Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka dawniej i dziś

27 lipca 2018

NR 33 (Lipiec 2018)

Wielokąty foremne i gereh (cz. 1)

0 73

Wielokąty foremne mają wiele ciekawych zastosowań w sztuce i architekturze. Na przestrzeni co najmniej tysiąca lat architekci różnych kultur tworzyli budowle wykorzystujące wielokąty foremne jako podstawę do ich konstrukcji. Również wiele dzieł sztuki wykorzystuje wielokąty foremne lub ich teselacje. W tym szkicu opowiemy, w jaki sposób – mając teselację z wielokątów foremnych – możemy skonstruować kilka różnych deseni występujących w sztuce islamu, a często również w sztuce innych kultur.

Gerehem, czyli ornamentem geometrycznym w sztuce islamu, zajmowaliśmy się w kolejnych numerach „Matematyki” od stycznia 2016  r. aż do stycznia 2018 r. Teksty o gerehu prezentowane na tych łamach zostały opublikowane również w książce Szkice o geometrii i sztuce: gereh – geometria w sztuce islamu1.
W jednym ze szkiców tej serii były omawiane wzory z Wielkiego Meczetu w Damaszku i w dwóch z nich wykorzystaliśmy wielokąty foremne jako siatkę do budowy gerehu. Były to projekty 6.4 oraz 6.8. Również w dalszych projektach, np. 7.1, 7.2 i 7.3, wielokąty foremne odegrały dużą rolę. Mamy zatem sytuację, w której warto systematycznie omówić zagadnienie budowy gerehu na wielokątach foremnych. Zauważmy, że mamy w tej chwili sporą wiedzę o teselacjach zbudowanych z wielokątów foremnych oraz pewne wiadomości o konstruowaniu gerehów na tych 
teselacjach. Brakuje nam szczegółowego omówienia rodzajów deseni, jakie możemy konstruować, i pewnej wiedzy z inżynierii wzorów geometrycznych. 
To wszystko, oczywiście, w kontekście sztuki islamu. Warto jednak pamiętać, że słynne gotyckie maswerki czasem wykorzystują teselacje wielokątami foremnymi i zagadnienie tych związków nigdy nie zostało opracowane – ani systematycznie, ani nawet pobieżnie. To już jednak nieco inna historia.
Wreszcie możemy zajrzeć do japońskiej sztuki użytkowej, gdzie wiele wzorów kumiko projektuje się również na wielokątach foremnych. Wzory kumiko mają różnorakie zastosowania – jako elementy dekoracyjne w domach, jako przegrody w mieszkaniach, jako elementy mebli czy dekoracje na tkaninach. Kumiko pokazane na rycinie zostało wykonane w drewnie i jego wzór jest bardzo bliski temu, co nazywamy gerehem. Trójkąty pełnią funkcję teselacji i są wypełnione wzorem z odcinków zbudowanych na dwusiecznych kątów trójkąta.

Kumiko Asanoha 
Motyw Asanoha był używany w Japonii od czasów starożytnych w różnego rodzaju świętych rytuałach. Często stosuje się go na ubrankach dla dzieci, wierząc, że przyniesie długie życie i zdrowie dziecku. Trójkąt oznacza tu zabezpieczenie przed złem. Asanoha, jako kolekcja trójkątów, jest rozumiana jako moc i piękno. Na zdjęciu mamy współczesną interpretację Asanoha w postaci obrazu na ścianę. Użyto tu drewna pokrytego naturalnymi barwnikami. 
 

O Kumiko można opowiadać równie dużo jak o gerehu. Japończycy dla każdego wzoru Kumiko wymyślili osobną nazwę, a wiele z nich posiada również znaczenie symboliczne. Wróćmy jednak do gerehu na wielokątach foremnych.

Projekt 3.1

Na początek weźmy stosunkowo prostą teselację pokazaną na kolejnej rycinie. Mamy tu znany nam kontur C(1/3) powstały z podzielenia kąta prostego na trzy równe części. Wielokąty pokazane w tej teselacji są dwunastokątem foremnym, sześciokątem foremnym, kwadratem i trójkątem równobocznym. Mamy zatem wszystkie wielokąty, które mogą wystąpić w teselacji płaszczyzny wielokątami foremnymi, z których przynajmniej jeden jest zbudowany na siatce z trójkątów równobocznych. Konstrukcja tej teselacji jest bardzo prosta i zakładam, że Czytelnik może ją wykonać samodzielnie. Można dość szybko sprawdzić, że nie jest to teselacja archimedesowa, a Czytelnik z pewnością będzie w stanie policzyć, ile różnych typów wierzchołków mamy w tej teselacji.
Naszym zadaniem będzie wypełnienie jej wzorem zgodnym z regułami gerehu. Pamiętamy, że od położenia pierwszej linii zależy cały wzór. W tym projekcie chcemy wykonać przykładowy gereh, więc nie będziemy zajmować się dyskusją możliwych przypadków. 
To za chwilę. Zauważmy również, że teselacja wyłącznie z wielokątami foremnymi daje stosunkowo proste gerehy. W związku z tym nieco później dołączymy do naszych wielokątów tarcze. Przypomnijmy przy okazji – tarcze nie są wielokątami foremnymi, co oznacza, że musimy wyjść poza temat określony w tytule tego szkicu. Na początek nasza teselacja.

Teselacja od projektu 3.1 oraz kilku dalszych
Zauważmy, że ta teselacja powstała z ćwiartek dwóch dwunastokątów foremnych mających jeden bok wspólny. Jeden z tych dwunastokątów został podzielony na mniejsze wielokąty, również foremne. To właśnie ten podział dał nam potrzebne trójkąty, kwadraty i sześciokąt foremny.

W tym projekcie nasza pierwsza linia połączy środki boków jednego z trójkątów. Zauważmy, że trójkąt równoboczny ma symetrię D3, co oznacza, że wzór w tym trójkącie powinien mieć również tę samą symetrię 
(por. reguły gerehu).

Pierwsza linia i początki wzoru
Połączenie prostymi środków boków wyróżnionego tu trójkąta tworzy wzór wewnątrz trójkąta oraz szkielet do budowy wzoru w pozostałych wielokątach foremnych. To wystarcza do tego, aby stworzyć cały szablon. 

Na kolejnej rycinie pokazuję, jakie są konsekwencje tak poprowadzonej pierwszej linii, a dokładniej pierwszych linii (niebieskie) i wszystkich ich odpowiedników w pozostałych trójkątach.

Teselacja i wzór
Ta plątanina prostych i odcinków pokazuje wewnętrzną strukturę wzoru – proste oraz sam wzór – czarne odcinki. Po usunięciu prostych oraz czerwonych figur teselacji otrzymamy gotowy szablon. Wzór wewnątrz dwunastokąta może być bardziej złożony, np. pusta przestrzeń w środku może być wypełniona dodatkową rozetą. O tym za chwilę. 

Pokazany na tej rycinie gereh jest ostatecznym wynikiem naszej konstrukcji. Mamy tu 16 kopii naszego szablonu. Taki wzór może być wykorzystany do wielu celów, np. jako obraz na ści...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy