Rozważymy wielokąty foremne o 4, 8, 16, 32, 64, … bokach wpisane w okrąg i znajdziemy wzór, który pozwoli obliczyć
długość l2n boku wielokąta o liczbie boków 2n na podstawie znajomości długości ln boku wielokąta o liczbie boków równej n. Następnie obliczymy obwody wielokątów, zaczynając od obwodu kwadratu…
POLECAMY
Cele lekcji
Uczeń:
- Konstruuje wielokąty foremne z zastosowaniem cyrkla i linijki (lub przy pomocy GeoGebry).
- Stosuje metodę iteracji.
- Realizuje obliczenia z zastosowaniem arkusza kalkulacyjnego.
Działania
Proponowane ćwiczenie zapewnia, że uczeń uzyska przybliżenie wartości π, obliczając stosunek między obwodem wielokąta foremnego o n bokach i średnicą okręgu na nim opisanego. Ta procedura domyślnie zawiera ideę pojęcia granicy. Pierwsza część postępowania służy zrozumieniu, że przejście od wielokąta foremnego o n bokach do wielokąta foremnego o 2n bokach opiera się na powtarzalnej procedurze konstrukcji symetralnej odcinka przy pomocy cyrkla i linijki. W dalszej części określamy zależność, jaka zachodzi między obwodem wielokąta foremnego o n bokach a obwodem wielokąta foremnego o 2n bokach.
Końcową część działania wykonujemy z pomocą arkusza kalkulacyjnego, aby pokazać kolejne przybliżenia π i, być może, dać również jakościową koncepcję prędkości zbieżności ln wraz ze wzrostem n. Nie będę tu opisywał konstrukcji wielokątów foremnych wpisanych w okrąg o promieniu r przy pomocy cyrkla i linijki. Konstrukcję tę można też zrealizować przy pomocy GeoGebry i może ona wyglądać tak jak na ryc. 1. By przeprowadzić stosowne obliczenia, rozważmy okrąg o środku w punkcie O i promieniu r (ryc. 2).
Prowadzimy sieczną AB okręgu, która jest jednym z boków wielokąta foremnego o n bokach. Niech |AB| = ln. Bok wielokąta o 2n bokach otrzymamy, prowadząc symetralną odcinka AB. Wyznaczamy w ten sposób punkty C i D na okręgu. Odcinek BC jest bokiem wielokąta foremnego o 2n bokach; oznaczmy jego długość przez l2n. Jaka jest zależność pomiędzy długościami boków BC i AB, tzn. między liczbami l2n i ln? Rozważmy trójkąt DBC. Jest to trójkąt prostokątny, gdyż kąt przy wierzchołku B jest kątem wpisanym opartym na półokręgu. Stosując do tego trójkąta drugie twierdzenie Euklidesa (o wysokości opuszczonej z wierzchołka kąta prostego), otrzymujemy:
\(|BK|^{2}=|CK|\cdot |DK|\)
Wiedząc, że:
\(|DK|=2r,|DK|=|DC|-|CK|\ i \ |BK|=\frac{l_{n}}{2}\)
możemy wyznaczyć \(|CK|\) w zależności od \(l_{n}\):
\(\frac{l_{n}^{2}}{4}=|CK|\cdot (2r-|CK|)\)
co po przekształceniach daje równanie:
\(|CK|^{2}-2r\cdot |CK|+\frac{l_{n}^{2}}{4}=0\)
Dla ułatwienia zapisu wprowadźmy w miejsce \(|CK|\) literę:
\(x^{2}-2rx+\frac{l_{n}^{2}}{4}=0\)
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, którego wyróżnikiem jest \(4r^{2}-l_{n}^{2}\).
Pierwiastkami powyższego równania są liczby:
\(x_{1}=\frac{2r-\sqrt{4r^{2}-l_{n}^{2}}}{2}\) i \(x_{1}=\frac{2r+\sqrt{4r^{2}-l_{n}^{2}}}{2}\)
Drugiego rozwiązania przyjąć nie możemy, gdyż \(|CK|\) nie może być większe od r. Ostatecznie więc mamy:
\(|CK|=\frac{2r-\sqrt{4r^{2}-l_{n}^{2}}}{2}\)
Trójkąt BCK też jest trójkątem prostokątnym, więc stosując twierdzenie Pitagorasa, otrzymujemy:
\(|BC|^{2}=|BK|^{2}+|CK|^{2}\),
\(|BC|^{2}=\frac{l_{n}^{2}}{4}+2r-\left (\frac{2r-\sqrt{4r^{2}-l_{n}^{2}}}{2} \right )^{2}=2r^{2}-r\sqrt{4r^{2}-l_{n}^{2}}\),
skąd:
(*) \(|BC|=l_{2n}=\sqrt{2r^{2}-r\sqrt{4r_{2}-l_{n}^{2}}}\)
Długość boku kwadratu wpisanego w koło o promieniu r wynosi \(r\cdot \sqrt{2}\)
Wychodząc od tego możemy wyznaczyć długości boków kolejnych wielokątów foremnych wpisanych w dane koło, a więc wielokątów o 8, 16, 32, 64, … bokach.
Stosunki długości obwodów do średnicy okręgu wraz ze wzrostem liczby boków dają coraz lepsze przybliżenia liczby π.
Do przeprowadzenia obliczeń przyjmiemy r = 1 i wówczas wzór (*) ma postać:
\(|BC|=l_{2n}=\sqrt{2-\sqrt{4-l_{n}^{2}}}\)
Pozostaje nam już tylko skorzystać z arkusza kalkulacyjnego:
- W pierwszej kolumnie wpisujemy liczby boków wielokątów, zaczynając od kwadratu, czyli wpisujemy 4 w komórce A2, zaś w komórce A3 wpisujemy wzór =2*A2, obliczający długość boku kolejnego wielokąta, a potem kopiujemy go do pozostałych wierszy tabeli (np. aż do A15).
- W drugiej kolumnie w komórce B2 wpisujemy liczbę lub formułę =sqrt(2), w B3 wpisujemy formułę =sqrt(2–sqrt(4–B2^2)), którą kopiujemy aż do komórki B15.
- W trzeciej kolumnie w komórce C2 wpisujemy formułę =A2*B2 i kopiujemy ją aż do C15.
- W czwartej kolumnie w komórce D2 wpisujemy formułę =C2/2, którą kopiujemy aż do D15.
Efekt końcowy jest następujący:
W komórce D15 mamy wartość liczby π z ośmioma dokładnymi cyframi po przecinku. Możemy to sprawdzić, korzystając np. z Widoku CAS GeoGebry:
