Równania różniczkowe (RR) są używane szeroko do modelowania zjawisk zachodzących w przyrodzie, a także na naukach inżynieryjnych. Jednym z elementów rozumienia istoty RR jest rysowanie i interpretacja pola nachylenia stycznych. Pole stycznych to zbiór rozwiązań RR dla określonych przedziałów X i Y. Kontur stycznych daje podstawy, by naszkicować szczególne rozwiązanie RR, jeśli znamy współrzędne przynajmniej jednego punktu tego rozwiązania. Celem tego artykułu jest przedstawienie lekcji, która wprowadza ucznia do idei rysowania pola stycznych metodą empiryczną i z zastosowaniem programu GeoGebry, który można pobrać gratisowo na https://www.geogebra.org/m/r4A2xSSp/autocheck#material/cCjyZneV1. Aplet GeoGebry pozwoli nam na szybsze narysowanie tych pól i tym samym na skupienie uwagi studentów na ich interpretacji. GeoGebrę wykorzystamy po zapoznaniu ucznia z metodą empiryczną rysowania stycznych.
POLECAMY
Przypomnienie wiadomości o znajdowaniu i rysowaniu stycznych
Równania różniczkowe są branżą matematyki bardzo powiązaną z matematycznym modelowaniem1, które z kolei jest jedną z najbardziej efektywnych metod nauczania matematyki2. Warto więc poświęcić więcej uwagi na głębsze zrozumienie istoty i interpretacji RR, tak by przyszły adept nauk przyrodniczych dobrze sobie radził z aplikacjami tych matematycznych struktur w praktyce. RR łączą pochodne funkcji z funkcjami całkowymi, dlatego też nawiązanie do pochodnych na tej lekcji jest szczególnie wskazane. Analizę zaczniemy od narysowania dowolnej, jednak prostej funkcji \(y = x^2\) i znalezienia stycznych do tej funkcji w wybranych punktach. Przedstawienie głównej idei lekcji na prostym przykładzie jest celowe, ponieważ odciążamy tzw. pamięć roboczą studenta i skupiamy się na meritum lekcji.
Przykład 1
Podana jest funkcja \( y = x2 \) i jej wykres. Policz i narysuj styczne do tej funkcji w następujących punktach styczności: x = −2, −1, 0, 1, 2.
Wykres (ryc. 1) nie zawiera żadnych linii stycznych, ale nachylenia stycznych można obliczyć, jeśli pochodna zostanie algebraicznie znaleziona i jej wartości obliczone w wybranych punktach. Jak formalnie zorganizować ten proces? Formalnym i zalecanym sposobem obliczania nachylenia stycznej, która jest również interpretowana jako współczynnik kierunkowy stycznej w danym punkcie, jest skonstruowanie tabeli (zobacz tabelę 1) ze współrzędnymi punktów, pochodną i nachyleniami stycznych w tych punktach. Pochodną funkcji \(y = x^2\) jest funkcja \({dy\over dx}=y'=2x\) . Nachylenie m jest tożsame z wartością współczynnika kierunkowego linii stycznej w wybranym punkcie, zatem \(m = y' = 2x\). Policzymy więc wartości nachylenia stycznej ze wzoru \(m = 2x\). Współczynniki kierunkowe będą rysowane na wykresie \(y = x^2\) w punktach styczności, których rzędne y policzymy ze wzoru \(y = x^2\). Ponieważ styczne rysowane są dla wybranych wartości x i y, tabela zawiera trzy wiersze – jeden dla wartości x, drugi dla y i trzeci dla wartości stycznych nachylenia.
Tab. 1. Wybrane współrzędne i wartości stycznych do \(y=x^2\)
Rysujemy współczynniki kierunkowe we wskazanych punktach i weryfikujemy, czy ich wartości korespondują z rysunkiem, czym jest technika rysowania linii stycznych. Styczne w wybranych punktach są naniesione na czerwono.
Jak dydaktycznie połączyć ten graficzny obraz z ideą pola stycznych?
Jeśli usuniemy wykres paraboli z ryc. 2, odcinki reprezentujące styczne będą przedstawiać pole tych stycznych, co jest przedstawione na ryc. 3.
Pole to nie przedstawia wszystkich możliwych wartości stycznych, które mogą być policzone, korzystając ze wzoru \(y' = 2x\), ale obrazuje ono istotę jego konstrukcji. Informujemy uczniów, że nic nie stoi na przeszkodzie, by znaleźć te styczne dla innych punktów, na przykład (0, 1) albo (−1, 4), postępując podobnie jak w części pierwszej. Takie pole stycznych staje się bardziej interesujące, co pokazuje ryc. 4. Zwracamy uczniom uwagę, że kontury obrazują wykresy parabol. To nam pozwoli na połączenie tego tematu z procesami rozwiązań RR, które będziemy omawiali w następnych artykułach.
Pogłębienie zagadnienia z wykorzystaniem GeoGebry
Tak przygotowaną bazę poznawczą rozszerzamy, wykorzystując GeoGebrę. Informujemy uczniów, że RR może być podane w innych, bardziej interesujących formach; wiele z nich może mieć zmienną y po prawej stronie równania.
Przykład 2.
Narysuj pole stycznych dla \({dy\over dx}=x+y\)
Od czego zacząć proces rysowania pola stycznych dla takiego RR? Mechanizm jest bardzo podobny jak w przykładzie 1. Zwracamy uwagę uczniów, że nie mamy podanego równania funkcji, do której te styczne chcemy narysować, tylko równanie, które umożliwia znalezienie tych stycznych. Możemy to zrobić empirycznie jak w przykładzie 1. Wykorzystamy tu GeoGebrę, by szybciej to pole wygenerować. Warto jednak pokazać uczniom, jak obrać punkty styczności, które są zwykle liczbami całkowitymi w pobliżu środka układu współrzędnych, i policzyć te styczne w tych punktach.
Tab. 2. Współrzędne i styczne dla \(y' = x + y\)
Podkreślamy, że poprzez dodanie współrzędnych x i y otrzymujemy współczynniki nachylenia w tych punktach zgodnie z \(y' = x + y.\) Zwracamy uwagę uczniów, że dla tej samej wartości x styczne te mogą być policzone dla dwóch różnych rzędnych y, co znaczy, że może być kilka różnych wykresów rozwiązań \(y' = x + y\) w przedstawionym polu. Istota szkicowania rozwiązań RR będzie podejmowana w następnym artykule.
. Źródło: https://www.geogebra.org
Warto poświęcić kilka minut na omówienie apletu GeoGebry, tak by uczniowie mogli sami go zastosować w domu. Po prawej stronie GeoGebry w pierwszym prostokącie wpisujemy dane równanie różniczkowe. Następnym elementem jest tzw. density, który oznacza liczbę stycznych (jakby gęstość stycznych w tym polu) dla wybranej wartości x. Większa gęstość generuje więcej stycznych. \(Length\) oznacza długość odcinka stycznej, który można regulować. Uczniowie zwykle pytają, jaka powinna być długość tych odcinków. Nie ma na to reguły. Odcinki powinny być takiej długości, by były dobrze rozróżnialne. \(X_{min}\) itd. Oznaczają rozmiary okien, w których chcemy to pole obserwować. Solutions oznaczają rozwiązania RR, o których będziemy mówić na następnych lekcjach. Korzystając z GeoGebry, możemy również zweryfikować pole dla \(y' = 2x\), co pozostawiamy uczniom do wykonania w domu. By rozbudzić w uczniach zainteresowanie, pokazujemy im inny przykład.
Przykład 3.
Wykorzystaj GeoGebrę do narysowania pola stycznych dla\({dy\over dx}={y\over x}\)
W górnej części apletu wpisujemy równanie \(y\over x\) . Regulujemy gęstość stycznych (\(density\)) i otrzymujemy pole stycznych.
Zauważamy, że styczne tego pola nie są określone dla \(x = 0\), ponieważ pochodna \(y' ={y\over x}\) nie jest określona dla tego punktu. Styczne tego pola są jednak określone dla \(y = 0\). Rozumienie pola stycznych jest bardzo podkreślane w programach matematyki w USA, ponieważ daje ono podstawy, by uczniowie zrozumieli nie tylko procesy rozwiązywania RR, ale również ich zastosowania w praktyce4.
Literatura
- https://www.geogebra.org/m/r4A2xSSp/autocheck#material/cCjyZneV.
- Blanchard P.: Teaching differential equations with a dynamical systems viewpoint, „The College Mathematics Journal” 25(5)/1994, s. 385–393.
- Sokolowski A., Mathematical Modeling-Synthesis of Research, Scholars’ Press, Saarbrücken 2015.
- Stuart J., Calculus: Early Transcendentals. Wyd. 4. Pacific Grove, CA: Brooks/Cole Publishing Company. 2010.
