Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka dawniej i dziś

27 lipca 2018

NR 33 (Lipiec 2018)

Wielokąty foremne i gereh (cz. 1)

0 329

Wielokąty foremne mają wiele ciekawych zastosowań w sztuce i architekturze. Na przestrzeni co najmniej tysiąca lat architekci różnych kultur tworzyli budowle wykorzystujące wielokąty foremne jako podstawę do ich konstrukcji. Również wiele dzieł sztuki wykorzystuje wielokąty foremne lub ich teselacje. W tym szkicu opowiemy, w jaki sposób – mając teselację z wielokątów foremnych – możemy skonstruować kilka różnych deseni występujących w sztuce islamu, a często również w sztuce innych kultur.

Gerehem, czyli ornamentem geometrycznym w sztuce islamu, zajmowaliśmy się w kolejnych numerach „Matematyki” od stycznia 2016  r. aż do stycznia 2018 r. Teksty o gerehu prezentowane na tych łamach zostały opublikowane również w książce Szkice o geometrii i sztuce: gereh – geometria w sztuce islamu1.
W jednym ze szkiców tej serii były omawiane wzory z Wielkiego Meczetu w Damaszku i w dwóch z nich wykorzystaliśmy wielokąty foremne jako siatkę do budowy gerehu. Były to projekty 6.4 oraz 6.8. Również w dalszych projektach, np. 7.1, 7.2 i 7.3, wielokąty foremne odegrały dużą rolę. Mamy zatem sytuację, w której warto systematycznie omówić zagadnienie budowy gerehu na wielokątach foremnych. Zauważmy, że mamy w tej chwili sporą wiedzę o teselacjach zbudowanych z wielokątów foremnych oraz pewne wiadomości o konstruowaniu gerehów na tych 
teselacjach. Brakuje nam szczegółowego omówienia rodzajów deseni, jakie możemy konstruować, i pewnej wiedzy z inżynierii wzorów geometrycznych. 
To wszystko, oczywiście, w kontekście sztuki islamu. Warto jednak pamiętać, że słynne gotyckie maswerki czasem wykorzystują teselacje wielokątami foremnymi i zagadnienie tych związków nigdy nie zostało opracowane – ani systematycznie, ani nawet pobieżnie. To już jednak nieco inna historia.
Wreszcie możemy zajrzeć do japońskiej sztuki użytkowej, gdzie wiele wzorów kumiko projektuje się również na wielokątach foremnych. Wzory kumiko mają różnorakie zastosowania – jako elementy dekoracyjne w domach, jako przegrody w mieszkaniach, jako elementy mebli czy dekoracje na tkaninach. Kumiko pokazane na rycinie zostało wykonane w drewnie i jego wzór jest bardzo bliski temu, co nazywamy gerehem. Trójkąty pełnią funkcję teselacji i są wypełnione wzorem z odcinków zbudowanych na dwusiecznych kątów trójkąta.

Kumiko Asanoha 
Motyw Asanoha był używany w Japonii od czasów starożytnych w różnego rodzaju świętych rytuałach. Często stosuje się go na ubrankach dla dzieci, wierząc, że przyniesie długie życie i zdrowie dziecku. Trójkąt oznacza tu zabezpieczenie przed złem. Asanoha, jako kolekcja trójkątów, jest rozumiana jako moc i piękno. Na zdjęciu mamy współczesną interpretację Asanoha w postaci obrazu na ścianę. Użyto tu drewna pokrytego naturalnymi barwnikami. 
 

O Kumiko można opowiadać równie dużo jak o gerehu. Japończycy dla każdego wzoru Kumiko wymyślili osobną nazwę, a wiele z nich posiada również znaczenie symboliczne. Wróćmy jednak do gerehu na wielokątach foremnych.

Projekt 3.1

Na początek weźmy stosunkowo prostą teselację pokazaną na kolejnej rycinie. Mamy tu znany nam kontur C(1/3) powstały z podzielenia kąta prostego na trzy równe części. Wielokąty pokazane w tej teselacji są dwunastokątem foremnym, sześciokątem foremnym, kwadratem i trójkątem równobocznym. Mamy zatem wszystkie wielokąty, które mogą wystąpić w teselacji płaszczyzny wielokątami foremnymi, z których przynajmniej jeden jest zbudowany na siatce z trójkątów równobocznych. Konstrukcja tej teselacji jest bardzo prosta i zakładam, że Czytelnik może ją wykonać samodzielnie. Można dość szybko sprawdzić, że nie jest to teselacja archimedesowa, a Czytelnik z pewnością będzie w stanie policzyć, ile różnych typów wierzchołków mamy w tej teselacji.
Naszym zadaniem będzie wypełnienie jej wzorem zgodnym z regułami gerehu. Pamiętamy, że od położenia pierwszej linii zależy cały wzór. W tym projekcie chcemy wykonać przykładowy gereh, więc nie będziemy zajmować się dyskusją możliwych przypadków. 
To za chwilę. Zauważmy również, że teselacja wyłącznie z wielokątami foremnymi daje stosunkowo proste gerehy. W związku z tym nieco później dołączymy do naszych wielokątów tarcze. Przypomnijmy przy okazji – tarcze nie są wielokątami foremnymi, co oznacza, że musimy wyjść poza temat określony w tytule tego szkicu. Na początek nasza teselacja.

Teselacja od projektu 3.1 oraz kilku dalszych
Zauważmy, że ta teselacja powstała z ćwiartek dwóch dwunastokątów foremnych mających jeden bok wspólny. Jeden z tych dwunastokątów został podzielony na mniejsze wielokąty, również foremne. To właśnie ten podział dał nam potrzebne trójkąty, kwadraty i sześciokąt foremny.

W tym projekcie nasza pierwsza linia połączy środki boków jednego z trójkątów. Zauważmy, że trójkąt równoboczny ma symetrię D3, co oznacza, że wzór w tym trójkącie powinien mieć również tę samą symetrię 
(por. reguły gerehu).

Pierwsza linia i początki wzoru
Połączenie prostymi środków boków wyróżnionego tu trójkąta tworzy wzór wewnątrz trójkąta oraz szkielet do budowy wzoru w pozostałych wielokątach foremnych. To wystarcza do tego, aby stworzyć cały szablon. 

Na kolejnej rycinie pokazuję, jakie są konsekwencje tak poprowadzonej pierwszej linii, a dokładniej pierwszych linii (niebieskie) i wszystkich ich odpowiedników w pozostałych trójkątach.

Teselacja i wzór
Ta plątanina prostych i odcinków pokazuje wewnętrzną strukturę wzoru – proste oraz sam wzór – czarne odcinki. Po usunięciu prostych oraz czerwonych figur teselacji otrzymamy gotowy szablon. Wzór wewnątrz dwunastokąta może być bardziej złożony, np. pusta przestrzeń w środku może być wypełniona dodatkową rozetą. O tym za chwilę. 

Pokazany na tej rycinie gereh jest ostatecznym wynikiem naszej konstrukcji. Mamy tu 16 kopii naszego szablonu. Taki wzór może być wykorzystany do wielu celów, np. jako obraz na ścianę, jako deseń na tkaninę lub dywan. To już koniec projektu 3.1. Proponuję, aby Czytelnik odtworzył ten gereh samodzielnie, rysując na papierze lub na komputerze. W tym ostatnim przypadku dowolny program do tzw. geometrii dynamicznej będzie wystarczającym narzędziem.

Gereh zbudowany na teselacji wielokątów foremnych

Projekt 3.2

Teraz projekt do samodzielnego wykonania. Tym razem nasza teselacja jest jedną z najprostszych znanych teselacji wielokątami foremnymi.

Teselacja do projektu 3.2
Skonstruuj teselację i wylicz, jaka jest proporcja jej konturu. Następnie skonstruuj gereh używający tej teselacji i korzystając z elementów, których używaliśmy w projekcie 3.1.Na kolejnej rycinie pokazuję jeden z możliwych do otrzymania gerehów opartych na tej teselacji. Pytanie – ile kopii szablonu wykorzystaliśmy do stworzenia tego wzoru?

Warianty

Skoro już przypomnieliśmy sobie, jak możemy utworzyć gereh, korzystając z wielokątów foremnych, to teraz warto zająć się analizą różnych możliwości poprowadzenia pierwszej linii i tego, co z takiej decyzji otrzymamy. Możliwości mamy bardzo wiele – zarówno tych prostych, 
jak i tych bardzo złożonych. Na początek omówimy wybrane proste rozwiązania, czyli takie, w których dwunastokąt foremny i sześciokąt wypełniamy gwiazdą lub rozetą.

Geometria wzoru typu A

Zaczniemy od omówienia tego, co zrobiliśmy w projektach 3.1 i 3.2. W obu projektach priorytetowym elementem teselacji był trójkąt. Połączenie środków boków trójkąta liniami prostymi było kluczowym elementem dalszej konstrukcji.

Geometria wzoru typu A
Na rycinie pokazuję związek wzoru w trójkącie z siatką potrzebną do utworzenia wzoru w pozostałych figurach. Zauważmy, że pokazana tu konfiguracja wielokątów nigdy nie wystąpi w teselacji wielokątami foremnymi, ale to w tej chwili nie jest istotne. Ważne są związki pomiędzy wzorami w tych wielokątach. Kolejna rycina pokazuje, jak wzór w każdym z wielokątów może wyglądać.

Taki właśnie rodzaj wypełnienia deseniem poszczególnych wielokątów foremnych wykorzystaliśmy w projekcie 3.1. Ten rodzaj wypełnienia nazywać będziemy typem A. To oznaczanie wprowadzamy wyłącznie na potrzeby tego tekstu. W dostępnej literaturze nie ma żadnych oznaczeń dla tego i innych typów desenia wypełniającego wielokąty foremne. 
Czytelnik może stworzyć swoją własną terminologię. Problem jednak w tym, że – ze względu na różnorodność wzorów wypełniających każdy z wielokątów omawianych w tym szkicu – ustanowienie jakiejś klasyfikacji jest praktycznie niemożliwe. 
Zauważmy, że pokazane tu wypełnienie deseniem wielokątów foremnych (przy założeniu, że trójkąt jest figurą wyjściową) może mieć wiele interesujących modyfikacji. Spotykamy je w różnych miejscach, m.in. pokazuje je Bourgoin w swojej książce2 na planszach 89 i 85. Oto, co tam znajdziemy. 

Warianty wzoru dla dwunastokąta foremnego w geometrii typu A
Na załączonych rycinach pokazujemy wybrane warianty wypełnienia dwunastokąta foremnego. Za każdym razem wychodzimy z najprostszego wypełnienia i zapełniamy wzorem środek wielokąta. Na rysunkach pokazaliśmy, w jaki sposób te uzupełnienia mogą być konstruowane. 
Zauważmy, że tu omawiamy tylko desenie dla dwunastokąta. Trójkąt jest zbyt mały, abyśmy mogli coś poprawić w jego wzorze. Podobnie jest z pozostałymi wielokątami, ale tam też można zrobić trochę ciekawych poprawek. Pokazane tu rozety czasem występowały jako osobne motywy dekoracyjne. Kilka podobnych elementów wykonanych w drewnie pokazuje d’Avennes3. Ostatnia z pokazanych tu rozet pochodzi z ...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy