Dołącz do czytelników
Brak wyników

Koło matematyczne

25 czerwca 2018

NR 30 (Styczeń 2018)

Cyfra za cyfrą…

0 270

W jaki sposób możemy wyznaczyć kolejne cyfry liczby π? Jakiej procedury można użyć? Na takie pytania odpowie poniższy artykuł.

Rozważymy wielokąty foremne o 4, 8, 16, 32, 64, … bokach wpisane w okrąg i znajdziemy wzór, który pozwoli obliczyć 
długość l2n boku wielokąta o liczbie boków 2n na podstawie znajomości długości ln boku wielokąta o liczbie boków równej n. Następnie obliczymy obwody wielokątów, zaczynając od obwodu kwadratu… 

Cele lekcji 

Uczeń:

  • Konstruuje wielokąty foremne z zastosowaniem cyrkla i linijki (lub przy pomocy GeoGebry).
  • Stosuje metodę iteracji.
  • Realizuje obliczenia z zastosowaniem arkusza kalkulacyjnego.

Działania

Proponowane ćwiczenie zapewnia, że uczeń uzyska przybliżenie wartości π, obliczając stosunek między obwodem wielokąta foremnego o n bokach i średnicą okręgu na nim opisanego. Ta procedura domyślnie zawiera ideę pojęcia granicy. Pierwsza część postępowania służy zrozumieniu, że przejście od wielokąta foremnego o n bokach do wielokąta foremnego o 2n bokach opiera się na powtarzalnej procedurze konstrukcji symetralnej odcinka przy pomocy cyrkla i linijki. W dalszej części określamy zależność, jaka zachodzi między obwodem wielokąta foremnego o n bokach a obwodem wielokąta foremnego o 2n bokach.

Końcową część działania wykonujemy z pomocą arkusza kalkulacyjnego, aby pokazać kolejne przybliżenia π i, być może, dać również jakościową koncepcję prędkości zbieżności ln wraz ze wzrostem n. Nie będę tu opisywał konstrukcji wielokątów foremnych wpisanych w okrąg o promieniu r przy pomocy cyrkla i linijki. Konstrukcję tę można też zrealizować przy pomocy GeoGebry i może ona wyglądać tak jak na ryc. 1. By przeprowadzić stosowne obliczenia, rozważmy okrąg o środku w punkcie O i promieniu r (ryc. 2).

Prowadzimy sieczną AB okręgu, która jest jednym z boków wielokąta foremnego o n bokach. Niech |AB| = ln. Bok wielokąta o 2n bokach otrzymamy, prowadząc symetralną odcinka AB. Wyznaczamy w ten sposób punkty C i D na okręgu. Odcinek BC jest bokiem wielokąta foremnego o 2n bokach; oznaczmy jego długość przez l2n. Jaka jest zależność pomiędzy długościami boków BC i AB, tzn. między liczbami l2n i ln? Rozważmy trójkąt DBC. Jest to trójkąt prostokątny, gdyż kąt przy wierzchołku B jest kątem wpisanym opartym na półokręgu. Stosując do tego trójkąta drugie twierdzenie Euklidesa (o wysokości opuszczonej z wierzchołka kąta prostego), otrzymujemy:

\(|BK|^{2}=|CK|\cdot |DK|\)

Wiedząc, że:

\(|DK|=2r,|DK|=|DC|-|CK|\ i \ |BK|=\frac{l_{n}}{2}\)

możemy wyznaczyć \(|CK|\) w zależności od \(l_{n}\):

\(\frac{l_{n}^{2}}{4}=|CK|\cdot (2r-|CK|)\)

co po przekształceniach daje równanie:

\(|CK|^{2}-2r\cdot |CK|+\frac{l_{n}^{2}}{4}=0\)

Dla ułatwienia zapisu wprowad...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy