Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka w praktyce

15 września 2020

NR 45 (Wrzesień 2020)

Rysowanie i interpretacja pola nachylenia stycznych. Wprowadzenie do równań różniczkowych

27

Równania różniczkowe (RR) są używane szeroko do modelowania zjawisk zachodzących w przyrodzie, a także na naukach inżynieryjnych. Jednym z elementów rozumienia istoty RR jest rysowanie i interpretacja pola nachylenia stycznych. Pole stycznych to zbiór rozwiązań RR dla określonych przedziałów X i Y. Kontur stycznych daje podstawy, by naszkicować szczególne rozwiązanie RR, jeśli znamy współrzędne przynajmniej jednego punktu tego rozwiązania. Celem tego artykułu jest przedstawienie lekcji, która wprowadza ucznia do idei rysowania pola stycznych metodą empiryczną i z zastosowaniem programu GeoGebry, który można pobrać gratisowo na https://www.geogebra.org/m/r4A2xSSp/autocheck#material/cCjyZneV1. Aplet GeoGebry pozwoli nam na szybsze narysowanie tych pól i tym samym na skupienie uwagi studentów na ich interpretacji. GeoGebrę wykorzystamy po zapoznaniu ucznia z metodą empiryczną rysowania stycznych.

POLECAMY

Przypomnienie wiadomości o znajdowaniu i rysowaniu stycznych

Równania różniczkowe są branżą matematyki bardzo powiązaną z matematycznym modelowaniem1, które z kolei jest jedną z najbardziej efektywnych metod nauczania matematyki2. Warto więc poświęcić więcej uwagi na głębsze zrozumienie istoty i interpretacji RR, tak by przyszły adept nauk przyrodniczych dobrze sobie radził z aplikacjami tych matematycznych struktur w praktyce. RR łączą pochodne funkcji z funkcjami całkowymi, dlatego też nawiązanie do pochodnych na tej lekcji jest szczególnie wskazane. Analizę zaczniemy od narysowania dowolnej, jednak prostej funkcji \(y = x^2\) i znalezienia stycznych do tej funkcji w wybranych punktach. Przedstawienie głównej idei lekcji na prostym przykładzie jest celowe, ponieważ odciążamy tzw. pamięć roboczą studenta i skupiamy się na meritum lekcji.

Przykład 1

Podana jest funkcja \( y = x2 \) i jej wykres. Policz i narysuj styczne do tej funkcji w następujących punktach styczności: x = −2, −1, 0, 1, 2.


Wykres (ryc. 1) nie zawiera żadnych linii stycznych, ale nachylenia stycznych można obliczyć, jeśli pochodna zostanie algebraicznie znaleziona i jej wartości obliczone w wybranych punktach. Jak formalnie zorganizować ten proces? Formalnym i zalecanym sposobem obliczania nachylenia stycznej, która jest również interpretowana jako współczynnik kierunkowy stycznej w danym punkcie, jest skonstruowanie tabeli (zobacz tabelę 1) ze współrzędnymi punktów, pochodną i nachyleniami stycznych w tych punktach. Pochodną funkcji \(y = x^2\) jest funkcja \({dy\over dx}=y'=2x\) . Nachylenie m jest tożsame z wartością współczynnika kierunkowego linii stycznej w wybranym punkcie, zatem \(m = y' = 2x\). Policzymy więc wartości nachylenia stycznej ze wzoru \(m = 2x\). Współczynniki kierunkowe będą rysowane na wykresie  \(y = x^2\) w punktach styczności, których rzędne y policzymy ze wzoru \(y = x^2\). Ponieważ styczne rysowane są dla wybranych wartości x i y, tabela zawiera trzy wiersze – jeden dla wartości x, drugi dla y i trzeci dla wartości stycznych nachylenia. 
 

Ryc. 1. Wykres funkcji \(y = x^2\)

 

Ryc. 2. Wykres funkcji \(y = x^2\) i styczne w obranych punktach

 

Ryc. 3. Pole stycznych dla wybranego rozwiązania równania \(y' = 2x\)


 Tab. 1. Wybrane współrzędne i wartości stycznych do \(y=x^2\)

 

Rysujemy współczynniki kierunkowe we wskazanych punktach i weryfikujemy, czy ich wartości korespondują z rysunkiem, czym jest technika rysowania linii stycznych. Styczne w wybranych punktach są naniesione na czerwono.

Jak dydaktycznie połączyć ten graficzny obraz z ideą pola stycznych?

Jeśli usuniemy wykres paraboli z ryc. 2, odcinki reprezentujące styczne będą przedstawiać pole tych stycznych, co jest przedstawione na ryc. 3. 
Pole to nie przedstawia wszystkich możliwych wartości stycznych, które mogą być policzone, korzystając ze wzoru \(y' = 2x\), ale obrazuje ono istotę jego konstrukcji. Informujemy uczniów, że nic nie stoi na przeszkodzie, by znaleźć te styczne dla innych punktów, na przykład (0, 1) albo (−1, 4), postępując podobnie jak w części pierwszej. Takie pole stycznych staje się bardziej interesujące, co pokazuje ryc. 4. Zwracamy uczniom uwagę, że kontury obrazują wykresy parabol. To nam pozwoli na połączenie tego tematu z procesami rozwiązań RR, które będziemy omawiali w następnych artykułach.
 

Ryc. 4. Pole stycznych dla \(y' = 2x\)


Pogłębienie zagadnienia z wykorzystaniem GeoGebry

Tak przygotowaną bazę poznawczą rozszerzamy, wykorzystując GeoGebrę. Informujemy uczniów, że RR może być podane w innych, bardziej interesujących formach; wiele z nich może mieć zmienną y po prawej stronie równania.


Przykład 2.

Narysuj pole stycznych dla \({dy\over dx}=x+y\) 
 

Ryc. 5. Pole stycznych dla \(y' = x + y\) Źródło: https://www.geogebra.org


Od...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy