Wyrazy podobne na lekcjach matematyki

Lekcja ta może być realizowana jako powtórzeniowa przed maturą lub może być włączona w cykl jednostek lekcyjnych, na których umiejętność redukowania wyrazów z parametrami jest istotna.
Wyrazy podobne są często zdefiniowane jako elementy matematyczne, które składają się z tych samych zmiennych i których zmienne występują w tych samych potęgach. Liczby stojące przed zmiennymi nazywane są współczynnikami liczbowymi. Jakkolwiek definicja ta jest wystarczająca, by redukować wyrazy jednomianów, nie pomaga ona uczniom zredukować wyrazy z pierwiastkami, logarytmami czy z wyrażeniami trygonometrycznymi. Co więcej, definicja ta nie pozwala zredukować wyrazów, których współczynniki są wyrażone za pomocą liter (parametrów).

Wprowadzenie

Kwestia wyrazów podobnych jest rzadko poruszana w literaturze. Badania dotyczące rozumienia istoty wyrazów podobnych często są podejmowane w kontekście parametrów i zmiennych i są postrzegane jako krok do rozwijania świadomości uczniów na temat znaczenia zmiennych i parametrów w funkcjach i równaniach. Wagner1 stwierdził się, że większość problemów uczniów z algebrą wynika z braku tego zrozumienia, a szczególnie różnic podczas używania liter jako zmiennych. Zgodnie z badaniami przeprowadzonymi przez Ursini2, interpretacje, operacje i symbolizacje parametrów są trudne nawet dla studentów, którzy są na zaawansowanych kursach matematyki. W myśl tego podejmowane są wysiłki mające na celu poprawienie umiejętności uczniów w różnicowaniu między parametrami i zmiennymi. Bloedy-Vinner3 zasugerował odwoływanie się do parametrów jako innego użycia liter, które mogą być traktowane jako wielkości niewiadome lub zmienne. Aby dobrze rozumieć operacje na algebrze, Sfard4 zasugerował, żeby podczas pracy z parametrami i zmiennymi skupić uwagę uczniów na tych właściwościach wyrazów, które pozwalają na uproszczanie wyrażeń algebraicznych. Kontynuując te sugestie, wydaje się, że umiejętność redukowania lub zamieniania na iloczyn wyrazów ze współczynnikami wyrażonymi za pomocą liter jest nie tylko potrzebna, by zredukować wyrazy podobne, ale również jest pierwszym krokiem do zrozumienia ról parametrów i zmiennych w funkcjach i równaniach algebraicznych5. Zaproponowana lekcja jest skonstruowana indukcyjnie. Zaczynamy od wąskiej (podręcznikowej) definicji wyrazów podobnych i stopniowo, razem z uczniami, ją uogólniamy, tak by mogła być zastosowana również w innych działach matematyki.

Treść lekcji

Nauczyciel inicjuje lekcję, pytając uczniów o warunki, na podstawie których dwa (lub więcej) wyrazy można sklasyfikować jako podobne. Uczniowie prawdopodobnie stwierdzą, że wyrazy podobne to takie, które posiadają te same zmienne i te same potęgi. Zgadzamy się z tą definicją, ale jednocześnie zwracamy uwagę uczniom, czym mogą się różnić wyrazy podobne, pytając, czy na przykład  mogą być sklasyfikowane jako wyrazy podobne. Uczniowie stwierdzą, że tak. Modyfikujemy więc definicję wyrazów podobnych na następującą:

Wyrazy podobne to takie, które posiadają te same zmienne i te same potęgi. Wyrazy podobne mogą różnić się współczynnikami liczbowymi.

Definicja ta nie jest ostateczna i będzie ulegała dalszym modyfikacjom. Nauczyciel zadaje dalsze pytanie, czy na przykład  
 lub  mogą być sklasyfikowane jako wyrazy podobne, a zatem czy mogą być one zredukowane. Początkowo uczniowie będą mieli wątpliwości, ale ostatecznie zdadzą sobie sprawę, że te pary wyrazów mogą być połączone i dlatego również powinny być sklasyfikowane jako wyrazy podobne. Nauczyciel wyjaśnia i uogólnia te rozważania: definicja, która była na wstępie powtórzona, dotyczyła tylko wyrażeń jednomianowych i istnieje potrzeba jej poszerzenia na wyrazy z innych działów matematyki. Nauczyciel zapisuje 
i   i pyta, czy można wyrazy tych funkcji określić jako podobne. Uczniowie stwierdzą, że tak. Nauczyciel proponuje inną, bardziej rozszerzoną definicję:
Wyrazy podobne to takie, które reprezentują te same generalne formy funkcji. 

Uczniowie zaaprobują tę definicję, jednakże określenie współczynników wymaga pójścia jeszcze dalej. Nauczyciel pyta, czy  można uznać za wyrazy podobne. Uczniowie na początku stwierdzą, że te dwa wyrazy nie są podobne, „ponieważ m i x są różnymi zmiennymi”. Początkowo przyznajemy im rację, ale dodajemy warunek: załóżmy, że jedyną zmienną w obu wyrazach jest tylko x, a m jest traktowane jako parametr. Pod tym warunkiem uczniowie będą najprawdopodobniej skłonni do sklasyfikowania tych wyrazów jako podobne. 
Nauczyciel wyjaśnia, że w przypadkach, gdy wyrażenia zawierają zmienne i parametry, zmienne zwykle wyraźnie zdefiniowane w celu wyeliminowania wątpliwości. Po wyjaśnieniu tych niuansów nauczyciel zachęca uczniów do sformułowania jeszcze ogólniejszej definicji, która w jej ostatecznej formie będzie brzmieć następująco:

Wyrazy są podobne, jeśli zawierają te same formy funkcji. Podobne wyrazy mogą się różnić współczynnikami liczbowymi lub parametrami (literami, które reprezentują te współczynniki).

Pytanie pozostaje otwarte, jak zredukować wyrazy podobne ze współczynnikami reprezentowanymi przez litery? Czy jest to możliwe? Aby pomóc uczniowi ze zrozumieniem tego procesu, warto zasugerować podobieństwa, które będą wynikały z ustanowienia równoległej struktury do dodawania wyrazów o współczynnikach liczbowych. Nauczyciel pisze na tablicy: . Następnie pyta, jak zredukować , i nawiązuje do wyżej zapisanego procesu. Nauczyciel podkreśla, że  reprezentuje iloczyn dwóch liczb  i dalej wyjaśnia, że wynik dodania k i m nie może być jedną z tych liter, ponieważ te parametry nie są identyczne. W tym przypadku sumę  można przedstawić jako iloczyn sumy tych liter i zmiennej x. Uczniowie sugerują wyłączenie k i m przed nawias . Nauczyciel podkreśla interpretację (k + m) jako współczynnika wyrazu  wyrażonego 
w formie sumy.



Kontrastując wyrażenia (1) i (2), a szczególnie ich współczynniki, uczniowie uświadomią sobie, że współczynniki wyrażone jako różne litery nie mogą być zredukowane do jednej litery. Mimo to proces upraszczania jest podobny do łączenia wyrazów ze współczynnikami liczbowymi. Uczniowie są teraz gotowi, by praktykować tę technikę. Nauczyciel pisze przykłady na tablicy i zadaje uczniom, by nad nimi pracowali. Następnie weryfikuje odpowiedzi uczniów i je koryguje, jeśli jest to konieczne.

Przykład 1
Podane są pary wyrazów. Zidentyfikuj te pary, które reprezentują wyrazy podobne. Napisz Tak lub Nie. Po sklasyfikowaniu danej pary jako reprezentującej podobne wyrazy zredukuj jej wyrazy lub zapisz je w formie iloczynu. We wszystkich przykładach zmienną niezależną jest x.

Jeśli czas na to pozwala, można wprowadzić uczniów do techniki rozwiązywania równań liniowych, w których dyskutowana metoda redukowania wyrazów z literowymi współczynnikami jest zastosowana. Próbki takich równań podane są poniżej.

Przykład 2
Rozwiąż te równania na x.

Rozszerzenia tematu

Uczniowie lepiej zapamiętają tę ideę, jeśli doświadczą jej zastosowania w innych, nowych sytuacjach. Przykłady takich sytuacji są poniżej.
1. Znajdź wyrażenia na współczynniki nachylenia podanych funkcji liniowych i policz wartość parametru k, dla którego nachylenie każdej z tych funkcji będzie mieć wartość 5.
a) y − 3x = kx + 1
b) 2x + 6 = y + kx

2. Dla jakiej wartości a podane równania będą liniowe?

3. Dla jakich wartości a poniższe funkcje będą posiadały horyzontalne asymptoty o wartości y = 6?

4. Podane są:

Znajdź wskazane kombinacje tych funkcji i je naszkicuj.
a) h(x) = f(x) + g(x)
b) h(x) = 2f(x) − g(x)

Podsumowanie

Choć lekcja ta jest wystarczająca, by pomóc uczniom w redukowaniu wyrazów podobnych, to różnicowanie pomiędzy parametrami i zmiennymi wymaga więcej dydaktycznej kreatywności. Można by tu sięgnąć do fizyki, gdzie uczniowie mogą przewidzieć wpływ zmiennych i parametrów na interpretację funkcji. Na przykład weźmy pod uwagę funkcję reprezentującą położenie ciała: x(t) = vt; t jest niezależną zmienną tej funkcji, a v reprezentuje prędkość, która można tu traktować jako parametr. Kiedy parametr jest znany, można funkcję narysować i dalej ją analizować. Czy wszystkie wykresy x(t) = vt ze zmiennym parametrem v mają jakieś wspólne cechy? Czy można by przyjąć za parametr tej funkcji t, a v traktować jako zmienną; x(v) = vt? Takie dyskusje byłyby niewątpliwie owocne, ponieważ uświadomiłyby uczniom wpływ parametrów i zmiennych na wykresy funkcji. a także uświadomiłyby uczniom, jak ważne jest rozróżnienie pomiędzy parametrami i zmiennymi w zrozumieniu i interpretacji operacji matematycznych. 

Literatura

1. Wagner S., Parker S., Advancing algebra. Research ideas for the classroom, „High school mathematics” 119/1993, s. 139.
2. Ursini S., Trigueros M., How Do High School Students Interpret Parameters in Algebra? International Group for the Psychology of Mathematics Education. 2004
3. Bloedy-Vinner, H., Beyond unknown and variables – Parameters and dummy variables in high school algebra. Perspectives on school algebra. Boston/Dordrecht/London: Kluwer Academic Publishers. 2001, s. 177–189.
4. Sfard, A., On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin, „Educational Studies in Mathematics” 22(1)/1991, s. 1–36.
5. Sokołowski A., Like terms in algebra, „Australian Mathematics Education Journal” (w druku). 2020.