W podręcznikach podstawowe cechy podzielności formułowane są w sposób pokazany w tabeli 1. W tym artykule nie będziemy ograniczać rozważań do systemu dziesiątkowego. Zbadamy pewne cechy podzielności w systemach pozycyjnych o innej podstawie. Dla przykładu zbudujemy tabliczki mnożenia w siódemkowym i szesnastkowym systemie pozycyjnym. Zobaczymy wtedy, że stwierdzenia przedstawione w tabeli 1 nie zawsze są prawdziwe.
POLECAMY
| Dzielnik | Cecha podzielności | Przykłady |
| 2 | Ostatnią cyfrą liczby jest 0, 2, 4, 6 lub 8 | 10, 14, 26, 38 |
| 3 | Suma cyfr dzieli się przez 3 | 100000101, 12, 30 |
| 4 | Ostatnie dwie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4 | 20000024, 1004, 79016, 5800 |
| 5 | Ostatnią cyfrą jest 0 lub 5 | 100, 50, 55, 100005 |
| 6 | Liczba jest podzielna przez 2 i przez 3 | 40008, 5802 |
| 9 | Suma cyfr dzieli się przez 9 | 180090, 283050, 297 |
| 10 | Ostatnią cyfrą jest 0 | 10, 50, 1000 |
| 25 | Ostatnie dwie cyfry to 00, 25, 50 lub 75 | 10000900, 725, 9050, 9875 |
Ćwiczenie 1
Uzupełnij zdania:
- w siódemkowym systemie pozycyjnym liczba dzieli się przez:
- 6 dokładnie wtedy, gdy...
- 3 dokładnie wtedy, gdy...
- 2 dokładnie wtedy, gdy...
- 7 dokładnie wtedy, gdy...
- w szesnastkowym systemie pozycyjnym liczba dzieli się przez:
- 15 dokładnie wtedy, gdy...
- 5 dokładnie wtedy, gdy...
- 3 dokładnie wtedy, gdy...
- 16 dokładnie wtedy, gdy...
- 4 dokładnie wtedy, gdy...
- 2 dokładnie wtedy, gdy...
Ćwiczenie 2
- W systemie dziesiątkowym zapisz liczbę trzycyfrową, która ma a setek, b dziesiątek i c jedności (a,b,c < 10),
- Zapisz liczbę trzycyfrową, która ma a setek, b dziesiątek i c jedności w systemie pozycyjnym o podstawie x (a,b,c < x).
Rozwiązania:
2a) 100a + 10b + c równoważnie: a · 100 + b · 10 + c lub inaczej: a · 102 + b · 10 + c.
2b) Aby zapisać tę liczbę, wystarczy zamienić 10 na x w podpunkcie a) (bo zmienia się tylko podstawa systemu) i otrzymamy ax2 + bx + c, czyli dobrze nam znany trójmian kwadratowy.
Stąd wniosek: Wielomiany mogą być traktowane jako uogólnienie liczb.
Definicja 1
Jeżeli a0, a1, …, an ∈ {0, 1, …, 9} i x = 10, to anxn + … + a1x + a0 jest liczbą zapisaną w dziesiątkowym systemie pozycyjnym (n ∈ N).
Uogólnijmy tę definicję.
Definicja 2
Jeżeli a0, a1, …, an ∈ {0, 1, …, p −1} i x = p, to anxn + … + a1x + a0 jest liczbą zapisaną w dziesiątkowym systemie pozycyjnym o podstawie p (n ∈ N).
Wróćmy do ćwiczenia 1. Jaką cechę podzielności miała liczba 6 w systemie siódemkowym? Jaką cechę podzielności miała liczba 15 w systemie szesnastkowym? Uogólnijmy tę prawidłowość.
Twierdzenie 1
Liczba zapisana w systemie o podstawie p jest podzielna przez p − 1 wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr dzieli się przez p − 1.
Dowód
Niech: x – podstawa systemu; a0, a1, …, an ∈ {0, 1, …, x − 1}.
Wtedy wielomian: W(x) = anxn + … + a1x + a0 jest liczbą zapisaną w systemie o podstawie x.
Chcemy tę liczbę podzielić przez liczbę o 1 mniejszą od podstawy systemu, tj. przez dwumian P(x) = x − 1.
Mamy dwie możliwości: możemy skorzystać z twierdzenia Bézouta albo schematu Hornera.
Dzieląc schematem Hornera, otrzymamy:
Czyli reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian P(x) jest równa an + an − 1 + … + a1 + a0.
Aby wielomian W(x) był podzielny przez dwumian P(x), musi być ona równa zero, tzn. an + an − 1 + … + a1 + a0 = 0.
Tak będzie tylko wówczas, gdy suma an + an − 1 + … + a1 + a0
będzie podzielna przez liczbę x − 1, co kończy dowód.
Wróćmy do ćwiczenia 1. Jaką cechę podzielności miały liczby 2 i 3 w systemie siódemkowym? Jaką cechę podzielności miały liczby 5 i 3 w systemie szesnastkowym?
Lemat
Cecha podzielności przez liczbę D przenosi się na wszystkie dzielniki tej liczby (bez dowodu).
Wróćmy znów do ćwiczenia 1. Jaką cechę podzielności miała liczba 7 w systemie siódemkowym? Jaką cechę podzielności miała liczba 16 w systemie szesnastkowym?
Twierdzenie 2
Liczba zapisana w systemie o podstawie p jest podzielna przez p wtedy i tylko wtedy, gdy jest zakończona zerem.
Dowód tego twierdzenia przebiega analogicznie do dowodu poprzedniego twierdzenia. Dla urozmaicenia podamy dowód wykorzystujący twierdzenie Bézouta.
Dowód
Niech: x – podstawa systemu; a0, a1, …, an ∈ {0, 1, …, x − 1}.
Wtedy wielomian: W(x) = anxn + … + a1x + a0 jest liczbą zapisaną w systemie o podstawie x.
Wielomian W(x) ma dzielić się przez dwumian x − 0. Z twierdzenia Bézouta będzie tak tylko wówczas, kiedy wartość wielomianu W dla x = 0 będzie wynosić zero.
Mamy: W(0) = a0, stąd a0 = 0, co kończy dowód.
Wróćmy raz jeszcze do ćwiczenia 1. Zauważmy, że w systemie siódemkowym liczby 2 i 3 miały tę samą cechę podzielności co liczba 6. W systemie szesnastkowym liczby 3 i 5 miały tę samą cechę podzielności co liczba 15, a liczby 2 i 4 tę samą cechę podzielności co liczba 16. Stąd i z lematu wynika jeszcze jedno spostrzeżenie – liczba 2 ma inną cechę podzielności w systemie siódemkowym, a inną w systemie szesnastkowym. Ponadto cecha podzielności liczby 2 w systemie szesnastkowym jest podobna do jej cechy podzielności w systemie dziesiątkowym. Przypadek?
Wniosek
W każdym systemie o parzystej podstawie liczba będzie podzielna przez 2 wtedy i tylko wtedy, gdy jej ostatnia cyfra będzie podzielna przez 2.
Uzasadnienie
p – podstawa systemu (liczba parzysta).
Z twierdzenia 2 liczba dzieli się przez p, gdy jest zakończona zerem, czyli równoważnie – gdy jej ostatnia cyfra dzieli się przez p.
Z lematu cecha podzielności przez p przenosi się na wszystkie dzielniki p.
p jest parzyste, więc dzieli się przez 2.
Wobec tego liczba dzieli się przez 2, jeżeli jej ostatnia cyfra dzieli się przez 2.
Wniosek
W każdym systemie o nieparzystej podstawie liczba będzie podzielna przez 2 wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr będzie podzielna przez 2.
Uzasadnienie
p – podstawa systemu (liczba nieparzysta), wobec tego p jest liczbą parzystą.
Z twierdzenia 1 znamy jej cechę podzielności. Z lematu cecha ta przenosi się na wszystkie dzielniki liczby p − 1. Liczba ta jest parzysta, zatem jednym z jej dzielników jest 2.
Stąd 2 ma również tę cechę podzielności.
Bibliografia:
- Paczesna W., Mostowski K., Matematyka Nowej Ery. Podręcznik dla klasy 3 gimnazjum, Wyd. Nowa Era, Warszawa 2004.
- Mikołajczyk M., Skąd się biorą cechy podzielności, „Magazyn miłośników matematyki” 2/2010.
