Dołącz do czytelników
Brak wyników

Koło matematyczne

20 listopada 2018

NR 35 (Listopad 2018)

Dlaczego cechy podzielności liczb nie są twierdzeniami matematycznymi?

0 27

Spójrzmy na cechy podzielności z „niestandardowej” perspektywy. Przedstawiona propozycja może służyć m.in. nauczycielom i to w dwojaki sposób: może być konspektem lekcji w szkole ponadpodstawowej lub może być przedstawiona uczniom szkoły podstawowej na zajęciach dodatkowych.

W podręcznikach podstawowe cechy podzielności formułowane są w sposób pokazany w tabeli 1. W tym artykule nie będziemy ograniczać rozważań do systemu dziesiątkowego. Zbadamy pewne cechy podzielności w systemach pozycyjnych o innej podstawie. Dla przykładu zbudujemy tabliczki mnożenia w siódemkowym i szesnastkowym systemie pozycyjnym. Zobaczymy wtedy, że stwierdzenia przedstawione w tabeli 1 nie zawsze są prawdziwe.

Tabela 1. Podstawowe cechu podzielności
Dzielnik Cecha podzielności Przykłady
2 Ostatnią cyfrą liczby jest 0, 2, 4, 6 lub 8 10, 14, 26, 38
3 Suma cyfr dzieli się przez 3 100000101, 12, 30
4 Ostatnie dwie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4 20000024, 1004, 79016, 5800
5 Ostatnią cyfrą jest 0 lub 5 100, 50, 55, 100005
6 Liczba jest podzielna przez 2 i przez 3 40008, 5802
9 Suma cyfr dzieli się przez 9 180090, 283050, 297
10 Ostatnią cyfrą jest 0 10, 50, 1000
25 Ostatnie dwie cyfry to 00, 25, 50 lub 75 10000900, 725, 9050, 9875

Ćwiczenie 1  
Uzupełnij zdania:

  1. w siódemkowym systemie pozycyjnym liczba dzieli się przez:
  • 6 dokładnie wtedy, gdy... 
  • 3 dokładnie wtedy, gdy...
  • 2 dokładnie wtedy, gdy...
  • 7 dokładnie wtedy, gdy...
  1. w szesnastkowym systemie pozycyjnym liczba dzieli się przez:
  • 15 dokładnie wtedy, gdy... 
  • 5 dokładnie wtedy, gdy...
  • 3 dokładnie wtedy, gdy...
  • 16 dokładnie wtedy, gdy...
  • 4 dokładnie wtedy, gdy...
  • 2 dokładnie wtedy, gdy...

Ćwiczenie 2  

  1. W systemie dziesiątkowym zapisz liczbę trzycyfrową, która ma a setek, b dziesiątek i c jedności (a,b,c < 10),
  2. Zapisz liczbę trzycyfrową, która ma a setek, b dziesiątek i c jedności w systemie pozycyjnym o podstawie x (a,b,c < x).

Rozwiązania:
2a) 100a + 10b + c równoważnie: a · 100 + b · 10 + c lub inaczej: a · 102 + b · 10 + c.
2b) Aby zapisać tę liczbę, wystarczy zamienić 10 na x w podpunkcie a) (bo zmienia się tylko podstawa systemu) i otrzymamy ax2 + bx + c, czyli dobrze nam znany trójmian kwadratowy.

Stąd wniosek: Wielomiany mogą być traktowane jako uogólnienie liczb.

Definicja 1
J...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy