Wnaszej pracy nauczyciela matematyki bywa czasem trudno przebić się przez pewną barierę przyzwyczajeń i szablonów. Czasem, gdy zdecydujemy się zrealizować jakiś temat inaczej niż w podręczniku lub inaczej niż uczono nas dotychczas, spotkać się możemy z zapytaniem od jednego z rodziców, który zaniepokojony sytuacją zwróci nam uwagę. U mnie było podobnie, gdy rozpocząłem rewolucję działań pisemnych na swoich zajęciach. Uczniowie cieszyli się z nowych, fajnych metod, a rodzic zaniepokojony sytuacją, że w domu nie może dziecku potłumaczyć na starych, sprawdzonych słupkach, tworzył e-maile, czy aby na pewno moje metody będą odpowiednie i czy przez to uczeń nie napotka potem na trudności w starszych klasach. Przetrwałem to i po czterech latach mogę powiedzieć, że warto i chcę zachęcić do takiej odważnej rewolucji innych nauczycieli. Dowodem mojego sukcesu są absolwenci odwiedzający mnie w szkole i dziękujący za to odważne posunięcie. W pierwszej odsłonie skupię się na działaniu mnożenia pisemnego.
Proponuję zapytać uczniów, czy potrafią wykonać działanie 25 razy 46? Część z nich z pewnością zacznie rysować w zeszycie słupek do mnożenia pisemnego, gdyż prawdopodobnie jakiś nauczyciel w klasach 1–3 dał radę to zrobić lub też rodzic w domu nie czekał bezczynie na klasę czwartą z takim działaniem i w ramach ciekawostki pokazał dziecku w domu, jak radzić sobie z takim problemem. Jeżeli komuś się uda policzyć, to super, ale będą to nieliczni. Warto wtedy pokazać uczniom mnożenie kratowe lub, inaczej mówiąc, mnożenie sposobem hinduskim. Co to jest? To moja alternatywa dla słupków i schodków w tradycyjnym mnożeniu pisemnym. To mój pomysł dla uczniów z dysgrafią i dysleksją. Mnożenie kratowe jest dla mnie nauką tabliczki mnożenia w dużo bardziej atrakcyjny dla ucznia sposób. Wykonując działania na dużych liczbach, uczeń dokonuje czegoś do tej pory nieosiągalnego i przy okazji stara się sam zauważyć, że do tego wystarczy znać kilka podstawowych działań na liczbach w zakresie 100. Czyli wystarczy mu do tego wiedza, którą przyniósł ze sobą z klasy trzeciej. W ubiegłym roku szkolnym kilka razy odwiedziłem klasę trzecią, która w tym roku uczy się ze mną w klasie czwartej. Podczas odwiedzin pokazałem im metodę mnożenia kratowego i okazała się ona dla nich tak atrakcyjna, że ponad połowa klasy zapamiętała schemat tego mnożenia do klasy czwartej. Czy byłoby podobnie, gdybym poszedł w odwiedziny i pokazał słupek do mnożenia liczb wielocyfrowych metodą tradycyjną? Prawdopodobnie nie odważyłbym się tego zrobić, gdyż zanudziłbym uczniów i jeszcze, czego bym nie chciał, zniechęcił do siebie i całej matematyki. Moja lekcja zrobiła na ówczesnych trzecioklasistach takie wrażenie, że wrócili oni do domów i pokazali metodę swoim rodzicom. Efektem tego następnego dnia były bardzo miłe komentarze od rodziców. O to chodzi w matematyce – żeby tak uczyć, aby wywołać emocje i radość u ucznia. Wiedza jest wtedy szybciej przyjmowana i na dłużej zapamiętywana. Jak wykonać mnożenie kratowe? Najpierw musimy stworzyć tabelkę stosowną do działania. Potem uczeń wykonuje działania mnożenia, oparte na tabliczce mnożenia, i ostatecznie dokonuje dodawania i zapisania wyniku działania (ryc. 1, 2)
POLECAMY
Na zdjęciach widać dokładnie, na czym polega mnożenie pisemne sposobem kratowym. Poniżej zamieszczam kody QR z linkiem, gdzie można przyjrzeć się tej metodzie z bliska.
Uczniowie, mając w zeszytach kratki, z rysowaniem tabelek nie mają najmniejszych problemów. W klasie czwartej, gdy wprowadzamy tabelki, warto zaproponować uczniom kolorowanie wierszy do sumowania. Można od razy rozpocząć mnożenie na każdą skalę – wielkość mnożonych liczb nie ma znaczenia. Ambitniejsi uczniowie zaczną budować tabelki na swoje własne wymyślone działania. W momencie wprowadzania tabelek wspomagam uczniów mnożeniem cyfr na palcach, zakładając, że tabliczka mnożenia do 5 raczej nikomu nie sprawia problemów (ryc. 3).
Więcej na ten temat można poszukać w internecie, np.:
Mnożenie kratowe sprawdziło mi się doskonale i od czterech lat nie wprowadzam już na swoich lekcjach słupków. Rodzice już wiedzą, że to jest dobre, i nikt nie ma pretensji, że uczę w taki właśnie sposób. Nowi uczniowie, którzy potrafią dołączyć do moich klas w piątej czy szóstej klasie, bardzo szybko przekonują się do tabelek. Widzą, z jaką przyjemnością wykonują działania mnożenia moi uczniowie, i sami bardzo szybko przechodzą ze słupków do tabelek. Precyzja i bezbłędność są dodatkowym powodem na rezygnację ze słupków. Pytanie, co z ułamkami dziesiętnymi, które pojawią się w piątej klasie? Oczywiście, nie mamy z nimi problemów. Uczniowie podkreślają cyfry po przecinku w obu ułamkach. Następnie zasłaniają palcami przecinki (często na zajęciach mówię uczniom, aby na chwilę zapomnieli o przecinkach i przeczytali liczby, które widzą) i powstałe w ten sposób liczby mnożą przez siebie w tabelce. Po wykonaniu mnożenia w wyniku od końca podkreślamy tyle cyfr, ile podkreśliliśmy w naszych ułamkach. Po podkreśleniu stawiamy przecinek i koniec mnożenia (ryc. 4). Wygląda to tak:
Dodatkowo wprowadziłem na lekcji kalkulator, ucząc każdego ucznia, że narzędzie to może służyć do sprawdzania poprawności wykonanych działań. Oszczędza mi to podchodzenia do uczniów, którzy rozumieją już mnożenie kratowe, a potrzebują tylko sprawdzić wyniki. Dodatkowo pokazujemy uczniom ograniczenia, jakie mogą ich spotkać przy korzystaniu z kalkulatora. Oczywiste jest, że wcześniej czy później dojdziemy z klasą do przykładu, gdzie po wymnożeniu w tabelce otrzymamy wynik, którego na kalkulatorze nie sprawdzimy – skończą się nam zakres i możliwości naszego urządzenia. I wtedy nasz uczeń odkrywa, że potrafi mnożyć pisemnie, co może się przydać, bo na kalkulatorze policzyć się nie da.
W pierwszym tygodniu września moja klasa czwarta mnożyła już pisemnie liczby wielocyfrowe przez jednocyfrową i liczby wielocyfrowe przez liczby wielocyfrowe. Byli dumni z tego, co robili, i przy okazji każde z nich oswajało się z tabliczką mnożenia, której prawdopodobnie do końca klasy czwartej się nauczą – zwyczajnie się jej osłuchają. Duża zasługą szybkości przyjęcia wiedzy była moja wizyta i lekcja z nimi w klasie trzeciej, ale myślę, że i bez tego szybko by poszło. Kartkówka z mnożenia pisemnego zaliczona została przez grupę 20 osób ze średnią ocen ponad 5.0. Metoda jest efektywna, ale także efektowna i atrakcyjna, co widać na zdjęciach zeszytów moich uczniów (ryc. 5, 6, 7).
Oprócz mnożenia kratowego w klasach czwartych i piątych warto pokazać jeszcze mnożenie metodą „kółko i krzyżyk”. Nazwałem tak tabelkę, która jest dla mnie bardzo ważna, co wyjaśnię w dalszej części artykułu. Najpierw w klasie czwartej, gdy uczniowie już poznają kilka sposobów na wykonywanie działań na liczbach z zerami na końcu, można wrócić do przykładu z początku artykułu. Uczeń zapisuje nasz iloczyn w postaci iloczynu sumy dwóch wyrażeń arytmetycznych. Tworzy kratownicę podobną do tej z gry „kółko i krzyżyk”. Wpisuje odpowiednio liczby i wykonuje mnożenia, a następnie sumowanie otrzymanych wyników.
Potem w klasie piątej, gdy nasi uczniowie już poznają liczby całkowite i będą potrafili wykonywać na nich proste działania, możemy nasz iloczyn zapisać w pewnych przypadkach inaczej, używając nie tylko sumy, ale też różnicy dwóch wyrażeń. Na zdjęciach widać już, jak blisko wzorów skróconego mnożenia jesteśmy (ryc. 8, 9).
W końcu w klasie szóstej, gdy już poznamy jednomiany i wyrażenia algebraiczne, metoda „kółko i krzyżyk” znajduje swoje zastosowanie. Uczeń, poznawszy zasady w klasach młodszych, szybko zaczyna wykonywać przekształcenia i upraszczania wyrażeń algebraicznych. Algebra jest wtedy prosta, przyjemna i nawet bardzo łatwa (ryc. 10).
Takim to sposobem absolwent klasy szóstej oblicza już kwadrat sumy i różnicy, a także iloczyn sumy algebraicznej przez jednomian oraz przez inną sumę algebraiczną.
Podsumowując, tak wprowadzone mnożenie w pierwszych klasach szkoły podstawowej oszczędza wiele stresu uczniowi podczas nauki. Jest przyjemne w tłumaczeniu dla nauczyciela podczas zajęć. Pozwala wykonać najpierw działania mnożenia, potem dodawania, nie miesza tych działań jak tradycyjny sposób mnożenia pisemnego. Mnożenie kratowe i metoda „kółko i krzyżyk” wygląda atrakcyjnie w zeszycie. Uczniowie z problemem dysgrafii czy dysleksji też odnajdują w tej metodzie sposób na swoje dysfunkcje i chętniej podejmują wyzwania mnożenia pisemnego. Tak wiele zalet sprawia, że warto zamienić nasze tradycyjne słupki na efektowne tabelki. Zachęcam każdego nauczyciela matematyki do próby zmiany swoich przyzwyczajeń do słupków. Z doświadczenia wiem, że takie przejście zajmuje około roku, ale teraz osobiście nie wróciłbym już do starego sposobu mnożenia. Dla kontrastu po wprowadzeniu mnożenia kratowego warto pokazać uczniom mnożenie „pod kreską” – ciekawe, którą metodę wybiorą?
