Czym są iteracje? Mamy je w wielu dziedzinach, ale nas będą interesowały iteracje w matematyce, a głównie w geometrii. Zacznijmy zatem od definicji – i to tej najbardziej poglądowej, a niekoniecznie precyzyjnej w sensie matematycznym i opisanej aksjomatami.
Iteracja, w najbardziej ogólnym jej znaczeniu, jest powtarzaniem określonej operacji, poczynając od pewnego elementu początkowego, aż do osiągnięcia pewnego skutku. Mówimy o elemencie początkowym iteracji i o krokach iteracji. Ciąg obiektów otrzymany w wyniku iteracji często nazywamy jej orbitą. W wielu przypadkach poszczególne kroki iteracji polegają na zastosowaniu danej operacji w stosunku do wyniku otrzymanego z poprzedniego kroku. Taki proces najczęściej nosi odrębną nazwę i znany jest jako iteracja rekurencyjna lub po prostu rekursja. Nie znaczy to jednak, że każda iteracja jest rekursją.
Dla przykładu – iteracja polegająca na wyliczaniu wartości n! jako n! = 1 × 2 × 3 … × n będzie iteracją, w której nie używamy rekursji. Natomiast to samo zapisane w postaci iteracji rekurencyjnej może mieć postać:
POLECAMY
0! = 1 oraz (n + 1)! = n! × (n + 1)
Oczywiste jest, że iteracje rekurencyjne są znacznie bardziej interesujące, gdyż są o wiele bardziej efektywne i wymagają mniej obliczeń.
Jak wspomniałem na wstępie, iteracje są znane od bardzo dawna. Od jak dawna? Aby odpowiedzieć na to pytanie, musielibyśmy dokładnie przeszukać historię matematyki. Z pewnością jednak znali je starożytni Grecy.
Iteracje u starożytnych Greków
Jak pamiętamy, starożytni Grecy nie znali ułamków (ani zwykłych, ani dziesiętnych), nie znali nawet zera. Oni używali tylko liczb naturalnych i proporcji jako sposobu na określenie wartości ułamkowych. Dla przykładu do powiedzenia, że jakiś odcinek jest równy połowie innego, używano zwrotu „stosunek a do b jest jak 1 do 2”, przypominającego nasz zapis a : b = 1 : 2. Nawet zapis taki jak ten: a : b = 1 : 2 nie występuje u Euklidesa. Zapis symboliczny i równania wymyślono znacznie później.
Grecki matematyk, Theon ze Smyrny, żyjący około 100 roku naszej ery, rozważa dwa ciągi liczbowe, nazywając je przy tym liczbami boku i przekątnej. Mamy więc tam kolejno liczby pokazane w tabeli. Dodając tam dodatkowo kolumnę p : b i wyliczając z kalkulatorem wartość ułamka p/b, otrzymujemy kolejne przybliżenia liczby niewymiernej √‾2. Jedynkę, od której zaczynają się oba ciągi, nazywa się czasem monadą od słowa greckiego monas. Popatrzmy na ostatni wiersz. Jak dokładne jest to przybliżenie w porównaniu do tego, jakie my otrzymujemy za pomocą kalkulatora dla √‾2?
Wreszcie warto zauważyć, że liczby 17 i 12, a właściwie ułamek 17/12, były już w tekstach babilońskich używane do obliczeń związanych z kwadratem i jego przekątną, podobnie jak proporcja 22 : 7 służy Heronowi w obliczeniach związanych z okręgiem.
Teraz odrobina wyjaśnień związanych z tym tajemniczym ciągiem. Kluczem do niego jest rycina 1.
Dlaczego wspomniane tu dwa ciągi noszą nazwę liczb boku i przekątnej? W tym celu wystarczy popatrzeć na rycinę 1. Mamy tu ciąg kwadratów, w których bok każdego następnego kwadratu powstaje jako suma boku poprzedniego kwadratu i jego przekątnej, b1 = b + p, natomiast każda przekątna nowego kwadratu jest sumą podwojonego boku poprzedniego kwadratu i jego przekątnej, p1 = 2b + p. Te dwa wzory są niczym innym jak rekurencyjną definicją dwóch ciągów Theona, a w konsekwencji rekurencyjną definicją proporcji służącej do określenia długości przekątnej kwadratu. Nikt, oczywiście, nie zamierzał sięgać do nieskończoności, aby otrzymać dokładną wartość długości przekątnej. Wystarczyło wziąć dostatecznie dalekie wartości b i p.
Ważna uwaga: liczby pokazane na rycinie 1 są przybliżone, ale takimi właśnie operowano w tamtych czasach – liczbami naturalnymi i proporcjami liczb naturalnych. Zauważmy również, że w ciągu kwadratów pominięte zostały dwa pierwsze kwadraty. Współczesnemu Czytelnikowi trudno byłoby zaakceptować tak duże niedokładności. Interesujące jest również to, że choć my opisaną tu metodę znamy z matematyki greckiej, to znano ją również wcześniej w Mezopotamii.
My w czasach współczesnych radzimy sobie z długością przekątnej kwadratu na wiele sposobów. Niektóre z nich są równie interesujące jak metoda Theona. Dla przykładu powszechnie używany ułamek łańcuchowy
jest niczym innym jak ciągiem opisanym przez wzór iteracyjny:
Kolejne wartości an są kolejnymi przybliżeniami √‾2.
Tyle o starożytnych Grekach. Wróćmy teraz do naszego głównego tematu, czyli iteracji w geometrii.
Rozważając iteracje, w wielu przypadkach zakładamy, że liczba kroków iteracji jest nieskończona, a nas interesuje obiekt otrzymany po nieskończonej albo bardzo dużej liczbie kroków. W takim przypadku, jeśli iterujemy obiekty geometryczne, przynajmniej punkty, dochodzimy do niezwykle popularnych ostatnio w matematyce obiektów zwanych fraktalami. W tym dokumencie będą pojawiały się również fraktale, ale bardziej będziemy interesować się tym, co powstaje po drodze niż tym, co pojawia się na końcu.
Iteracje można stosować zarówno do funkcji czy operatorów matematycznych, jak i w stosunku do obiektów geometrycznych. Nas będzie interesowała głównie ta ostatnia sytuacja.
No a teraz, skoro już wiemy, o czym będzie ten tekst, zajmijmy się stroną praktyczną tego zagadnienia.
Narzędzia
Skoro mamy mówić o iteracjach obiektów geometrycznych, będzie potrzebny nam program do geometrii. Jest ich bardzo wiele – Cabri, Geometer’s Sketchpad, Cinderella, GeoGebra itd. W każdym z nich można tworzyć iteracje geometryczne, chociaż nie zawsze w identyczny sposób. My będziemy używać programu Geometer’s Sketchpad, w skrócie GSP, głównie z tego powodu, że jest to program mający gotowe narzędzia do tworzenia iteracji i manipulacji nimi, a także dlatego, że można w nim tworzyć swoje narzędzia i wykorzystywać je w konstrukcjach geometrycznych. Dzięki temu nie musimy powtarzać tej samej konstrukcji dziesiątki razy. Raz zrobiona konstrukcja może być powielana wielokrotnie w miarę potrzeby. Drugą istotną cechą tego programu jest estetyka otrzymanych konstrukcji.
Użytkownicy GeoGebry z pewnością znajdą w niej sposób na odpowiednie powtórzenie rozważań przedstawianych w tym artykule. Jeśli ktoś nie ma programu GSP, to zawsze może ściągnąć jego wersję ewaluacyjną, wprawdzie trochę ograniczoną w czasie, ale i tak pozwalającą na powtórzenie naszych konstrukcji. Jeszcze innym rozwiązaniem może być strona internetowa //onlinemathtools.com, gdzie w tzw. L-systemach znajdziemy wiele ciekawych przykładów z iteracjami geometrycznymi.
Chciałbym tu podkreślić – nie jest istotne, jakiego programu użyjemy. Istotna jest koncepcja, którą można wykonać, rysując elementy geometryczne ołówkiem na papierze. Tak zresztą robią nauczyciele w różnych szkołach w Azji Wschodniej.
Co można zrobić z odcinka?
Odcinek, wbrew wszelkim pozorom, może być zupełnie interesującym materiałem – jeśli tylko mamy tych odcinków odpowiednio dużo. Z odcinków właśnie składają się liczne konstrukcje geometryczne, wykorzystywane w różnych tworach artystycznych, takich jak chińskie kraty czy islamskie gwiazdy. W tym artykule przyjrzymy się tylko paru wybranym konstrukcjom, pozostawiając Czytelnikowi pole do nowych odkryć.
Spotkanie ze smokiem
Na początek rysujemy trójkąt ΔABC, gdzie B jest wierzchołkiem kąta prostego i jest położony poniżej punktów A i C, tak jak na rycinie 2. Odcinek AC chowamy. W ten sposób otrzymujemy kształt litery V.
Dla rozrywki możemy zabarwić jeden z boków na niebiesko, a drugi na czerwono. Możemy również zażądać, aby boki trójkąta były rysowane cienką linią. To będzie pomocne, jeśli przypadkiem otrzymana figura będzie gęstą siatką składającą się z dużej liczby odcinków.
Teraz zaznaczmy całą figurę, łącznie z punktami i odcinkami. A następnie w GSP w menu Transform odszukajmy Iterate. Tu będziemy definiować, jak nasza iteracja ma być robiona. Iteracja może składać się z wielu odwzorowań, na razie mamy na ekranie tylko jedno. Potem będzie ich więcej. W okienku mamy pokazane punkty początkowe iteracji – te z lewej, i musimy zdef...
