Dlaczego cechy podzielności liczb nie są twierdzeniami matematycznymi?

W podręcznikach podstawowe cechy podzielności formułowane są w sposób pokazany w tabeli 1. W tym artykule nie będziemy ograniczać rozważań do systemu dziesiątkowego. Zbadamy pewne cechy podzielności w systemach pozycyjnych o innej podstawie. Dla przykładu zbudujemy tabliczki mnożenia w siódemkowym i szesnastkowym systemie pozycyjnym. Zobaczymy wtedy, że stwierdzenia przedstawione w tabeli 1 nie zawsze są prawdziwe.

Tabela 1. Podstawowe cechu podzielności

Dzielnik	Cecha podzielności	Przykłady
2	Ostatnią cyfrą liczby jest 0, 2, 4, 6 lub 8	10, 14, 26, 38
3	Suma cyfr dzieli się przez 3	100000101, 12, 30
4	Ostatnie dwie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4	20000024, 1004, 79016, 5800
5	Ostatnią cyfrą jest 0 lub 5	100, 50, 55, 100005
6	Liczba jest podzielna przez 2 i przez 3	40008, 5802
9	Suma cyfr dzieli się przez 9	180090, 283050, 297
10	Ostatnią cyfrą jest 0	10, 50, 1000
25	Ostatnie dwie cyfry to 00, 25, 50 lub 75	10000900, 725, 9050, 9875

Ćwiczenie 1  
Uzupełnij zdania:

1. w siódemkowym systemie pozycyjnym liczba dzieli się przez:

• 6 dokładnie wtedy, gdy... 
• 3 dokładnie wtedy, gdy...
• 2 dokładnie wtedy, gdy...
• 7 dokładnie wtedy, gdy...

2. w szesnastkowym systemie pozycyjnym liczba dzieli się przez:

• 15 dokładnie wtedy, gdy... 
• 5 dokładnie wtedy, gdy...
• 3 dokładnie wtedy, gdy...
• 16 dokładnie wtedy, gdy...
• 4 dokładnie wtedy, gdy...
• 2 dokładnie wtedy, gdy...

Ćwiczenie 2  

1. W systemie dziesiątkowym zapisz liczbę trzycyfrową, która ma a setek, b dziesiątek i c jedności (a,b,c < 10),
2. Zapisz liczbę trzycyfrową, która ma a setek, b dziesiątek i c jedności w systemie pozycyjnym o podstawie x (a,b,c < x).

Rozwiązania:
2a) 100a + 10b + c równoważnie: a · 100 + b · 10 + c lub inaczej: a · 102 + b · 10 + c.
2b) Aby zapisać tę liczbę, wystarczy zamienić 10 na x w podpunkcie a) (bo zmienia się tylko podstawa systemu) i otrzymamy ax2 + bx + c, czyli dobrze nam znany trójmian kwadratowy.

Stąd wniosek: Wielomiany mogą być traktowane jako uogólnienie liczb.

Definicja 1
Jeżeli a0, a1, …, an ∈ {0, 1, …, 9} i x = 10, to anxn + … + a1x + a0 jest liczbą zapisaną w dziesiątkowym systemie pozycyjnym (n ∈ N).
Uogólnijmy tę definicję.

Definicja 2
Jeżeli a0, a1, …, an ∈ {0, 1, …, p −1} i x = p, to anxn + … + a1x + a0 jest liczbą zapisaną w dziesiątkowym systemie pozycyjnym o podstawie p (n ∈ N).

Wróćmy do ćwiczenia 1. Jaką cechę podzielności miała liczba 6 w systemie siódemkowym? Jaką cechę podzielności miała liczba 15 w systemie szesnastkowym? Uogólnijmy tę prawidłowość.
 
Twierdzenie 1
Liczba zapisana w systemie o podstawie p jest podzielna przez p − 1 wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr dzieli się przez p − 1.

Dowód
Niech: x – podstawa systemu; a0, a1, …, an ∈ {0, 1, …, x − 1}.
Wtedy wielomian: W(x) = anxn + … + a1x + a0 jest liczbą zapisaną w systemie o podstawie x.
Chcemy tę liczbę podzielić przez liczbę o 1 mniejszą od podstawy systemu, tj. przez dwumian P(x) = x − 1.
Mamy dwie możliwości: możemy skorzystać z twierdzenia Bézouta albo schematu Hornera.
Dzieląc schematem Hornera, otrzymamy:

Czyli reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian P(x) jest równa an + an − 1 + … + a1 + a0.
Aby wielomian W(x) był podzielny przez dwumian P(x), musi być ona równa zero, tzn. an + an − 1 + … + a1 + a0 = 0.
Tak będzie tylko wówczas, gdy suma an + an − 1 + … + a1 + a0 
będzie podzielna przez liczbę x − 1, co kończy dowód.
Wróćmy do ćwiczenia 1. Jaką cechę podzielności miały liczby 2 i 3 w systemie siódemkowym? Jaką cechę podzielności miały liczby 5 i 3 w systemie szesnastkowym?

Lemat
Cecha podzielności przez liczbę D przenosi się na wszystkie dzielniki tej liczby (bez dowodu).
Wróćmy znów do ćwiczenia 1. Jaką cechę podzielności miała liczba 7 w systemie siódemkowym? Jaką cechę podzielności miała liczba 16 w systemie szesnastkowym?

Twierdzenie 2
Liczba zapisana...