Gerehem, czyli ornamentem geometrycznym w sztuce islamu, zajmowaliśmy się w kolejnych numerach „Matematyki” od stycznia 2016 r. aż do stycznia 2018 r. Teksty o gerehu prezentowane na tych łamach zostały opublikowane również w książce Szkice o geometrii i sztuce: gereh – geometria w sztuce islamu1.
W jednym ze szkiców tej serii były omawiane wzory z Wielkiego Meczetu w Damaszku i w dwóch z nich wykorzystaliśmy wielokąty foremne jako siatkę do budowy gerehu. Były to projekty 6.4 oraz 6.8. Również w dalszych projektach, np. 7.1, 7.2 i 7.3, wielokąty foremne odegrały dużą rolę. Mamy zatem sytuację, w której warto systematycznie omówić zagadnienie budowy gerehu na wielokątach foremnych. Zauważmy, że mamy w tej chwili sporą wiedzę o teselacjach zbudowanych z wielokątów foremnych oraz pewne wiadomości o konstruowaniu gerehów na tych
teselacjach. Brakuje nam szczegółowego omówienia rodzajów deseni, jakie możemy konstruować, i pewnej wiedzy z inżynierii wzorów geometrycznych.
To wszystko, oczywiście, w kontekście sztuki islamu. Warto jednak pamiętać, że słynne gotyckie maswerki czasem wykorzystują teselacje wielokątami foremnymi i zagadnienie tych związków nigdy nie zostało opracowane – ani systematycznie, ani nawet pobieżnie. To już jednak nieco inna historia.
Wreszcie możemy zajrzeć do japońskiej sztuki użytkowej, gdzie wiele wzorów kumiko projektuje się również na wielokątach foremnych. Wzory kumiko mają różnorakie zastosowania – jako elementy dekoracyjne w domach, jako przegrody w mieszkaniach, jako elementy mebli czy dekoracje na tkaninach. Kumiko pokazane na rycinie zostało wykonane w drewnie i jego wzór jest bardzo bliski temu, co nazywamy gerehem. Trójkąty pełnią funkcję teselacji i są wypełnione wzorem z odcinków zbudowanych na dwusiecznych kątów trójkąta.
POLECAMY
Motyw Asanoha był używany w Japonii od czasów starożytnych w różnego rodzaju świętych rytuałach. Często stosuje się go na ubrankach dla dzieci, wierząc, że przyniesie długie życie i zdrowie dziecku. Trójkąt oznacza tu zabezpieczenie przed złem. Asanoha, jako kolekcja trójkątów, jest rozumiana jako moc i piękno. Na zdjęciu mamy współczesną interpretację Asanoha w postaci obrazu na ścianę. Użyto tu drewna pokrytego naturalnymi barwnikami.
O Kumiko można opowiadać równie dużo jak o gerehu. Japończycy dla każdego wzoru Kumiko wymyślili osobną nazwę, a wiele z nich posiada również znaczenie symboliczne. Wróćmy jednak do gerehu na wielokątach foremnych.
Projekt 3.1
Na początek weźmy stosunkowo prostą teselację pokazaną na kolejnej rycinie. Mamy tu znany nam kontur C(1/3) powstały z podzielenia kąta prostego na trzy równe części. Wielokąty pokazane w tej teselacji są dwunastokątem foremnym, sześciokątem foremnym, kwadratem i trójkątem równobocznym. Mamy zatem wszystkie wielokąty, które mogą wystąpić w teselacji płaszczyzny wielokątami foremnymi, z których przynajmniej jeden jest zbudowany na siatce z trójkątów równobocznych. Konstrukcja tej teselacji jest bardzo prosta i zakładam, że Czytelnik może ją wykonać samodzielnie. Można dość szybko sprawdzić, że nie jest to teselacja archimedesowa, a Czytelnik z pewnością będzie w stanie policzyć, ile różnych typów wierzchołków mamy w tej teselacji.
Naszym zadaniem będzie wypełnienie jej wzorem zgodnym z regułami gerehu. Pamiętamy, że od położenia pierwszej linii zależy cały wzór. W tym projekcie chcemy wykonać przykładowy gereh, więc nie będziemy zajmować się dyskusją możliwych przypadków.
To za chwilę. Zauważmy również, że teselacja wyłącznie z wielokątami foremnymi daje stosunkowo proste gerehy. W związku z tym nieco później dołączymy do naszych wielokątów tarcze. Przypomnijmy przy okazji – tarcze nie są wielokątami foremnymi, co oznacza, że musimy wyjść poza temat określony w tytule tego szkicu. Na początek nasza teselacja.
Zauważmy, że ta teselacja powstała z ćwiartek dwóch dwunastokątów foremnych mających jeden bok wspólny. Jeden z tych dwunastokątów został podzielony na mniejsze wielokąty, również foremne. To właśnie ten podział dał nam potrzebne trójkąty, kwadraty i sześciokąt foremny.
W tym projekcie nasza pierwsza linia połączy środki boków jednego z trójkątów. Zauważmy, że trójkąt równoboczny ma symetrię D3, co oznacza, że wzór w tym trójkącie powinien mieć również tę samą symetrię
(por. reguły gerehu).
Połączenie prostymi środków boków wyróżnionego tu trójkąta tworzy wzór wewnątrz trójkąta oraz szkielet do budowy wzoru w pozostałych wielokątach foremnych. To wystarcza do tego, aby stworzyć cały szablon.
Na kolejnej rycinie pokazuję, jakie są konsekwencje tak poprowadzonej pierwszej linii, a dokładniej pierwszych linii (niebieskie) i wszystkich ich odpowiedników w pozostałych trójkątach.
Ta plątanina prostych i odcinków pokazuje wewnętrzną strukturę wzoru – proste oraz sam wzór – czarne odcinki. Po usunięciu prostych oraz czerwonych figur teselacji otrzymamy gotowy szablon. Wzór wewnątrz dwunastokąta może być bardziej złożony, np. pusta przestrzeń w środku może być wypełniona dodatkową rozetą. O tym za chwilę.
Pokazany na tej rycinie gereh jest ostatecznym wynikiem naszej konstrukcji. Mamy tu 16 kopii naszego szablonu. Taki wzór może być wykorzystany do wielu celów, np. jako obraz na ścianę, jako deseń na tkaninę lub dywan. To już koniec projektu 3.1. Proponuję, aby Czytelnik odtworzył ten gereh samodzielnie, rysując na papierze lub na komputerze. W tym ostatnim przypadku dowolny program do tzw. geometrii dynamicznej będzie wystarczającym narzędziem.
Projekt 3.2
Teraz projekt do samodzielnego wykonania. Tym razem nasza teselacja jest jedną z najprostszych znanych teselacji wielokątami foremnymi.
Skonstruuj teselację i wylicz, jaka jest proporcja jej konturu. Następnie skonstruuj gereh używający tej teselacji i korzystając z elementów, których używaliśmy w projekcie 3.1.Na kolejnej rycinie pokazuję jeden z możliwych do otrzymania gerehów opartych na tej teselacji. Pytanie – ile kopii szablonu wykorzystaliśmy do stworzenia tego wzoru?
Warianty
Skoro już przypomnieliśmy sobie, jak możemy utworzyć gereh, korzystając z wielokątów foremnych, to teraz warto zająć się analizą różnych możliwości poprowadzenia pierwszej linii i tego, co z takiej decyzji otrzymamy. Możliwości mamy bardzo wiele – zarówno tych prostych,
jak i tych bardzo złożonych. Na początek omówimy wybrane proste rozwiązania, czyli takie, w których dwunastokąt foremny i sześciokąt wypełniamy gwiazdą lub rozetą.
Geometria wzoru typu A
Zaczniemy od omówienia tego, co zrobiliśmy w projektach 3.1 i 3.2. W obu projektach priorytetowym elementem teselacji był trójkąt. Połączenie środków boków trójkąta liniami prostymi było kluczowym elementem dalszej konstrukcji.
Na rycinie pokazuję związek wzoru w trójkącie z siatką potrzebną do utworzenia wzoru w pozostałych figurach. Zauważmy, że pokazana tu konfiguracja wielokątów nigdy nie wystąpi w teselacji wielokątami foremnymi, ale to w tej chwili nie jest istotne. Ważne są związki pomiędzy wzorami w tych wielokątach. Kolejna rycina pokazuje, jak wzór w każdym z wielokątów może wyglądać.
Taki właśnie rodzaj wypełnienia deseniem poszczególnych wielokątów foremnych wykorzystaliśmy w projekcie 3.1. Ten rodzaj wypełnienia nazywać będziemy typem A. To oznaczanie wprowadzamy wyłącznie na potrzeby tego tekstu. W dostępnej literaturze nie ma żadnych oznaczeń dla tego i innych typów desenia wypełniającego wielokąty foremne.
Czytelnik może stworzyć swoją własną terminologię. Problem jednak w tym, że – ze względu na różnorodność wzorów wypełniających każdy z wielokątów omawianych w tym szkicu – ustanowienie jakiejś klasyfikacji jest praktycznie niemożliwe.
Zauważmy, że pokazane tu wypełnienie deseniem wielokątów foremnych (przy założeniu, że trójkąt jest figurą wyjściową) może mieć wiele interesujących modyfikacji. Spotykamy je w różnych miejscach, m.in. pokazuje je Bourgoin w swojej książce2 na planszach 89 i 85. Oto, co tam znajdziemy.
Na załączonych rycinach pokazujemy wybrane warianty wypełnienia dwunastokąta foremnego. Za każdym razem wychodzimy z najprostszego wypełnienia i zapełniamy wzorem środek wielokąta. Na rysunkach pokazaliśmy, w jaki sposób te uzupełnienia mogą być konstruowane.
Zauważmy, że tu omawiamy tylko desenie dla dwunastokąta. Trójkąt jest zbyt mały, abyśmy mogli coś poprawić w jego wzorze. Podobnie jest z pozostałymi wielokątami, ale tam też można zrobić trochę ciekawych poprawek. Pokazane tu rozety czasem występowały jako osobne motywy dekoracyjne. Kilka podobnych elementów wykonanych w drewnie pokazuje d’Avennes3. Ostatnia z pokazanych tu rozet pochodzi z Turcji, z meczetu Karamanoğlu Mehmed Bey w miejscowości Aksaray, zwanego często Wielkim.
Projekt 3.3
Dla teselacji z projektu 3.2 i każdego z omówionych przed chwilą wypełnień dwunastokąta wykonaj gereh z 2 x 2 powtórzeniami szablonu. Zakładam, że każdy z tych trzech gerehów ma za cel przećwiczenie konstrukcji odpowiedniego wypełnienia deseniem dwunastokąta. Dlatego używamy bardzo prostej teselacji. To samo można wykonać również dla teselacji z projektu 3.1, gdzie teselacja była nieco bardziej skomplikowana.
W kolejnym projekcie zadanie będzie nieco bardziej skomplikowane. Oto ono.
Projekt 3.4
Jak widać z opisanych tu przykładów, nawet bardzo prosta geometria wzoru pozwala nam na dużą swobodę tworzenia gerehów. Popatrzmy, co można zrobić w innych przypadkach.
Na załączonej rycinie mamy deseń wykorzystujący wypełnienie dwunastokąta poznane przed chwilą. Jest to gereh zbudowany na pewnej teselacji wielokątów foremnych. Proponuję, aby Czytelnik skonstruował teselację użytą w tym gerehu i zastanowił się, jak wykonane zostały pozostałe elementy użyte w tym przykładzie.
Geometria wzoru typu B
Czy można inaczej skonstruować desenie wypełniające wielokąty foremne? Oto kolejny typ. Oznaczymy go literą B. Tym razem o kształcie wzoru zadecydują kwadrat oraz linie łączące środki jego boków.
Tu pierwsze linie poprowadzone przez środki boków kwadratu decydują o kształcie desenia w poszczególnych wielokątach foremnych. Zauważmy, że dla każdej z tych figur mamy dwie różne możliwości. Dla sześciokąta foremnego mamy prostą gwiazdę z dużą pustką w środku. Podobnie jest dla dwunastokąta foremnego. W obu przypadkach pustą przestrzeń możemy wypełnić dodatkowym deseniem.
Jak widać z załączonej ryciny, mamy co najmniej dwie możliwości wypełnienia każdego wielokąta, oprócz trójkąta, wzorem. W przypadku sześciokąta i dwunastokąta mamy proste gwiazdy (typ B1) lub bardziej złożone rozety (typ B2). Konstrukcję takiej rozety pokazaliśmy w szkicu 7 opublikowanym w „Matematyce” 1/28. Tę samą konstrukcję i wiele innych można znaleźć we wspomnianej książce o gerehu1.
Tu mamy pokazaną teselację z projektu 3.1 z deseniem typu B1. W tym przypadku wykorzystaliśmy proste gwiazdy. Dla kwadratu również użyliśmy prostego wypełnienia deseniem.
Tu mamy pokazany gereh wykorzystujący 8 kopii wzorca.
Zauważmy, że pokazany tu gereh ma bardzo duże puste przestrzenie wewnątrz dwunastokątnych gwiazd. To sprawia, że odbieramy wzór tak, jakby mu czegoś brakowało. Ten efekt można naprawić, wypełniając nieco inaczej przestrzeń wewnątrz dwunastokąta foremnego. Można to zrobić na wiele sposobów przy zachowaniu kąta, pod jakim linie wzoru wchodzą do dwunastokąta. Kąt pomiędzy tymi liniami wynosi 90 stopni. Można to łatwo sprawdzić.
Na kolejnej rycinie pokazuję gereh zbudowany na tej samej teselacji, ale z użyciem deseni typu B2, czyli złożonych motywów rozety. Tym razem wypełniamy wielokąty bardzo zbitym motywem, który w przypadku teselacji z wieloma wielokątami może sprawiać wrażenie przeładowania. Możliwe jest jednak takie znalezienie wypełnienia wielokątów, że otrzymamy zupełnie niezłą równowagę.
Tu mamy pokazaną teselację z projektu 3.1 z deseniem, który określimy jako B2. W tym przypadku wykorzystaliśmy desenie złożone, czyli rozety, i specyficzną gwiazdę dla kwadratu.
Tu mamy pokazany większy gereh wykorzystujący elementy geometrii typu B2.
Przy omawianiu geometrii wzoru typu A zwróciliśmy uwagę na liczne modyfikacje desenia wewnątrz dwunastokąta foremnego. Podobne modyfikacje znane są również dla deseni typu B. Na kolejnej rycinie pokazuję inną konstrukcję desenia wewnątrz dwunastokąta. Ten wzór wygląda tak, jakbyśmy mieli trzy kwadraty o wspólnym środku i obrócone względem siebie o kąty 120 stopni. To daje nam zewnętrzną strukturę wzoru. Wewnętrzna gwiazda złożona z sześciokątów foremnych powstaje przez podzielenie odcinka EF i mu podobnych na trzy równe części. Obok pokazuję modyfikacje wzorów dla pozostałych wielokątów.
Pokazana tu konstrukcja rozety została wykonana według drewnianego elementu z ambony w meczecie al-Salih Tala’i w Kairze. Elementy wypełniające kwadrat i sześciokąt zostały dołożone przez autora. Przykład tej rozety pokazuje d’Avennes3 na stronie 90.
A oto inny przykład wzoru dla dwunastokąta, pochodzący również z Egiptu, z tego samego meczetu co poprzednio (d’Avennes3, strona 91). Tym razem mamy do czynienia z rzadziej spotykanym motywem. Zwróćmy uwagę na specyficzną sytuację. Mamy tu dużą gwiazdę dwunastoramienną i wpisane w nią kolejno dwie gwiazdy sześcioramienne. Ten rodzaj wpisywania figur można kontynuować, otrzymując za każdym razem coraz mniejsze gwiazdy. Przypomina to strukturę fraktalną zbudowaną z takich gwiazd.
Pokazana tu rozeta ma specyficzne puste przestrzenie, które w oryginale zostały wypełnione kunsztownym motywem roślinnym.
Projekt 3.5
W tej części szkicu omówiliśmy tylko dwa typy wypełnień dla dwunastokąta foremnego. Określiliśmy je jako typy A i B, przy czym każdy z nich miał jeszcze kilka wariantów. W kolejnych częściach tego szkicu opowiemy o innych typach wypełnień wielokątów foremnych wzorem.
do projektu 3.5
Pokazana tu teselacja wykorzystuje wszystkie wielokąty foremne, których dotychczas używaliśmy. Wykonaj gerehy korzystające z tej teselacji i wypełnienia wielokątów wzorami typu B. Czy możliwe jest wykonanie takiego gerehu z wzorami z meczetu al-Salih Tala’i w narożnikach? Jaki warunek musi spełniać teselacja, aby było to możliwe?
Bibliografia:
- Majewski M., SZKICE O GEOMETRII I SZTUCE: gereh – geometria w sztuce islamu, Wydawnictwo Aksjomat, Toruń 2017.
- Bourgoin J., Arabic Geometrical Pattern and Design, Dover Publications Inc., Nowy Jork 1973.
- d’Avennes P., Islamic Art In Cairo – from Seventh to the eighteenth Centuries, with introduction by George T. Scanlon, A Zeitouna Book, The American University in Cairo Press, Kair – Nowy Jork 1999.
- Jaśkowski S., O symetrii w zdobnictwie i przyrodzie, PZWS, Warszawa 1952.
