„Matematyce” z maja 2018 opisałem pokrótce genezę japońskich tablic matematycznych, tzw. sangaku. Tym razem chciałbym zwrócić uwagę na pewne specyficzne cechy tych tablic i problemów matematycznych na nich namalowanych. Na załączonym zdjęciu mamy pokazaną jedną z licznych tablic sangaku (fot. E. Hirotaka). Jak zauważył kiedyś sam Ebisui Hirotaka, tablice sangaku zawierają rysunki. Nie są to konstrukcje geometryczne. Przeglądając setki sangaku, nigdzie nie zauważyłem nawet sugestii, aby cokolwiek skonstruować. To może oznaczać, że spojrzenie japońskich matematyków na problemy matematyczne było w pewnym stopniu jednostronne – policz coś lub wyprowadź wzór. Zachodni entuzjasta sangaku może również zapytać – a jak to skonstruować? Kiedy zaczynamy mówić o konstrukcjach, to automatycznie pojawia się pytanie, co było punktem wyjścia do konstrukcji? Popatrzmy, jak to wygląda na konkretnym przykładzie.
POLECAMY
Problem 1
Mamy trzy kwadraty o boku k wpisane w większy kwadrat o boku a. Wyliczyć wartość k w zależności od wartości a.
To tyle z oryginalnego sangaku. Zachodni matematyk może w tym miejscu zapytać – a jak mogę skonstruować większy kwadrat, mając dane mniejsze? Można postawić również inne pytanie – jak możemy skonstruować trzy małe kwadraty, mając zadany większy? Takie pytania znacznie wzbogacają nasze spojrzenie na problem matematyczny i pozwalają zauważyć wiele innych, dodatkowych zależności.
Problem 2
Mamy kwadrat wpisany w trójkąt prostokątny, tak że jeden z boków kwadratu leży na przeciwprostokątnej natomiast dwa wierzchołki kwadratu leżą na przyprostokątnych. Udowodnić, że AB × CD = BC2.
Tym razem pojawia się nam jeszcze jedna możliwość, której nie mieli do dyspozycji matematycy japońscy. Ilustrację do tego problemu możemy skonstruować w dowolnym programie do tzw. geometrii dynamicznej i poruszając odpowiednimi punktami możemy sprawdzić, że dowodzona tu własność jest prawdziwa w każdym trójkącie prostokątnym. Co więcej, przy okazji możemy odkryć kilka innych zależności, np., jaki jest związek długości boków trójkąta z bokiem kwadratu?
To tyle oryginalnych problemów z tablic sangaku. O wielu innych opowiemy sobie przy najbliższej okazji.
