0
27
Spójrzmy na cechy podzielności z „niestandardowej” perspektywy. Przedstawiona propozycja może służyć m.in. nauczycielom i to w dwojaki sposób: może być konspektem lekcji w szkole ponadpodstawowej lub może być przedstawiona uczniom szkoły podstawowej na zajęciach dodatkowych.
W podręcznikach podstawowe cechy podzielności formułowane są w sposób pokazany w tabeli 1. W tym artykule nie będziemy ograniczać rozważań do systemu dziesiątkowego. Zbadamy pewne cechy podzielności w systemach pozycyjnych o innej podstawie. Dla przykładu zbudujemy tabliczki mnożenia w siódemkowym i szesnastkowym systemie pozycyjnym. Zobaczymy wtedy, że stwierdzenia przedstawione w tabeli 1 nie zawsze są prawdziwe.
| Dzielnik | Cecha podzielności | Przykłady |
| 2 | Ostatnią cyfrą liczby jest 0, 2, 4, 6 lub 8 | 10, 14, 26, 38 |
| 3 | Suma cyfr dzieli się przez 3 | 100000101, 12, 30 |
| 4 | Ostatnie dwie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4 | 20000024, 1004, 79016, 5800 |
| 5 | Ostatnią cyfrą jest 0 lub 5 | 100, 50, 55, 100005 |
| 6 | Liczba jest podzielna przez 2 i przez 3 | 40008, 5802 |
| 9 | Suma cyfr dzieli się przez 9 | 180090, 283050, 297 |
| 10 | Ostatnią cyfrą jest 0 | 10, 50, 1000 |
| 25 | Ostatnie dwie cyfry to 00, 25, 50 lub 75 | 10000900, 725, 9050, 9875 |
Ćwiczenie 1
Uzupełnij zdania:
- w siódemkowym systemie pozycyjnym liczba dzieli się przez:
- 6 dokładnie wtedy, gdy...
- 3 dokładnie wtedy, gdy...
- 2 dokładnie wtedy, gdy...
- 7 dokładnie wtedy, gdy...
- w szesnastkowym systemie pozycyjnym liczba dzieli się przez:
- 15 dokładnie wtedy, gdy...
- 5 dokładnie wtedy, gdy...
- 3 dokładnie wtedy, gdy...
- 16 dokładnie wtedy, gdy...
- 4 dokładnie wtedy, gdy...
- 2 dokładnie wtedy, gdy...
Ćwiczenie 2
- W systemie dziesiątkowym zapisz liczbę trzycyfrową, która ma a setek, b dziesiątek i c jedności (a,b,c < 10),
- Zapisz liczbę trzycyfrową, która ma a setek, b dziesiątek i c jedności w systemie pozycyjnym o podstawie x (a,b,c < x).
Rozwiązania:
2a) 100a + 10b + c równoważnie: a · 100 + b · 10 + c lub inaczej: a · 102 + b · 10 + c.
2b) Aby zapisać tę liczbę, wystarczy zamienić 10 na x w podpunkcie a) (bo zmienia się tylko podstawa systemu) i otrzymamy ax2 + bx + c, czyli dobrze nam znany trójmian kwadratowy.
Stąd wniosek: Wielomiany mogą być traktowane jako uogólnienie liczb.
Definicja 1
J...
Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.
- 6 wydań czasopisma "Matematyka"
- Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
- Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
- ...i wiele więcej!
