Dwudziesty wklęsły wielościan jednorodny, a jednocześnie dziewiąty symetrii dwunastodwudziestościennej nosi nazwę wielkiego dwudziestodwudziestodwunastościanu. Jego wygląd ilustruje rycina 1.
POLECAMY
Ryc. 1
Jak widać, bryła ta zbudowana jest z 20 ścian trójkątnych, przenikających się ze sobą. Na rycinie 1 pomalowane są one na żółto. Możemy w nim też dostrzec ściany dekagramiczne, stykające się ze sobą dwoma sąsiednimi wierzchołkami, oraz pentagramiczne (na ryc. 1 zaznaczone kolorem niebieskim), tworzące w wyniku wzajemnego przenikania 20 trójściennych otwartych zagłębień.
Spróbujmy ją wykonać w dynamicznym programie SketchUp, by poruszać nią w przestrzeni i lepiej poznać jej budowę i własności. To ułatwi nam też wykonanie jej siatki.
Wielościan ten zbudowany jest na bazie dwunastościanu, więc konstrukcję rozpoczniemy od jego wykreślenia. Na jednej z jego ścian wykreślimy dziesięciokąt gwiaździsty (dekagram). Poprowadzimy prostą wyznaczoną przez dwa jego sąsiednie wierzchołki i wokół niej obrócimy ten dekagram o kąt, jaki tworzą dwie sąsiednie ściany dwunastościanu. To zapewni dokładność konstrukcji bez mierzenia żadnych kątów i boków – ryc. 2.
Ryc. 2
Dwanaście dekagramicznych ścian utworzyło wspomniane już wcześniej otwarte trójścienne zagłębienia (na rycinie 2 zaznaczone są one kolorem jasno niebieskim, na rycinie 3 kolorem ciemnoniebieskim). Gdy połączymy odcinkami odpowiednie wierzchołki trzech sąsiednich zagłębień, utworzymy żółte trójkątne ściany, które przenikają niebieskie zagłębienia, tworząc w nich małe trójkątne ścianki – rycina 2 i kolejne.
Ryc. 3
Dwanaście dekagramicznych ścian utworzyło wspomniane już wcześniej otwarte trójścienne zagłębienia (na rycinie 2 zaznaczone są one kolorem jasnoniebieskim, na rycinie 3 kolorem ciemnoniebieskim). Gdy połączymy odcinkami odpowiednie wierzchołki trzech sąsiednich zagłębień, utworzymy żółte trójkątne ściany, które przenikają niebieskie zagłębienia, tworząc w nich małe trójkątne ścianki – rycina 2 i kolejne.
Żółte trójkąty przenikają się również wzajemnie ze sobą, tworząc dwutrójkątne zagłębienia, po pięć przy każdej ścianie dekagramicznej – ryc. 4.
Ryc. 4
Pięć sąsiednich ścian dekagramicznych, przenikając się ze sobą, tworzy krawędzie pięciokątów. W nich kreślimy dziesięciokąty foremne. Łącząc wierzchołki jednej z nich z odpowiednimi wierzchołkami sąsiedniej, uzyskamy krawędzie dziesięciokątnych zagłębień – na rycinie pomalowane są one kolorem szarym. To w zasadzie kończy przestrzenną dynamiczną wizualizację naszej bryły. Wszystkie przekroje i ściany zaznaczone są dość szczegółowo na rycinie 5.
Ryc. 5
Do wykonania siatki tego wielościanu wystarczy wykonać 12 segmentów, których wzór ilustruje rycina 6. Trudno jednak skleić ze sobą tak skomplikowaną sieć wielokątów, dlatego najpierw wykonamy 1/5 takiego segmentu – ilustruje ją rycina 7.
Ryc. 6
Ryc. 7
Wystarczy przenieść ten rysunek na grubszy karton, ponacinać i pozaginać linie zagięć i linie patek, a następnie pomalować ściany odpowiednimi kolorami zgodnie z rycinami 6 lub 7 i skleić.
Wszystkie pięć segmentów ma jedną ścianę wspólną – niebieski pięciokąt foremny, który z oczywistych powodów należy odciąć z pozostałych czterech segmentów, zastępując je samymi patkami. Patki te złączą niebieski pięciokąt z pozostałymi czterema segmentami, które w sumie dadzą większy segment zilustrowany na rycinie 6.
Do sklejenia całej bryły należy przygotować 12 takich większych
