Dołącz do czytelników
Brak wyników

Nauczanie matematyki

15 maja 2019

NR 38 (Maj 2019)

Harmonia sfer − cz. 2: aspekty formalne. Podobnie jak muzyka, matematyka ma swój język

0 85

Muzycy mają nuty, klucz wiolinowy, basowy, oznaczenia metrum, wysokości dźwięku. Matematycy mają symbol iloczynu kartezjańskiego, nieskończoności, izomorfizmu, całki, granicy... Podobnie, jak nie można tak po prostu czytać zapisu nutowego, tak samo nie można po prostu, bez przygotowania czytać tekstu matematycznego.

Poza tym, czy w ogóle można mówić o czytaniu? Twierdzenie matematyczne należy zrozumieć, najlepiej na przykładzie, a intuicyjne czy empiryczne zrozumienie poprzeć zrozumieniem formalnym, dokładnym przestudiowaniem, przemyśleniem i swoistym odtworzeniem jego dowodu. W jakiś sposób powinniśmy upewnić się, że twierdzenie, które mamy przed oczami jest prawdziwe. Weźmy choćby twierdzenie Bezéut: Wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x − p wtedy i tylko wtedy, gdy W(p) = 0.

Kiedy pierwszy raz spotykamy się z tym twierdzeniem, powinniśmy poświęcić mu trochę uwagi. I sprawdzić. Wielomian W(x) = x3 − 2x2 + 1 dzieli się przez dwumian x − 1, ponieważ możemy zapisać x3 − 2x2 + 1 = (x − 1)(x2 − x − 1). A ile wynosi W(1)? A w drugą stronę? Może inny przykład? A co, jeśli weźmiemy p takie, że W(p) ≠ 0? Niech na przykład p = 2. I tak dalej…

Podobnie jest z definicją. Nie wystarczy ją przeczytać. Aby dobrze się z nią zapoznać, trzeba podać przykład obiektu spełniającego podane własności, zbadać go, podać kontrprzykład i raz jeszcze sprawdzić własności definiowanego obiektu. Można by powiedzieć – pobawić się nim. Książka matematyczna to nie powieść, którą wystarczy przeczytać ze względnym zrozumieniem, aby wiedzieć, jakie przygody spotkały głównego bohatera. Podobnie jest z muzyką. Pozbawione sensu jest suche ślęczenie nad nutami. Aby je odczytać, należy wziąć instrument i zagrać. Należy prawdziwie słuchać, a nie tylko słyszeć; zamknąć oczy i skupić się tylko na tym, co słyszymy.
 



Teoria

Zajmijmy się teraz tą bardziej „suchą” stroną muzyki. Pobawmy się teorią muzyczną i spójrzmy na nią z matematycznego punktu widzenia. Czyż nie widać pewnych podobieństw? Spróbujmy nazwać niektóre elementy muzycznej teorii matematycznym językiem, opisać je w matematyczny sposób...

Skala muzyczna podzielona jest na oktawy. Oktawa Pitagorejska dzieli sie na 7 tonów i 12 półtonów. Jako przykład weźmy gamę majorową C-dur. Czarne klawisze to półtony. Widać, że pomiędzy dźwiękami e i f oraz h i c nie ma klawisza czarnego. Jest on niepotrzebny, bo odległość miedzy tymi dźwiękami to dokładnie pół tonu. Dokładna tabela interwałów dla gamy C-dur przedstawia się następująco:
 


Dźwięki c1 i c2 to te same dźwięki tylko w innej oktawie. Dlatego możemy powiedzieć, że z matematycznego punktu widzenia klawiatura fortepianu jest jakby kolista. Oktawa ma 7 elementó...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy