w lewo na dół (lub w górę), albo w prawo na dół (lub w górę). Ścieżki poziome lub pionowe są rzadkością i mamy je głównie przy brzegach wzoru. Ważną obserwacją jest, że ścieżki ukośne przeplatają się regularnie i dokładnie na przemian. Natomiast ścieżki poziome i pionowe nie przeplatają się i nie przecinają się z innymi ścieżkami. W dowolnym punkcie przecięcia mamy dokładnie dwie ścieżki. Nie ma zatem miejsca, w którym mogłyby się przeplatać trzy ścieżki. Wymienione tu obserwacje możemy potraktować jako reguły lub – mówiąc bardziej matematycznie – jako aksjomaty plecionek.
Spróbujmy uzupełnić rysunki Davida Wade pewnymi niezbędnymi elementami. Wstawiając czerwone kropki w pustych miejscach pomiędzy ścieżkami i żółte kropki w miejscach przecięcia się ścieżek, otrzymamy regularną siatkę punktów o kwadratowych oczkach.

Przykładowa plecionka

Na rycinie powyżej mamy pokazaną siatkę punktów oraz sposób, w jaki możemy przechodzić wzdłuż ścieżki lub ścieżek. Każda ścieżka idzie po żółtych punktach i w momencie, gdy dochodzi do brzegu, odbija się i stara się zaraz pójść ukośnie w dowolnym, możliwym w danym momencie, kierunku. Zauważmy, że te 
odbicia są identyczne z tymi, które rozważamy w fizyce, omawiając np. ruch kuli bilardowej.

Gra Jerboa

Opisaną tu sytuację możemy przedstawić w postaci prostej gry lub układanki z dwoma lub więcej rodzajami klocków. Pokazałem je na kolejnej rycinie.
Skąd ta nazwa – Jerboa? Na pustyni arabskiej żyją małe zwierzątka, zwane jerboa – jest to coś podobnego do myszy, z długim ogonkiem zakończonym pędzelkiem. Zwierzątka te mają duże uszy, szybko biegają, zakopują się w piasek, by za chwilę pojawić się w innym miejscu, a ich ogonki zostawiają ślady na piasku.
W naszej grze możemy posłużyć się papierem w kratkę lub siatką ukośnie ułożonych kwadratów wykonanych w programie GeoGebra lub Geometer’s Sketchpad. Taka siatka jest pokazana na kolejnej rycinie. W kilku początkowych przykładach będziemy rysować czerwone i żółte kropki, potem, aby uprościć sobie życie, zapomnimy o żółtych kropkach. Czerwone w zupełności nam wystarczą.

Narzędzia niezbędne do gry Jerboa

Ponieważ z założenia chcemy pokazać, jak można wykorzystać narzędzia definiowane przez użytkownika w programach do nauczania geometrii, pokażemy narzędzia i sposób ich utworzenia.
Na rycinie poniżej z lewej strony mamy siatkę do gry. Zaczynamy od punktów A i B, konstruujemy kwadrat o podstawie AB, a następnie przez translację tworzymy dowolnej wielkości siatkę punktów o nieparzystej liczbie rzędów i kolumn. 
Ta pokazana na rysunku ma 9 kolumn i 5 rzędów. Punkty A i B są punktami początkowymi naszego narzędzia. Używając go wielokrotnie, możemy stworzyć dowolnie dużą siatkę do gry.
Z prawej strony ryciny mamy pokazane konstrukcje dwóch najbardziej niezbędnych klocków do naszej gry. Punkty E, F i C, D są punktami początkowymi każdego z tych narzędzi. Szerokość ścieżki pokazanej na rycinie ma dokładnie 10/12 szerokości boku kwadratu.
Czytelnikowi, który chce sprawdzić, jak działają opisane tu narzędzia, proponuję, aby zajrzał na stronę //symmetrica.wordpress.com/gsp/ i tam odszukał Ribbon Pattern Toolbox. 
Skoro mamy grę, to warto uściślić jej reguły:

  1. Plansza do gry powinna być zamknięta ogrodzeniem niezawierającym przerw. Jeśli będzie przerwa w ogrodzeniu, to jerboa nam ucieknie.
  2. Każdy narożnik planszy powinien znajdować się w czerwonym punkcie.
  3. Jeśli to możliwe, jerboa idzie zawsze ukośnie w dół lub górę. Natomiast jeśli nie ma takiej możliwości, idzie w dowolnym, dostępnym w danej chwili kierunku, np. poziomo lub pionowo.
  4. Jerboa zmienia kierunek drogi tylko przy ogrodzeniu lub napotkanej przeszkodzie.
  5. Jerboa idzie na przemian górą lub dołem, przechodząc przez żółte punkty nieznajdujące się na krawędzi obszaru gry. To oznacza, że układamy klocki na przemian: albo w kierunku ścieżki, albo w poprzek.
  6. Celem gry jest pokrycie całej planszy wzorem. Jeśli zamknie nam się ścieżka, a na planszy są wolne miejsca, to musimy wpuścić na planszę drugiego jerboa i utworzyć nową ścieżkę, aż do zapełnienia całej planszy.

To tyle reguł, a teraz spróbujmy pograć.

Plansze 1 i 2
Na kolejnych rycinach mamy pokazane dwie plansze do gry. Zadaniem grającego jest ułożenie klocków do gry Jerboa tak, aby pokryć całą planszę. Klocki stawiamy tak, aby ich wierzchołki pokrywały się z czerwonymi punktami, a żółte punkty zostały zakryte przez klocek. Każda plansza ma inny rozmiar, a co za tym idzie – również inne włas...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy