Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka w praktyce

29 maja 2020

NR 44 (Maj 2020)

Wyrazy podobne na lekcjach matematyki
Propozycja jednostki lekcyjnej dla uczniów szkół średnich

81

Artykuł ten jest propozycją lekcji, która wprowadza szerszą, bardziej ogólną definicję wyrazów podobnych. Jakkolwiek nie podejmuje on dyskusji o różnicach między parametrami i zmiennymi – idee różnicowania między tymi istotnymi podmiotami algebry zostaną włączone do procesu upraszczania wyrazów podobnych.

Lekcja ta może być realizowana jako powtórzeniowa przed maturą lub może być włączona w cykl jednostek lekcyjnych, na których umiejętność redukowania wyrazów z parametrami jest istotna.
Wyrazy podobne są często zdefiniowane jako elementy matematyczne, które składają się z tych samych zmiennych i których zmienne występują w tych samych potęgach. Liczby stojące przed zmiennymi nazywane są współczynnikami liczbowymi. Jakkolwiek definicja ta jest wystarczająca, by redukować wyrazy jednomianów, nie pomaga ona uczniom zredukować wyrazy z pierwiastkami, logarytmami czy z wyrażeniami trygonometrycznymi. Co więcej, definicja ta nie pozwala zredukować wyrazów, których współczynniki są wyrażone za pomocą liter (parametrów).

POLECAMY

Wprowadzenie

Kwestia wyrazów podobnych jest rzadko poruszana w literaturze. Badania dotyczące rozumienia istoty wyrazów podobnych często są podejmowane w kontekście parametrów i zmiennych i są postrzegane jako krok do rozwijania świadomości uczniów na temat znaczenia zmiennych i parametrów w funkcjach i równaniach. Wagner1 stwierdził się, że większość problemów uczniów z algebrą wynika z braku tego zrozumienia, a szczególnie różnic podczas używania liter jako zmiennych. Zgodnie z badaniami przeprowadzonymi przez Ursini2, interpretacje, operacje i symbolizacje parametrów są trudne nawet dla studentów, którzy są na zaawansowanych kursach matematyki. W myśl tego podejmowane są wysiłki mające na celu poprawienie umiejętności uczniów w różnicowaniu między parametrami i zmiennymi. Bloedy-Vinner3 zasugerował odwoływanie się do parametrów jako innego użycia liter, które mogą być traktowane jako wielkości niewiadome lub zmienne. Aby dobrze rozumieć operacje na algebrze, Sfard4 zasugerował, żeby podczas pracy z parametrami i zmiennymi skupić uwagę uczniów na tych właściwościach wyrazów, które pozwalają na uproszczanie wyrażeń algebraicznych. Kontynuując te sugestie, wydaje się, że umiejętność redukowania lub zamieniania na iloczyn wyrazów ze współczynnikami wyrażonymi za pomocą liter jest nie tylko potrzebna, by zredukować wyrazy podobne, ale również jest pierwszym krokiem do zrozumienia ról parametrów i zmiennych w funkcjach i równaniach algebraicznych5. Zaproponowana lekcja jest skonstruowana indukcyjnie. Zaczynamy od wąskiej (podręcznikowej) definicji wyrazów podobnych i stopniowo, razem z uczniami, ją uogólniamy, tak by mogła być zastosowana również w innych działach matematyki.

Treść lekcji

Nauczyciel inicjuje lekcję, pytając uczniów o warunki, na podstawie których dwa (lub więcej) wyrazy można sklasyfikować jako podobne. Uczniowie prawdopodobnie stwierdzą, że wyrazy podobne to takie, które posiadają te same zmienne i te same potęgi. Zgadzamy się z tą definicją, ale jednocześnie zwracamy uwagę uczniom, czym mogą się różnić wyrazy podobne, pytając, czy na przykład  mogą być sklasyfikowane jako wyrazy podobne. Uczniowie stwierdzą, że tak. Modyfikujemy więc definicję wyrazów podobnych na następującą:

Wyrazy podobne to takie, które posiadają te same zmienne i te same potęgi. Wyrazy podobne mogą różnić się współczynnikami liczbowymi.

Definicja ta nie jest ostateczna i będzie ulegała dalszym modyfikacjom. Nauczyciel zadaje dalsze pytanie, czy na przykład  
 lub  mogą być sklasyfikowane jako wyrazy podobne, a zatem czy mogą być one zredukowane. Początkowo uczniowie będą mieli wątpliwości, ale ostatecznie zdadzą sobie sprawę, że te pary wyrazów mogą być połączone i dlatego również powinny być sklasyfikowane jako wyrazy podobne. Nauczyciel wyjaśnia i uogólnia te rozważania: definicja, która była na wstępie powtórzona, dotyczyła tylko wyrażeń jednomianowych i istnieje potrzeba jej poszerzenia na wyrazy z innych działów matematyki. Nauczyciel zapisuje 
i   i pyta, czy można wyrazy tych funkcji określić jako podobne. Uczniowie stwierdzą, że tak. Nauczyciel proponuje inną, bardziej rozszerzoną definicję:
Wyrazy podobne to takie, które reprezentują te same generalne formy funkcji. 

Uczniowie zaaprobują tę definicję, jednakże określenie współczynników wymaga pójścia jeszcze dalej. Nauczyciel pyta, czy  można uznać za wyrazy podobne. Uczniowie na początku stwierdzą, że te dwa wyrazy nie są podobne, „ponieważ m i x są różnymi zmiennymi”. Początkowo przyznajemy im rację, ale dodajemy warunek: załóżmy, że jedyną zmienną w obu wyrazach jest tylko x, a m jest traktowane jako parametr. Pod tym warunkiem uczniowie będą najprawdopodobniej skłonni do sklasyfikowania tych wyrazów jako podobne. 
Nauczyciel wyjaśnia, że w przypadkach, gdy wyrażenia zawierają zmienne i parametry, zmienne zwykle wyraźnie zdefiniowane w celu wyeliminowania wątpliwości. Po wyjaśnieniu tych niuansów nauczyciel zachęca uczniów do sformułowania jeszcze ogólniejszej definicji, która w jej ostatecznej formie będzie brzmieć następująco:

Wyrazy są podobne, jeśli zawierają te same formy funkcji. Podobne wyrazy mogą się różnić współczynnikami liczbowymi lub parametrami (literami, które reprezentują te współczynniki).

Pytanie pozostaje otwarte, jak zredukować wyrazy podobne ze współczynnikami reprezentowanymi przez litery? Czy jest to możliwe? Aby pomóc uczniowi ze zrozumieniem tego procesu, warto zasugerować podobieństwa, które będą wynikały z ustanowienia równoległej struktury do dodawania wyrazów o współczynnikach liczbowych. Nauczyciel pisze na tablicy: . Następnie pyta, jak zredukować , i nawiązuje do wyżej zapisanego procesu. Nauczyciel podkreśla, że  reprezentuje iloczyn dwóch liczb  i dalej wyjaśnia, że wynik dodania k i m nie może być jedną z tych liter, ponieważ te parametry nie są identyczne. W tym przypadku sumę  można przedstawić jako iloczyn sumy tych liter i zmiennej x. Uczniowie sugerują wyłączenie k i m przed nawias . Nauczyciel podkreśla interpretację (k + m) jako współczynnika wyrazu  wyrażonego 
w formie sumy.



Kontrastując wyrażenia (1) i (2), a szczególnie ich współczynniki, uczniowie uświadomią sobie, że współczynniki wyrażone jako różne litery nie mogą być zredukowane do jednej litery. Mimo to proces upraszczania jest podobny do łączenia wyrazów ze współczynnikami liczbowymi. U...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy