O smokach, drzewach i płatkach śniegowych (cz. 2)

L-systemy

Jeśli dokładnie się zastanowimy nad przykładami z poprzedniej części tego artykułu, to zauważymy, że są one wszystkie bardzo podobne. W każdym z nich tworzymy pewien kształt zbudowany z odcinków, a następnie zastępujemy każdy z istniejących odcinków tym właśnie kształtem. Proces ten powtarzamy wielokrotnie, aż do otrzymania pewnego, na ogół dość skomplikowanego, obiektu. Takie obiekty nazywamy L-systemami. Dla przykładu konstrukcja płatka Kocha daje się opisać symbolicznie jako L-system w następujący sposób:

• kąt: 60 stopni,
• figura początkowa: F (odcinek),
• reguły: F → F-F++F-F.

Symbolika użyta tu do opisu L-systemów została opisana w monografii Prusinkiewicza i Lindemayera1. Jej źródeł można się doszukiwać w paru wcześniejszych pracach innych autorów. Najbardziej klasyczny przykład L-systemu podaje von Koch w roku 1905 i stąd mamy znany nam już płatek Kocha. U Mandelbrota2 znajdziemy doskonały werbalny opis konstrukcji płatka von Kocha.

Zwróćmy uwagę na to, co mamy w symbolicznym zapisie płatka Kocha. Mamy tu pewien kąt. Jak możemy się domyślić, jest to kąt pomiędzy sąsiednimi odcinkami. Dalej jest zrozumiała rzecz – figura początkowa. Oczywiście, figura początkowa może być bardziej skomplikowana niż jeden odcinek. Wreszcie następuje reguła mówiąca, jaką konstrukcją należy zastąpić każdy odcinek przed przejściem do kolejnego obrazu iteracji. Przy czym znak „−” oznacza kąt w lewo, a znak „+” kąt, ten sam zresztą, ale w drugą stronę. Reguł zastępowania, bo tak się je nazywa, może być znacznie więcej i mogą być niezmiernie skomplikowane. Czytelnicy znający grafikę żółwia mogą przetłumaczyć ten zapis na język żółwia, tego z LOGO, w następujący sposób:

• F rysuj odcinek,
• − skręć w lewo o 60 stopni,
• + skręć w prawo o 60 stopni.

Domyślamy się, że ++ oznacza komendę skręć w prawo o 60 + 60 stopni, czyli 120.

Nazwa L-systemy pochodzi od nazwiska Aristida Lindenmayera, rzeczywistego twórcy L-systemów. To właśnie Lindenmayer, biolog zajmujący się modelowaniem organizmów żywych, w tym bakterii i roślin, wymyślił i stosował ten system. To z kolei pozwoliło na zastosowanie grafiki komputerowej do tworzenia realistycznej wizualizacji struktur roślinnych oraz ich rozwoju. Dzięki badaniom Lindenmayera i innych możemy teraz na filmach realizowanych za pomocą grafiki komputerowej oglądać magicznie wyrastające drzewa, kwiaty i wiele podobnych w strukturze obiektów. Ciekawe jest również to, że L-systemy znalazły kilka innych, nieco zaskakujących zastosowań. Dla przykładu niemiecki kompozytor urodzony w Nigerii, Hanspeter Kyburz, stosował je w muzyce.

Czytelnik zainteresowany wizualizacją L-sy...