Symfonia izomorfizmu: matematyka i muzyka w harmonii struktur

Czy możliwe jest, by dwie melodie, które na pierwszy rzut oka brzmią całkowicie odmiennie, były „matematycznie identyczne”? Czy muzyka, którą słyszymy każdego dnia, może kryć w sobie głębsze strukturalne związki, które pozwalają na nowo odkrywać znane nam utwory?
Zapraszam na niezwykłą podróż po świecie dźwięków i matematyki. Przyjrzymy się temu, jak abstrakcyjna idea izomorfizmu pozwala odnaleźć wspólne struktury pomiędzy różnymi fragmentami muzycznymi. Zobaczymy, że pojęcia, które wydają się czysto matematyczne – takie jak funkcja, bijekcja czy struktura algebraiczna – mają swój zaskakujący odpowiednik w muzyce. Odkryjemy, jak wielcy kompozytorzy, czasem świadomie, a czasem intuicyjnie, wykorzystywali izomorfizm w swoich dziełach, tworząc muzykę, która fascynuje słuchaczy już od setek lat.

Izomorfizm prostymi słowami

Wyobraźmy sobie sytuację, gdy dwa zupełnie różne zestawy klocków – jeden kolorowy, drugi czarno-biały – układamy w identyczną konstrukcję. Choć różnią się wyglądem, ich struktura pozostaje taka sama. W matematyce takie sytuacje opisujemy pojęciem izomorfizmu. To słowo pochodzi od greckich słów isos (równy) i morphe (kształt) i oznacza, że dwie struktury są matematycznie „takie same”, choć mogą wyglądać inaczej.
Czy podobne zjawisko można odnaleźć również w muzyce? Jak najbardziej! Aby to zrozumieć, zacznijmy od wyjaśnienia, czym dokładnie jest izomorfizm, ale w sposób zrozumiały dla każdego.
Izomorfizm to taka relacja między dwoma zbiorami, w której elementy jednego zbioru możemy w jednoznaczny sposób „przemapować” na elementy drugiego zbioru, zachowując pewną strukturę lub relacje między elementami.
Wyobraźmy sobie dwa zegary – jeden tradycyjny ze wskazówkami, a drugi elektroniczny z cyframi. Choć wyglądają inaczej, oba pokazują tę samą informację: godzinę, minuty i sekundy. Każdemu wskazaniu zegara ze wskazówkami można przyporządkować dokładnie jedno wskazanie zegara elek...