Poza tym, czy w ogóle można mówić o czytaniu? Twierdzenie matematyczne należy zrozumieć, najlepiej na przykładzie, a intuicyjne czy empiryczne zrozumienie poprzeć zrozumieniem formalnym, dokładnym przestudiowaniem, przemyśleniem i swoistym odtworzeniem jego dowodu. W jakiś sposób powinniśmy upewnić się, że twierdzenie, które mamy przed oczami jest prawdziwe. Weźmy choćby twierdzenie Bezéut: Wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x − p wtedy i tylko wtedy, gdy W(p) = 0.
Kiedy pierwszy raz spotykamy się z tym twierdzeniem, powinniśmy poświęcić mu trochę uwagi. I sprawdzić. Wielomian W(x) = x3 − 2x2 + 1 dzieli się przez dwumian x − 1, ponieważ możemy zapisać x3 − 2x2 + 1 = (x − 1)(x2 − x − 1). A ile wynosi W(1)? A w drugą stronę? Może inny przykład? A co, jeśli weźmiemy p takie, że W(p) ≠ 0? Niech na przykład p = 2. I tak dalej…
Podobnie jest z definicją. Nie wystarczy ją przeczytać. Aby dobrze się z nią zapoznać, trzeba podać przykład obiektu spełniającego podane własności, zbadać go, podać kontrprzykład i raz jeszcze sprawdzić własności definiowanego obiektu. Można by powiedzieć – pobawić się nim. Książka matematyczna to nie powieść, którą wystarczy przeczytać ze względnym zrozumieniem, aby wiedzieć, jakie przygody spotkały głównego bohatera. Podobnie jest z muzyką. Pozbawione sensu jest suche ślęczenie nad nutami. Aby je odczytać, należy wziąć instrument i zagrać. Należy prawdziwie słuchać, a nie tylko słyszeć; zamknąć oczy i skupić się tylko na tym, co słyszymy.
POLECAMY
Teoria
Zajmijmy się teraz tą bardziej „suchą” stroną muzyki. Pobawmy się teorią muzyczną i spójrzmy na nią z matematycznego punktu widzenia. Czyż nie widać pewnych podobieństw? Spróbujmy nazwać niektóre elementy muzycznej teorii matematycznym językiem, opisać je w matematyczny sposób...
Skala muzyczna podzielona jest na oktawy. Oktawa Pitagorejska dzieli sie na 7 tonów i 12 półtonów. Jako przykład weźmy gamę majorową C-dur. Czarne klawisze to półtony. Widać, że pomiędzy dźwiękami e i f oraz h i c nie ma klawisza czarnego. Jest on niepotrzebny, bo odległość miedzy tymi dźwiękami to dokładnie pół tonu. Dokładna tabela interwałów dla gamy C-dur przedstawia się następująco:
Dźwięki c1 i c2 to te same dźwięki tylko w innej oktawie. Dlatego możemy powiedzieć, że z matematycznego punktu widzenia klawiatura fortepianu jest jakby kolista. Oktawa ma 7 elementów, bo element ósmy jest powtórzeniem pierwszego. Widzimy pewną cykliczność. Zbadajmy ją. Matematycznie c1 = c2, d1 = d2,… , h1 = h2, c2 = c3 … Możemy zatem bez utraty ogólności wyodrębnić pewną oktawę i stwierdzić matematycznie, że każda inna jest jej równoważna. Sformułujmy twierdzenie:
Twierdzenie 0.1
Każde dwie oktawy są izomorficzne.
Dowód: Oznaczmy oktawy O1, O2. Określmy odwzorowanie: j : O1 → O2 w następujący sposób: c1 → c2,… , h1 → h2.
Jest to homomorfizm, ponieważ działanie określone na obu oktawach (co nim może być?) jest takie samo. Przekształcenie zachowuje działanie.
Bez wątpienia dla każdego x, y zachodzi warunek: j(x · y) = j(x) · j(y)
Przy przejściu oktawę wyżej dana nuta zachowuje swoją wartość, a cały utwór swoje metrum. Każda inna własność również zostaje zachowana. Ów homomorfizm jest ponadto różnowartościowy (nie ma dwóch różnych nut, które w przejściu o oktawę wyżej przejdą na to samo) oraz jest „na” (cała wyższa oktawa zostaje „zaangażowana” w przekształcenie). Ponadto bez problemu możemy znaleźć odwzorowanie odwrotne. Nie ma więc wątpliwości co do tego, że tak określone przekształcenie jest izomorfizmem.
Bibliografia:
- Szurek M., Matematyka dla humanistów, RTW 2000.
- Szurek M., Matematyka przy kominku, BTC 2008.
- Szarecka G., Muzykologia dla dzieci i młodzieży, Wydawnictwo Szkolne Paderevianum 2004.
- Reiss J. W., Mała historia muzyki, Polskie Wydawnictwo Muzyczne, 1965.
- Śmiechowski B., Z muzyką przez wieki i kraje − Historia muzyki, Borgis 1993.
- Juszkiewicz A. P. (red.), Historia matematyki od czasów najdawniejszych do początku XIX stulecia, t. 3, S. Dobrzycki (tłum.), PWN 1977.
- Struik D. J., Krótki zarys historii matematyki do końca XIX wieku, P. Szeptycki (tłum.), PWN 1960.
- Kordos M., Wykłady z historii matematyki, SCRIPT 2006.
